Description du modèle électro-vibro-acoustique

De nombreux projets européens et nationaux sont consacrés à l’étude du bruit dans les transports, et plus particulièrement pour le transport ferroviaire. Un modèle multi-physique [AÏT-05] a été développé récemment dans ce contexte selon une démarche similaire à notre étude. L’outil développé repose sur des modèles analytiques paramétrés. Il apporte un bon compromis entre rapidité, précision et malléabilité. Ce modèle permet de prendre en considération les phénomènes électromagnétiques, mécaniques et vibro-acoustiques. Il a été validé sur plusieurs types de machines.

Cette étude s’est concentrée sur les bruits d’origine magnétique qui représentent une part importante du bruit global d’une machine électrique, au même titre que les bruits d’origine aérothermique.

Le bruit d’origine magnétique a la particularité de disparaître dès l’instant où la machine n’est plus alimentée. En effet, l’origine du bruit magnétique découle directement de la nature du champ électromagnétique présent dans l’entrefer.

Après la détermination du champ dans l’entrefer, si l’on veut connaître le niveau acoustique du bruit rayonné, il faut tout d’abord déterminer l’amplitude des forces alternatives générées par les déformations du champ dans l’espace et dans le temps. Il faut ensuite déduire l’influence de ces forces sur les divers éléments structuraux de la machine et l’amplitude des vibrations que ces forces induisent. On peut enfin évaluer le rayonnement sonore aérien de la machine.

Le modèle électro-vibro-acoustique est alors décomposé en trois parties (Figure 2), chaque partie modélisant un aspect spécifique. Les tendances obtenues par les différentes parties du modèle ont été validées expérimentalement et par la méthode des éléments finis. Le fonctionnement de chacune de ces parties est détaillé ci-après.

La première partie concerne la modélisation électromagnétique. Ce modèle décrit le fonctionnement de la machine par les équations électriques. Il est alors possible de reconstituer l’induction dans l’entrefer puis les forces exercées sur les différentes parties de la structure.

La deuxième partie concerne alors la modélisation mécanique vibratoire. Les forces électromotrices précédemment calculées sont à l’origine des déformations au niveau du stator, qui engendrent des vibrations. L’amplitude des déformations dépend des fréquences de résonances liées à chaque mode.

Enfin, la troisième partie concerne la modélisation acoustique. Après la détermination de l’amplitude des déformations, le bruit émis par la machine est obtenu à partir des équations classiques du rayonnement acoustique.

Figure 2 Modèle électro-vibro-acoustique développé dans [AÏT-05]

Le modèle électro-vibro-acoustique a permis de mettre en évidence certaines tendances. Il a pu ainsi mettre en évidence certains paramètres influents sur le bruit : la combinaison dents stator - dents rotor, le pas de bobinage, le pas de vrillage et la taille du stator (en particulier le rapport hauteur de culasse sur le rayon d’alésage).

Le modèle développé dans [AÏT-05] repose sur certaines hypothèses :

- Le bruit magnétique provient des vibrations du stator seul, assimilé à un anneau 2D d’épaisseur fine.

- Le circuit magnétique possède une caractéristique linéaire de perméabilité élevée. - Le phénomène de saturation est négligé.

- La composante tangentielle de l’induction d’entrefer sera négligée face à la composante radiale (fuites magnétiques négligées).

- La forme des courants statorique et rotorique est considérée sinusoïdale. Par contre, chaque phase crée une force magnétomotrice à répartition non sinusoïdale : il apparaît alors des harmoniques d’espace.

Ce modèle est amélioré en parallèle à notre étude lors d’une thèse de doctorat menée par Jean Le Besnerais dans le cadre de PROSODIE (PROpulsion Silencieuse Optimisée et Dimensionnée pour l’Environnement). Cette thèse a pour objectif principal de comprendre le

Modèle

électro-vibro-acoustique

Electromagnétique Mécanique vibratoire Acoustique

Circuit magnétique

Structure

mécanique Air

Courant Induction Forces Déformations Vibrations Bruit

Equations électriques de la machine Equations du rayonnement acoustique Modèle mathématique

déterminant les amplitudes de déformations et les fréquences de résonance de chaque mode

processus de génération de bruit audible d’origine électromagnétique lors de l’association moteur-convertisseur en régime variable, et par conséquent de coupler le convertisseur aux modèles électro-vibro-acoustiques. Ainsi, plusieurs améliorations ont d’ores et déjà été apportées au modèle.

Par exemple, le bobinage était jusqu’alors limité à un bobinage à pas raccourci. Il est désormais possible de prendre en compte un bobinage quelconque [BOS-04]. De plus, la saturation est dorénavant prise en compte par un coefficient de saturation permettant la correction des courants et de l’amplitude du champ magnétique. Le contenu harmonique est également modifié en tenant compte de la saturation [MAL-00].

