2.2 Théorie
2.2.1 Description d’un système fluide à différentes échelles
2.2.1.2 Description mésoscopique : théorie cinétique . . . . 44 2.2.1.3 Description macroscopique : théorie phénoménologique . . . . 45 2.2.2 Équation de Boltzmann . . . . 46 2.2.2.1 De Liouville à Boltzmann . . . . 46 2.2.2.2 Invariants de collision et distribution d’équilibre . . . . 48 2.2.2.3 Approximation BGK . . . . 49 2.2.3 De Boltzmann à l’hydrodynamique . . . . 50 2.2.3.1 Définition des quantités macroscopiques . . . . 50 2.2.3.2 Lois de conservation . . . . 52 2.2.3.3 Equations constitutives . . . . 54
2.3 Implémentation numérique. . . . 58
2.3.1 Discrétisation de l’espace des quantités de mouvement . . . . 58 2.3.2 Discrétisation en espace et en temps . . . . 63 2.3.3 De LBM à Navier-Stokes : la procédure de Chapmann-Enskog. . . . 64 2.3.4 Conditions initiales et aux limites. . . . 65 2.3.5 Algorithme . . . . 68
2.4 Exemples numériques . . . . 69
2.4.1 Écoulement de Poiseuille. . . . 70 2.4.2 Écoulement dans une cavité à couvercle entraîné . . . . 74 2.4.3 Écoulement laminaire cisaillant de Taylor . . . . 76 2.4.4 Estimation de la perméabilité . . . . 79
2.1. Introduction
2.1 Introduction
Physiquement, tous les fluides dont l’eau et l’air se composent d’un grand nombre d’atomes ou molécules qui entrent en collision les unes, les autres et se déplacent aléatoirement. Nous qualifions de description macroscopique, le fluide perçu comme un milieu continu et de descrip-tion microscopique le fluide perçu comme un ensemble de N molécules en interacdescrip-tions dans un volume Ωf. La dynamique macroscopique d’un fluide peut donc être vue comme le comporte-ment moyen homogène et continue de la dynamique microscopique qui est fortecomporte-ment hétérogène et fluctuante.
Ce chapitre est un rappel bibliographique fournissant les bases de la méthode de Boltzmann sur réseau (Lattice Boltzmann Method, LBM) pour la modélisation d’un fluide monophasique. L’objectif est de réaliser une première phase de validation d’un code développé durant cette thèse utilisant la méthode de Lattice Botlzmann, et qui sera utilisée dans les chapitres suivants pour modéliser explicitement les effets de l’eau capillaire dans les microstructures de béton à l’échelle de l’espace poreux. Dans ce chapitre, les effets de la tension de surface et les changements de phase ne sont pas abordés, ils le seront dans le chapitre 3. Nous faisons premièrement un rappel théorique des équations et de la discrétisation utilisée dans la méthode de Lattice Botlzmann. Nous validons ensuite le code développé à l’aide de tests possédant des solutions analytiques. Les exemple numériques présentés ont été réalisés dans un code Python développé durant la thèse au MSME et intégré par EDF R&D à la plateforme logicielle MAP (Materials ageing platform) dédiée au calcul sur les matériaux.
2.2 Théorie
2.2.1 Description d’un système fluide à différentes échelles 2.2.1.1 Description microscopique : dynamique moléculaire
L’espace des phases est un espace dans lequel l’étude des systèmes thermodynamiques est approprié. Pour un fluide vu à l’échelle microscopique, l’espace des phases est engendré par l’ensemble des coordonnées xi ≡ (xi1, xi2, xi3) et des quantités de mouvement miξξξi ≡ (miξi1, miξi2, miξi3) des particules du fluide (mi, ξξξi sont respectivement la masse et la vitesse de la particule i). Notons que chaque point de cet espace représente un état microscopique du système fluide considéré. Nous le désignons par point représentatif . Nous appellerons le sous-espace des positions xi de l’espace des phases, l’espace des configurations et le sous-espace des quantités de mouvement miξξξi, l’espace des quantités de mouvement.
Dans l’espace des phases, l’évolution du système est alors régie par les équations de la dynamique microscopique, ici écrite sous leur forme Hamiltonienne. Dans la suite sans perdre en généralité nous considérons un fluide constitué de particules homogènes avec une masse molaire m. Notons par H(x) l’Hamiltonien du système fluide à N particules à l’instant t et (x, ξξξ, t), x ≡ (x1, · · · , xN) et ξξξ ≡ (ξξξ1, · · · , ξξξN). Les équations de mouvement pour ce système
sont données par : m ˙xi = ∇ξξξiH (i = 1 · · · N ), m ˙ξξξi = −∇xiH (i = 1 · · · N ). (2.1)
Pour un tel fluide soumis à un champ de forces extérieures fi = mgi = mg(xi, t) et un
champ de force d’interactions particulaires kij = maij = ma(xi, xj, t), ou les accélérations g
et a dérivent du potentiel par unité de masse Φi = Φ(xi, t) et du potentiel d’interactions par
unité de masse Vij = Vji = V (kxi− xjk, t), respectivement. Toutes les particules ayant la même masse, nous avons :
gi= −∇xiΦi,
aij = −∇xiVij. (2.2)
L’Hamiltonien s’écrit sous la forme :
H(x, t) = Ec+ Ep, (2.3)
où Ecet Epsont respectivement l’énergie cinétique et l’énergie potentiel total du système fluide à N particules, telles que :
Ec= 1 2m N X i=1 ξ2i avec ξi2= ξξξi· ξξξi, (2.4) Ep = m N X i=1 Φi+ m 2 N X i=1 N X j=1 i6=j Vij. (2.5)
Pour les systèmes de type fluide de taille macroscopique, N est de l’ordre du nombre d’Avoga-dro NA' 6, 02 . 1023. La résolution d’un tel système est donc hors de portée avec les calculateurs actuels du fait du nombre gigantesque de degrés de liberté (6N en dimension 3).
