Équation de Boltzmann

On peut définir à partir de f^N les fonctions de distribution réduites f^s, qui donnent la probabilité de trouver s < N particules dans une configuration (x₁, · · · , x_s) et avec des quantités de mouvement (ξξξ₁, · · · , ξξξs) à un instant donné t. Nous nous intéressons en particulier au calcul de la fonction de distribution f¹ qui donne donc la probabilité de trouver une particule à une position x₁ et avec une quantité de mouvement ξξξ₁ à un instant donné t, à partir de laquelle nous définirons les quantités macroscopiques (ρ, v, T , σσσ) du fluide. La hiérarchie BBGKY

(Bogoliubov-Born-Green-Kirkwood-Yvon) (Bogoliubov, 1946) est l’ensemble des équations qui

montrent que pour trouver f¹, nous avons besoin de connaître f², qui à son tour dépend de

f³ ainsi de suite jusqu’à la fonction de distribution f^N. La fonction de distribution réduite à s-particules est définie par :

f^s(x₁, · · · , xs, ξξξ₁, · · · , ξξξs, t) = ^{N !}

(N − s)!

Z

2.2. Théorie

Le facteur combinatoire _{(N −s)!}^{N !} vient du fait qu’on néglige la repartition des particules en terme de position x_i et de quantité de mouvement ξξξ_i. Les deux premières équations de la hiérarchie donnent (Annexe A.1.2) :

(∂ ∂t^{+ ξξξ1· ∇x}1+ g₁· ∇_ξξξ1)f¹= − Z a₁₂· ∇_ξξξ1f²dx₂dξξξ₂ (2.16) [_∂t^∂ + ξξξ₁· ∇_x1 + ξξξ₂· ∇_x2 + g₁· ∇_ξξξ1 + g₂· ∇_ξξξ2 +¹₂a₁₂· (∇_ξξξ1 − ∇_ξξξ2)]f² = −R (a₁₃· ∇_ξξξ1 + a₂₃· ∇_ξξξ2)f³dx3dξξξ3, ^(2.17) où g_i = ^fi m et a_ij = ^kij

m représentent les accélérations dues aux champs de forces f_i et k_ij, respectivement. Les différentes échelles de temps impliquées dans les termes des Eq. (2.16) et (2.17) sont : a · ∇_ξξξ ∼ _τ¹ c, g · ∇_ξξξ ∼ 1 τe, ξξξ · ∇_x∼ 1 τs, (2.18)

où τ_cest la durée de collision, τ_eest la durée que prend une molécule pour traverser une distance caractéristique sur laquelle le potentiel externe varie significativement, et τ_s est le temps qu’il faut à une molécule pour traverser une distance sur laquelle la fonction de distribution varie significativement. Comme l’intégrale de collision donne le temps d’échelle de f¹et que ce sont les termes de propagation qui donnent le temps d’échelle pour f² (et les fonctions de distribution d’ordre supérieur), la hiérarchie est tronquée à f² et le terme de collision de l’Eq. (2.17) est négligé (seules des collisions binaires sont possibles) :

(∂ ∂t^{+ ξξξ1· ∇x}1+ g₁· ∇_ξξξ1)f¹(x₁, t) = − Z r0 a₁₂· ∇_ξξξ1f²dx₂dξξξ₂≡ ^∂f 1 ∂t ^{|coll, (2.19)} [_∂t^∂ + ξξξ₁· ∇_x1+ ξξξ₂· ∇_x2+ g₁· ∇_ξξξ1+ g₂· ∇_ξξξ2+¹₂a₁₂· (∇_ξξξ1 − ∇_ξξξ2)]f² = 0. (2.20) Hypothèse 1 (Dérivation de l’équation de Boltzmann).

— Puisque f² a un temps d’échelle de variation plus court que f¹, alors f² atteint l’équilibre

plus tôt soit ^∂(f_∂t²⁾ = 0.

— Les vitesses de deux particules fluide 1 et 2 séparées d’une distance kx₁− x₂k  r₀ qui

entrent en collision sont a priori non corrélées et indépendantes de leur position, soit

f2(x₁, x₂, t) −→

kx₁−x₂kr₀f1(x₁, t)f1(x₂, t).

— La portée r₀ des forces d’interactions k_ij est presque nulle du point de vue de f¹, cela

s’exprime par le fait que juste avant et juste après la collision on a x₁ = x₂ = x.

À partir des hypothèses (1) et en ignorant les accélérations g_i, nous pouvons évaluer le terme de collision (AnnexeA.1.3) :

∂f1

∂t |_coll = R

où σ, Ω, ξξξ_i et ξξξ⁰_i sont respectivement la section transversale différentielle, l’angle solide et les quantités de mouvement avant et après la collision de la particule i. Cependant, habituellement l’équation de Boltzmann est introduite sous une forme différente, dans laquelle la fonction inconnue est la fonction distribution de masse f relié à f¹, par la simple relation :

f = mf¹, (2.22)

où m est la masse de la particule et M est la masse totale du système de masse. A partir de la condition de normalisation(Eq. (2.7)) de f¹, nous avons :

Z

f (x, ξξξ, t)dxdξξξ = M, ∀t. (2.23)

