Dans ce chapitre, nous avons pr´esent´e une approche bas´ee sur la programmation DC et
DCA pour r´esoudre le probl`eme min-max continu en pr´esence des contraintes de cardinalit´e
en gestion de portefeuille. La contrainte de cardinalit´e est importante mais sa pr´esence rend
le probl`eme plus difficile en raison des variables binaires. Le probl`eme propos´e est en premier
temps reformul´e sous la forme de minimisation d’une fonction convexe sous les contraintes
lin´eaire, de compl´ementarit´e et en variables mixtes 0-1. Nous montrons ensuites que les
contraintes de compl´ementarit´e peuvent ˆetre ignor´ees. Ce probl`eme est transform´e `a un
programme DC en appliquant une technique de p´enalit´e exacte. La m´ethode DCA est utilis´ee
pour r´esoudre le r´esultant probl`eme. Les r´esultats num´eriques ont montr´e l’efficacit´e de DCA
par rapport au logiciel CPLEX. Plus pr´ecieusement, nous constatons que DCA est tr`es rapide
et plus robuste.
Chapitre 4
R´esolution d’une classe des probl`emes
d’optimisation `a deux niveaux et une
application en gestion de portefeuille
R´esum´eLe probl`eme d’optimisation `a deux niveaux joue un rˆole important en programmation
math´ematique. En effet, il a beaucoup d’applications en ´economie, en finance et en th´eorie de
jeux. Dans ce chapitre, nous traitons une classe des probl`emes d’optimisation `a deux niveaux o`u la
fonction du premier niveau est quadratique convexe alors que celle du deuxi`eme niveaux et toutes
les contraintes sont lin´eaires. Le probl`eme consid´er´e est reformul´e sous la forme d’un probl`eme DC
pour lequel la m´ethode DCA est d´evelopp´ee. Le sch´ema de DCA est assez simple et il converge vers
une solution locale apr`es un nombre fini d’it´erations.
Afin de trouver une solution globale, nous combinons DCA avec l’algorithme SE (SE-DCA). Les
r´esultats num´eriques ont montr´e l’efficacit´e des algorithmes propos´es par rapport `a l’algorithme
SE sans DCA. Enfin, nous pr´esentons une application int´eressant et importante en gestion de
portefeuille. Les donn´ees utilis´ees pour le test sont les prix des actifs sur les march´es de la France,
Luxembourg, Angleterre, Etats-Unis. Les r´esultats obtenus ont montr´e la rapidit´e et la globalit´e du
DCA.
4.1 Introduction
La programmation `a deux niveaux (ou biniveaux) est une classe des probl`emes difficile
ayant des applications importantes en programmation math´ematique. Plusieurs probl`emes en
´
economie, en finance, en th´eorie des jeux sont mod´elis´es comme une programmation `a deux
niveaux. La difficult´e vient de la non-convexit´e mˆeme quand les fonctions objectifs dans tous
les deux niveaux et toutes les contraintes sont lin´eaires (la programmation lin´eaire `a deux
niveaux). Ce probl`eme a ´et´e prouv´e NP-difficile dans nombreux travaux (cf. [141],[142],[143]).
72
R´esolution d’une classe des probl`emes d’optimisation `a deux niveaux et une application en
gestion de portefeuille
En g´en´eral, un probl`eme d’optimisation `a deux niveaux se pr´esente comme suit :
min F(x, y)
s.c (x, y)∈D
1⊂R
n×R
m,
y∈argmin{f(x, y) : (x, y)∈D
2⊂R
n×R
m}.
Les variables de ce probl`eme sont class´ees en deux classes, appel´ees les variables du premier
niveau, x ∈ R
n, et les variables du second niveau, y ∈ R
m. De mˆeme, la fonction F(x, y) :
R
n×R
m→ R (resp. f(x, y) : R
n×R
m→ R) est appel´ee la fonction objectif du premier
niveau (resp. la fonction objectif du second niveau).
Dans ce chapitre, nous consid´erons le probl`eme d’optimisation `a deux niveaux suivant :
{
min{F(x, y) := x
TQ
xxx+ 2x
TQ
xyy+y
TQ
yyy+a
Tx+b
Ty}
s.c x∈S ⊂R
n, y ∈argmin{f(x, y) =c
Tx+d
Ty:Ax+By ≤q}, (4.1)
o`u a, c ∈ R
n, b, d ∈ R
m, q ∈ R
k, S est un simplexe dans R
net Q
xx, Q
xy, Q
yy, A, B sont les
matrices de dimensions (n ×n), (n × m), (m ×m), (k ×n), (k ×m). La matrice Q =
[
Q
xxQ
xyQ
Txy
Q
yy]
est sym´etrique semi-d´efinie positive. Dans [139], les auteurs ont propos´e un
algorithme SE pour r´esoudre ce probl`eme. Cette m´ethode est tr`es compliqu´ee et les r´esultats
num´eriques sont effectu´es sur seulement 2 exemples avec les donn´ees de dimension petite
(n=2, m=3).
Dans ce travail, nous traitons le probl`eme de fa¸con plus efficace par rapport aux approches
existantes par un algorithme plus simple. Notre travail est bas´e sur la programmation DC
et DCA. Nos contributions portent sur les points suivantes :
• Nous reformulons le probl`eme sous la forme d’une programmation DC poly´edrale. Le
sch´ema de DCA pour le probl`eme r´esultant est tr`es simple : il consiste `a r´esoudre une
programmation quadratique convexe `a chaque it´eration. En outre, il a des propri´et´es
int´eressantes, surtout la convergence finie. Il est possible que la solution obtenue par DCA
ne soit pas r´ealisable car DCA travaille sur le domaine relax´e. Une proc´edure qui permet
de calculer une solution r´ealisable `a partir de celle de DCA est propos´ee.
• Dans le but de profiter l’efficacit´e de DCA, nous combinons DCA avec l’algorithme SE.
Nous appliquons DCA pour calculer la borne sup´erieure alors que la borne inf´erieure est
obtenue en r´esolvant un probl`eme relax´e convexe.
• Pour ´evaluer l’efficacit´e des algorithmes propos´es, nous les avons compar´es avec
l’algo-rithme SE sans DCA. La comparaison est effectu´ee sur les jeux de donn´ees de grande
dimension et g´en´er´es al´eatoirement. Plus pr´ecis´ement, nous avons consid´er´e trois cas :
(n=50, m=50), (n=100, m=150) et (n=150, m=150).
• Finalement, nous pr´esentons un probl`eme en gestion de portefeuille qui est mod´elis´e sous
la forme du probl`eme (4.1). Deux algorithmes DCA et SE sont appliqu´es pour le r´esoudre.
Les donn´ees utilis´ees sont les prix des actifs sur les march´es de France, Luxembourg,
Angleterre, Etats-Unis.
Dans le document
Optimisation non convexe en finance et en gestion de production : modèles et méthodes
(Page 76-79)