2.2.1.2 Description mésoscopique : théorie cinétique
Dans cette section nous présenterons une description intermédiaire du fluide. Il s’agit de sa description mésoscopique. Cette description, issue du point de vue de la physique statistique (théorie cinétique), a l’avantage de considérablement réduire le nombre de degré de liberté. Il s’agit d’une description grossière du système à N particules par des fonctions de distribution à N particules fN dans l’espace des phases.
Il est évident qu’un grand nombre d’états microscopiques du fluide ou de points représentatifs dans l’espace des phases correspond à un état macroscopique (ρ, v, T ) donné du fluide (ρ, v et T représentent respectivement la densité, la vitesse et la température macroscopique du fluide). Appelons ensemble de Gibbs la collection infinie de systèmes microscopiques différents correspondant à un état macroscopique donné. Un tel ensemble est géométriquement représenté
2.2. Théorie
par une distribution continu de points représentatifs dans l’espace des phases. Il est alors possible de définir une fonction de distribution à N particules fN telle que,
fN(x, ξξξ, t)dxdξξξ (2.6)
représente la probabilité de trouver à l’instant t, le point représentatif de l’état microscopique du fluide dans un volume infinitésimal dxdξξξ de l’espace des phases noté ΓΓΓ centré sur (x, ξξξ). Cette fonction de distribution doit être normalisée :
Z
ΓΓΓ
fN(x, ξξξ, t)dxdξξξ = 1, ∀t. (2.7)
Pour fN(x, ξξξ, t) donné à tout instant t, son évolution est déterminée par la dynamique mi-croscopique du fluide. Selon le théorème de Liouville, si l’on considère l’évolution d’un ensemble de points représentatifs contenus dans un volume de l’espace des phases sous les équations d’Ha-milton, on montre que pour les systèmes conservatifs, ce volume est conservé au cours du temps (AnnexeA.1.1)(Huang,1987).
Théorème 1 (Liouville). La fonction de distribution à N particules reste constante le long
de n’importe quelle trajectoire de l’espace phase :
∂fN ∂t + N X i=1 (∇xifN · ˙xi+ ∇ξξξifN · ˙ξξξi) = 0. (2.8)
2.2.1.3 Description macroscopique : théorie phénoménologique
A l’échelle macroscopique, un fluide est traité comme un milieu continu sans description fine de structure et de ses interactions moléculaires. Le fluide est considéré comme étant continû-ment distribué dans le domaine d’intérêt, en ayant ses propres propriétés telles que, sa masse volumique ρ(x, t), sa vitesse v(x, t) et sa température T (x, t) (x est le vecteur position dans la description macroscopique et t l’instant). Les propriétés moléculaires du fluide se reflètent dans ses coefficients de transport, tels que sa viscosité et sa conductivité thermique par exemple. Dans la théorie continue, le mouvement d’un fluide est décrit par les équations de conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l’énergie :
∂ρ ∂t + ∇x· (ρv) = 0, (2.9) ∂(ρv) ∂t + ∇x· (ρv ⊗ v) = ρg + ∇x· σσσ , (2.10) ∂(ρe) ∂t + ∇x· (ρve) = −∇x· q + ∇x· (v · σσσ), (2.11)
où σσσ est le tenseur d’ordre 2 de contrainte, q est le flux de chaleur et e est l’énergie interne
doivent être décrites par des équations constitutives. L’équation constitutive de la contrainte est généralement donnée sous la forme suivante :
σ
σσ = −p1 + σσσd (2.12)
où p et σσσd sont respectivement la pression du fluide et le tenseur des contraintes visqueuses. La pression est définie en fonction la contrainte par p = −13Tr(σσσ). La pression peut être modélisée
par une équation d’état, c’est à dire p = p(e), avec e l’énergie interne du fluide, tandis que le tenseur des contraintes visqueuses peut être modélisé par une équation constitutive entre ces contraintes et la vitesse de déformation,
σ σ
σd= 2η ˙εεε + η0(∇x· v)1 = 2η ˙εεεd+ (η0+ 2
3η)(∇x· v)1 (2.13)
où η et η0 sont la première et la seconde viscosité dynamique, 1 le tenseur d’identité d’ordre 2, et ˙εεε le tenseur d’ordre 2 des vitesses de déformation défini par ˙εεε = 12(∇xv + (∇xv))T. Le coefficient ηv = (η0+23η) de viscosité volumique, est souvent supposé nul ηv = 0 selon l’hypothèse de Stokes. aussi la première viscosité dynamique est égale à la viscosité déviatorique du fluide
η = ηd et ainsi le tenseur des contraintes visqueuses devient purement déviatorique.
Le flux de chaleur est habituellement lié au gradient de température selon la loi de Fourier,
q = −Λ∇xT, (2.14)
avec Λ la conductivité thermique. L’ensemble des précédentes équations sont largement utilisées sous l’appellation équations de ’"Navier-Stokes-Fourier".
2.2.2 Équation de Boltzmann