2.1.1. Modèle électromagnétique de la machine asynchrone

Le calcul de l’induction b se base sur le produit entre la perméance d’entrefer par unité de surface Λ et de la force magnétomotrice fmm.

( ) ( )

( )

θ

θ

θ

La difficulté est de déterminer l’expression analytique de la force magnétomotrice et de la perméance, en considérant les différentes harmoniques dues aux bobinages et aux encoches statoriques et rotoriques, responsable du bruit d’origine électromagnétique dans les machines électriques.

L’expression analytique de la perméance totale d’entrefer est fortement liée à la géométrie des encoches du stator et du rotor. Celle-ci s’exprime sous la forme d’une somme d’un terme constant et de termes considérant les différentes encoches [BRU-97]. Quant à l’expression analytique de la force magnétomotrice, celle-ci est relativement complexe [SEG- 96] et dépend du bobinage. Les courants nécessaires au calcul de cette force sont déterminés à partir de la tension d’alimentation à l’aide d’un schéma monophasé équivalent. Les modifications récentes apportées par Le Besnerais et al. ont permis la prise en compte des harmoniques d’espace et de temps dans un circuit monophasé équivalent étendu (n circuits équivalents en parallèle) avec effet de peau [LEB-08].

Le produit des deux expressions conduit à définir différents termes liés à l’induction statorique et rotorique. On distingue, dans les deux référentiels, un terme constant, un terme lié à la denture statorique, un terme lié à la denture rotorique et un terme lié à l’interaction entre les dentures statorique et rotorique.

Connaissant l’expression analytique de l’induction, il est possible de donner celle de la force radiale par unité de surface Fr. On considère que celle-ci est proportionnelle en chaque point au carré de l’induction :

( ) ( )

µ

θ

θ

Pour identifier les raies qui peuvent être potentiellement dangereuses, toutes les harmoniques de force magnétomotrice et de perméances d’encoches statoriques et rotoriques doivent êtres considérées. La méthode reprise pour identifier les modes forcés et les fréquences est détaillée par Zhu [ZHU-97]. Elle permet d’associer les raies de forces à une fréquence et un mode donnés.

A titre d’exemple, la Figure 3 présente la forme de la force dans l’espace et dans le temps, ainsi que sa FFT 2D pour une machine asynchrone de traction.

(a) Force Fr(θ,t) (b) FFT 2D de la force Fr(θ,t)

Figure 3 Représentation de la force Fr(θ,t) et de sa FFT dans le temps et l’espace

2.1.2. Modèle analytique mécanique et vibratoire

A partir des composantes de forces, il est possible de déterminer l’expression de la déformation du stator [JOR-50]. On détermine dans un premier temps les déformations statiques (c’est-à-dire pour une fréquence d’excitation nulle). Le cylindre du stator est alors considéré comme une poutre portant une charge à distribution sinusoïdale. Puis, la réponse fréquentielle du stator est modélisée par un filtre du second ordre.

Seul le déplacement radial est considéré pour chaque point statorique. Comme il s’agit de petites déformations, on fait usage du principe de superposition et on peut examiner l’effet de chaque mode. L’ordre du mode est un paramètre important : il correspond au nombre d’ondes à la périphérie. Le mode 1 est très particulier et produit une flexion de l’arbre du rotor. Les autres modes produisent des efforts de flexion sur la culasse. A titre d’exemple, la Figure 4 présente les distributions des ondes harmoniques pour le mode d’ordre 2, les ondes agissant alors sur le stator sous forme ovale, et le mode d’ordre 4, les ondes agissant sous forme quadratique.

(a) Distribution ovale des vecteurs de forces (m=2) (b) Distribution quadratique des vecteurs de forces (m=4)

2.1.3. Modèle analytique acoustique

L’intensité acoustique est un vecteur permettant de caractériser la direction et le sens du son. Elle représente le flux d’énergie acoustique transmis par unité de surface dans une direction. Elle est fonction de l’amplitude des vibrations [COR-00] et fait intervenir le facteur de rayonnement. Celui-ci traduit la capacité d’une machine à être un bon haut-parleur et peut- être calculé de différentes façons, selon la forme à laquelle on assimile le stator. Il s’agissait d’une sphère pulsante pour Aït-Hammouda [AÏT-05], le stator est désormais assimilé à un cylindre fini [WAN-98].

Après avoir établi l’intensité acoustique à la périphérie de la machine, la puissance acoustique peut être déterminée en intégrant l’intensité acoustique sur une surface entourant la source.