Il est ensuite très simple de déduire l’équation de Boltzmann :

∂f ∂t ^{+ ξξξ · ∇xf + g · ∇ξξξf =} Z |ξξξ − ξξξ_?|(^dσ dΩ^{)[f (ξξξ} 0)f (ξξξ⁰_?) − f (ξξξ)f (ξξξ_?)] dΩ dξξξ_?. (2.24)

où ξξξ_?et ξξξ⁰_? sont respectivement, les vitesses microscopiques de la particule voisine avant et après la collision. Dans la suite nous ferons référence à l’Eq. (2.24) comme l’équation de Boltzmann et l’intégrale correspondant à son terme de droite comme le terme de collision ou intégrale collision. Pour simplifier la notation le terme de collision sera noté ^∂f_∂t|_coll.

2.2.2.2 Invariants de collision et distribution d’équilibre

L’intégrale de collision de l’Eq. (2.24) satisfait des propriétés qui ont un sens physique clair et sont utiles à la détermination des équations macroscopiques. On appelle invariant de collision une fonction ϕ(ξξξ) qui satisfait l’équation suivante :

Z ∂f^eq

∂t ^{|collϕ(ξξξ) dξξξ = 0. (2.25)}

On montre (Cercignani, 1988), que toutes les fonctions ϕ(ξξξ) qui vérifient l’Eq. (2.25) vérifient aussi l’égalité suivante :

ϕ(ξξξ) + ϕ(ξξξ?) = ϕ(ξξξ⁰) + ϕ(ξξξ⁰_?). (2.26)

Ainsi, l’interprétation des invariants de collision est claire : il s’agit de toutes les fonctions

ϕ(ξξξ) qui sont conservées pendant une collision élastique.

Il peut être montré (Cercignani,1988), que la forme générale d’un invariant de collision est une combinaison linéaire des quantités physiques conservées par une collision élastique, à savoir, la masse, la quantité de mouvement et l’énergie :

ϕ(ξξξ) = a + b · ξξξ + c ξ², (2.27)

où a et c sont des constantes et b un vecteur constant. Ainsi, les fonctions ϕ₀= 1, (ϕ₁, ϕ₂, ϕ₃) =

ξξξ, ϕ4 = ξ²sont linéairement indépendantes, et représentent une base pour l’espace des invariants

2.2. Théorie

Définissons maintenant la fonction de distribution d’équilibre f^eqcomme étant la solution de l’Eq. (2.24) de Boltzmann qui est indépendante du temps, ^∂f_∂t^eq = 0. Nous verrons aussi que c’est la forme limite de la fonction de distribution f quand le temps tend vers l’infini. Supposons l’absence de forces extérieures soit g = 0, il est alors cohérent de considérer en plus que la fonction de distribution à l’équilibre est indépendante de x, ∇_xf^eq = 0. Ainsi, la fonction de distribution d’équilibre s’obtient par :

∂f^eq

∂t ^{|coll = 0. (2.28)}

Une condition suffisante (Huang,1987) pour que f^eq vérifie l’Eq. (2.28) est :

f^eq(ξξξ⁰)f^eq(ξξξ_?⁰) − f^eq(ξξξ)f^eq(ξξξ_?) = 0. (2.29)

Pour trouver f^eq considérons le logarithme à l’Eq. (2.29) :

lnf^eq(ξξξ⁰) + lnf^eq(ξξξ_?⁰) = lnf^eq(ξξξ) + lnf^eq(ξξξ_?). (2.30)

Dans cette condition, lnf^eq correspond parfaitement à la définition d’un invariant de col-lision. En utilisant l’Eq. (2.27), nous obtenons la forme générale de la fonction distribution d’équilibre :

f^eq(ξξξ) = exp(a + b · ξξξ + c ξ²). (2.31)

2.2.2.3 Approximation BGK

Le principal obstacle dans la résolution de l’Eq. (2.24) de Boltzmann est la forme compliquée de l’intégrale de collision. Pour cette raison des approximations de l’opérateur de collision ^∂f_∂t|_coll ont été proposées. L’idée de base des modèles est qu’un modèle de collision doit satisfaire deux propriétés fondamentales pour retrouver le même comportement que l’intégrale de collision (Cercignani,1988) :

— les invariants de collision doivent rester les mêmes, — le terme de collision ^∂f_∂t^eq|_coll doit satisfaire :

Z

lnf^∂f

∂t^{|coll ≤ 0, (2.32)}

où l’égalité est vérifiée si f = f^eq.

Le modèle de collision le plus simple et le plus utilisé est l’opérateur BGK (Bhatnagar,

Gross, et Krook) (Bhatnagar et al.,1954), selon lequel l’effet de la collision est proportionnel à

l’écart entre la fonction de distribution f et la fonction de distribution d’équilibre f^eq :

∂f

∂t^{|coll' −}

f − f^eq

τc

Nous obtenons ainsi l’équation de Boltzmann-BGK : ∂f ∂t ^{+ ξξξ · ∇xf + g · ∇ξξξf = −} f − f^eq τc , (2.34)

avec τ_c la durée de la collision.

2.2.3 De Boltzmann à l’hydrodynamique