I.5 Conclusion
2.8 Comparaison entre les commandes IRFOC et DTC
2.8.1 Description de la logique floue
La logique floue est apparue comme une substitution à logique stricte, imitant ainsi le comportement empirique du cerveau humain. Son introduction effective est due au célèbre chercheur L. Zadeh, qui a contribué à la modélisation de phénomènes physiques en formalisme flou qui repose sur la théorie des ensembles flous développée en 1965 [10]. Ensuite c’est au tour de M. Mamdani qui l’a expérimenté en 1974 en l’introduisant dans la régulation des processus industriels (régulation d’un moteur à vapeur) [162].
Sans trop se perdre dans les formalismes mathématiques de la logique floue, on va présenter brièvement des définitions générales sur cette méthode et ses propriétés essentielles, où nous allons détailler surtout les méthodes qui sont appliquées dans la commande.
2.8.1.1 Ensembles flous et fonction d’appartenance
La théorie des ensembles flous [10] permet d’exprimer l’idée d’une appartenance partielle d'un élément à un ensemble ou plus précisément son degré d’appartenance. Dans la théorie des ensembles classiques, un élément appartient ou n'appartient pas à un certain ensemble. Néanmoins, dans la réalité, il est rare de rencontrer des choses dont le statut est distinctement défini.
Un ensemble flou A est défini par une fonction d’appartenance μA(x) exprimé entre les
valeurs [0,1] et qui quantifie le degré par lequel un élément x de X appartient à A.
Plusieurs ensembles flous (par fois appelés sous-ensembles) peuvent être définis sur la même variable, chacune par une fonction d’appartenance, l’ensemble est appelé «Univers de discours X».
(2.90) 2.8.1.2 Représentations des fonctions d’appartenance
Plusieurs formes non linéaires assez différentes peuvent représenter les fonctions d’appartenance. Les formes trapézoïdale, triangulaire (figure 2.34), et de cloche sont les plus souvent employées [155].
Fig. 2.34 : Formes usuelles des fonctions d’appartenance. 1
0
1
0
a b c a b c d
74 2.8.1.3 Structure d’un contrôleur flou
La structure de base d’un contrôleur flou se compose de trois parties principales comme le montre la figure 2.35[163].
Fig. 2.35 : Schéma du régulateur flou de la vitesse
Fuzzification
La fuzzification consiste à définir des fonctions d’appartenances pour les différentes variables physiques d’entrées. Il s’agit d’attribuer à la variable d'entrée (qui est une variable strict « crisp » en anglais) les degrés d'appartenance à ses ensembles flous. Le choix du nombre des ensembles flous, de la forme des fonctions d'appartenance, et de leur répartition sur l'univers de discours sont définis par l’opérateur expert.
Base de règles
Les connaissances de l’expert sur un processus donné sont transformées en un ensemble de règles linguistiques de la forme suivante :
Si prémisse Alors conclusion Les règles peuvent être représentées dans une matrice dite matrice d'inférence.
La prémisse est un ensemble de conditions liées entre elles par des operateurs flous qui s'appliquent aux fonctions d'appartenance. Les plus communément utilisés sont: l’opérateur d’intersection "ET", l’opérateur d’union "OU", et l’opérateur de la négation ou du complément "NON". Fuzzification Défuzzification Base de règles & Mécanisme d’inférence Entrées strictes Entrées floues Sorties floues Sorties strictes
75 En prenant par exemple deux ensembles flous A, et B, d’où leurs fonctions d’appartenance respectivement, et appartenants à un univers de discours X. Les opérateurs susmentionnés sont définis alors comme suit [163] :
Opérateur « OU »
Il correspond à l’union (C) de deux ensembles flous (A, B) exprimé mathématiquement par :
(2.91) En logique floue l’union est généralement réalisée par la formulation du maximum des fonctions d’appartenance comme suit :
(2.92)
Opérateur « ET »
L’intersection ( ) est souvent réalisée par la formulation du minimum suivante : (2.93)
Opérateur « NON »
Le complément d’un ensemble flou A est défini par la fonction d’appartenance tel que :
(2.94)
Mécanisme d’inférence
Maintenant, il faut définir les degrés d'appartenance de la variable de sortie à ses ensembles flous. On parle alors de mécanisme d'inférence ou méthodes d’implication floue, pour les systèmes régulés par la logique floue, on utilise en général une des méthodes suivantes :
- Méthode d'inférence « max-min », dite méthode de Mamdani. - Méthode d'inférence « max-prod », dite méthode de Larsen. - Méthode d'inférence « somme-prod ».
- Méthode d'inférence de Sugeno.
À cause de sa simplicité la méthode de Mamdani (équation 2.95) est la plus utilisé [164], elle réalise l'opérateur "ET" par la fonction "min", la conclusion "ALORS" de chaque règle par la fonction "min" et la liaison entre toutes les règles (opérateur "OU") par la fonction "max".
76 (2.95) Enfin vient l’agrégation des règles qui est la dernière étape de l'inférence, elle permet de synthétiser les résultats obtenus en prenant en compte l’influence de l’ensemble des valeurs proposées par la décision floue.
Défuzzification
Le résultat obtenu de l’inférence en utilisant une des méthodes d’implication est formellement une valeur floue. Cette dernière ne peut être exploitée directement pour contrôler le processus. Une transformation doit être alors considérée à la sortie du mécanisme d’inférence pour la transformer en grandeur stricte. Cette action est interprétée par le terme défuzzification. Il existe dans la littérature plusieurs solutions qui réalisent cette opération, on compte parmi elles, la méthode de la valeur maximum, la moyenne des maxima, le centre de gravité (barycentre), et les hauteurs pondérées.
La méthode de défuzzification par le centre de gravité est de loin la méthode la plus utilisée en commande floue [164, 165].
La méthode du centre de gravité
Elle consiste à calculer le centre de gravité de la surface formée par la fonction d’appartenance issue de l’agrégation des règles.