Description et formulation

equivalent `a celui qui minimise une fonction lin´eaire sous les contraintes lin´eaire, quadratiques

et en variables mixtes. En utilisant un r´esultat de p´enalit´e exacte introduit par Le Thi et al.

[45] on a reformul´e ce probl`eme comme un mod`ele de programmation DC. Finalement, la

m´ethode DCA a ´et´e utilis´ee pour le r´esoudre.

Le reste du chapitre est organis´e de fa¸con suivante, la section 3.2 concerne la description

et la formation de mod`ele. La section 3.3 est consacr´ee `a la m´ethode de r´esolution. Les

r´esultats num´eriques sont pr´esent´es dans la section 3.4 et la derni`ere section est r´eserv´ee `a

la conclusion.

3.2 Description et formulation

Dans cette section, nous pr´esentons le mod`ele moyenne-variance (MV) en pr´esence des

contraintes de cardinalit´e. Nous introduisons le mod`ele min-max continu o`u nous consid´erons

multi-sc´enarios de risque alors que le rendement esp´er´e est d´etermin´e par une borne inf´erieure

et une borne sup´erieure. Pour la pr´esentation, nous utilisons des notations suivantes :

– N : le nombre d’actifs,

– r∈R

N

: le vecteur des rendements,

– r

^l

: la borne inf´erieure de rendements,

– r

u

: la borne sup´erieure de rendements,

– A

_j

∈ R

N×N

: les matrices de variance-covariance associ´e aux scenarios de risque j, j =

1,2, ...J,

59 3.2. Description et formulation

– w : la vecteur de portefeuille benchmark du march´e,

– p∈R

N

: la position actuelle de l’investisseur,

– c

_b

, c

_s

∈R

N

: les vecteurs qui montrent les coˆuts de transaction pour les achats et les ventes,

respectivement

– b, s: les variables de d´ecision d’achat et de ventes,

– τ : le coˆut total de transaction (achat et vente),

– ν : la pire valeur de risque,

– α : le param`etre d’aversion au risque,

– l

_i

, u

_i

: les bornes inf´erieure et sup´erieure de la proportion du capital investi dans l’actif i,

– Card: le param`etre de cardinalit´e qui montre le nombre souhait´e des actifs composant du

portefeuille,

– e= (1,1, ...,1)

T

: la transpose du vecteur (1,1,....,1).

Nous consid´erons un portefeuille qui est compos´e de N actifs. La proportion du capital

investie dans l’actif i est w

_i

, i = 1,2, ..., N. La somme de toutes les proportions doit ˆetre

´

egale `a 1. Alors, nous avons la premi`ere contrainte

N

∑

i=1

w

_i

= 1.

Si l’investisseur d´etient actuellement des actifs 1, ..., N, alors le vecteur p(tel que

N

∑

i=1

p

_i

= 1)

pr´esente sa position actuelle. Par contre, s’il ne poss`ede aucun actif alors p=0. La r´epartition

du budget initial peut ˆetre repr´esent´ee par la contrainte suivante :

p+b−s=w.

Soit τ le coˆut total de transaction que l’investisseur doit payer pour son investissement.

Notons que les coˆuts correspondant aux b et s sont c

_b

, c

_s

. La contrainte concernant le coˆut

total de transaction est exprim´ee comme ci-dessous :

c

^T_b

b+c

^T_s

s=τ.

Nous introduisons maintenant les contraintes de cardinalit´e. Ce sont celles qui ont pour

objectif de contrˆoler le nombre d’actifs dans le portefeuille. Soientl

_i

etu

_i

les bornes inf´erieure

et sup´erieure sur l’actifi. En introduisant les variable binaires z

i

qui sont ´egales `a 1 si l’actif

i est investi et 0 si non. Les contraintes de bornes sont :

l

_i

z

_i

6w

_i

6u

_i

z

_i

, etz

_i

∈ {0,1}, i= 1,2, ..., N.

Le param`etre de cardinalit´e est not´e Cardqui est le nombre souhait´e des actifs dans le

por-tefeuille. La somme des variables binaires doit ˆetre ´egale `aCard. La contrainte de cardinalit´e

est donc ´ecrite comme suivante :

N

∑

i=1

60

R´esolution du probl`eme min max continu en gestion de portefeuille en pr´esence des

contraintes de cardinalit´e

Le rendement esp´er´e du portefeuille, not´eE[R

_p

], est calcul´e par la formuleE[R

_p

] = (w−w)

^T

r.

Le risque relatif au portefeuille benchmarkw est mesur´e par (w−w)

T

A(w−w) o`u A est la

matrice de variance-covariance. Dans le cas o`u on consid`ere une seule matrice de

variance-covariance, le probl`eme de s´election de portefeuille optimal peut ˆetre formul´e comme une

programmation quadratique en variables mixtes.

min{−[(w−w)

^T

r−τ] +α.(w−w)

^T

A(w−w)}

tel que

e

T

w= 1,

p+b−s=w,

c

^T_b

b+c

^T_s

s=τ,

l

_i

.z

_i

6w

_i

6u

_i

.z

_i

, ∀i= 1,2, ..., N,

N

∑

i=1

z

_i

=Card,

z

_i

∈ {0,1}, ∀i= 1,2, ..., N,

w, b, s>0,

o`uαest le param`etre d’aversion au risque. Quand on varieαde 0 `a +∞on obtient l’ensemble

de toutes les strat´egies d’investissement efficace.

Dans le mod`ele ci-dessus, on fixe un seul sc´enario de rendement et de risque. C’est rarement

rencontr´e en pratique. Par ailleurs, la solution optimale de ce mod`ele est tr`es sensible aux

param`etres. Une petite erreur d’estimation dans la matrice de variance-covariance et/ou dans

le vecteur de rendements entraine une solution erron´ee. De plus, le g´erant veut souvent se

prot´eger dans le pire des cas. Alors, la n´ecessit´e d’´etude des mod`eles qui contiennent

multi-sc´enarios de risque et de rendement est ´evidente. En consid´erant simultan´ement plusieurs

sc´enarios on peut trouver une solution optimale qui est moins sensible aux erreurs ´eventuelles.

On consid`ere le probl`eme dans le contexte o`u l’investisseur est ind´ecis entre plusieurs

ma-trices de covariance. Autrement dit, il existe un ensemble de mama-trices de

variance-covariance. Concernant le rendement esp´er´e, on pr´evoit qu’il soit dans un intervalle d´etermin´e

par une borne inf´erieure et une borne sup´erieure. Supposons que le nombre de matrices de

variance-covariance soitJ,r

^l

etr

^u

soient la borne inf´erieure et celle sup´erieure du rendement

esp´er´e respectivement. De cette fa¸con, nous avons une extension de mod`ele moyenne-variance

classique qui est nomm´ee le mod`ele min-max continu et elle est pr´esent´ee comme suit :

(P) min{ max

rl6r6ru

−{(w−w)

^T

r−τ}+α.max

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