Algorithmes de détection des interfaces, de calcul de la courbure locale

2.4 Exemples numériques

4.3.2 Algorithmes de détection des interfaces, de calcul de la courbure locale

 K L^T L 0     u λλλ  =   f r  , (4.61)

où chaque ligne de L est de la forme [0 · · · 1 · · · 0 · · · − 1 · · · 0], où 1 et −1 sont respectivement situés sur la i^ième et la j^ième colonne, définis comme les indices des dégrés de liberté dans le vecteur global des inconnus [u].

En 3-D, les nœuds situés sur les arrêtes et les sommets de la boîte requièrent un traitement particulier pour éviter un processus de minimisation surcontraint. Pour ce faire, nous avons adopté une condition aux limites de Dirichlet u(x) = εεε · x pour les noeuds des sommets. Pour

les arrêtes, l’appareillage des nœuds opposés (Fig. 4.7) est comme suit :

u(x^A) − u(x^C) = εεε · (x^A− x^C), (4.62) et

u(x^B) − u(x^D) = εεε · (x^B− x^D), (4.63) où x^A et x^C sont les nœuds diamétralement opposés sur A et C. Il en est de même pour les nœuds des arrêtes B et D.

A ^B C D f a ce B C f ace_AB f ace_DC f a ce^A D

Fig 4.7 – Vue de haut de la boîte de calcul : appareillage des nœuds opposés des arrêtes en 3-D.

Enfin, en ce qui concerne les faces définies au sens de la Fig. 4.7, pour chaque paire de nœuds opposés nous avons une seule contrainte de périodicité. Cette méthode de construction de l’appareillage des nœuds opposés nous assure un système discret à résoudre avec autant d’équation que d’inconnues y compris les multiplicateurs de Lagrange associés à chacune des contraintes de périodicité rajoutée.

4.3.2 Algorithmes de détection des interfaces, de calcul de la courbure locale signée et de la moyenne de contrainte de membrane

A partir du champ de densité de la phase fluide à l’équilibre thermodynamique obtenu par le modèle SC LBM décrit au chapitre 3, nous devons segmenter le maillage de l’interface solide-fluide en deux parties, à savoir la partie correspondante à l’interface solide-vapeur Γ^sv et celle correspondante à l’interface solide-liquide Γ^sl. Pour ce faire, nous avons développé et implémenté l’algorithme donné en Fig. 4.8. Dans cet algorithme, le paramètre d’entrée δ_lim

représente l’épaisseur seuil de l’interface (Fig.4.9), c’est à dire, tous les élements du maillage de l’interface solide-fluide Γ^sf pour lesquels l’épaisseur locale de l’interface est inférieure ou égale à cette limite δ ≤ δ_lim constituent le maillage de l’interface solide-vapeur Γ^sv, tandis que les mailles restantes forment le maillage de l’interface solide-liquide Γ^sl.

ENTRÉES. Seuil de l’épaisseur de film δlim, champ de densité ρ(x) dans Ωf, maillage de l’interface solide-fluide Γsf

(1) Détection des voxels dans le liquide Ωl et ceux qui sont dans la vapeur Ωv

en utilisant la densité moyenne ρm= ^ρ^l^+ρ₂ ^v

(2) Calcul de la distance minimale Dmin(x)par rapport au domaine occupé par la vapeur de chaque voxel dans Ωs∪ Ωl

(3) Calcul de la coordonnée moyenne de Gauss xg pour chaque element de l’interface solide-fluide

(4) Projection de la distance minimale à la vapeur sur le maillage de l’interface solide-fluide Dmin(xg)

(5) Chaque élément du maillage de Γsf avec Dmin(xg)≤ δlimsont dans Γsvet les autres sont dans Γsl

SORTIES. Segmentation du maillage de l’interface Γsf en Γsvet Γsl

Fig 4.8 – Algorithme de segmentation du maillage de l’interface Solide-Fluide Γ^sf.

Ωs Ωl Ωv ρm δ lim δ ≤ δ lim δ≤^δ li^m Voxel Γsf Ωs Ωl lig ne de co nta_ct Γ sv Γ sv Γsl Γlv Ωv

Figure 1 – Seuil δlimde segmentation du maillage de l’interface Solide-Fluide Γsf.

Fig 4.9 – Seuil δ_lim de segmentation du maillage de l’interface Solide-Fluide Γ^sf.

Le seuil de l’épaisseur de film à l’interface solide-fluide est choisi pour être égal à la moitié de l’épaisseur de l’interface donnée par le modèle SC LBM. Dans les modèles SC LBM les interfaces se forment par l’équilibre des forces d’interaction et nous ne sommes pas en mesure de fixer de façon explicite et indépendemment des autres paramètres sa valeur. L’épaisseur de l’interface ne dépend pas seulement de la température réduite et de τ = ^∆t_τ

c, mais dépend aussi de la formule de l’équation d’état (EOS) que nous simulons. Par exemple, les paramètres a,

R et b dans l’EOS de (Carnahan and Starling,1969) peuvent affecter l’épaisseur de l’interface

et la stabilité numérique du modèle. Dans cette thèse, les paramètres choisis nous donnent approximativement 5∆x (∆x espacement de la grille SC LBM) pour la plupart des T /T_crit et

4.3. Implémentation numérique

τ . Alors, nous avons choisi δlim= 2.5∆x.

ENTRÉES. Normale aux éléments nede l’interface solide-fluide Γsf

(1) Vérification et ré-orientation de la normale aux éléments vers le domaine fluide Ωf si necessaire

(2) Calcul de la surface Sede chaque élément en utilisant les coordonnées des nœuds

(3) Calculer le tenseur d’identité tangentiel 1T = 1− ne⊗ ne

(4) Pour chaque nœuds de l’interface solide-fluide, détecter l’ensemble des éle-ments qui le partagent Ei={e1, e2,· · · , en}

(5) Extrapoler les normales des éléments aux nœuds en utilisant cette approxi-mation ni =P ¹

e∈EiSe

e∈EneSe

(6) Calculer les dérivées B(xg)des fonctions de forme en chaque point de Gauss de l’élement de l’interface

(7) Calculer le gradient de la normal de l’élement en chaque points de Gauss ∇ne(xg) = B(xg)· (n1· · · nq)T, pour un élément à q nœuds

(8) Calculer la courbure locale signée Ce(xg) =−1T :∇ne(xg)

SORTIES. Champ aux points de Gauss de l’interface solide-fluide Γsf de la courbure locale signée Ce(xg)

Fig 4.10 – Algorithme de calcul du champ aux points de Gauss de l’interface solide-fluide Γ^sf de la courbure locale signée.

b b b b b b b b b b b b b b

n₁

n₂ ⁿ³

e₂ ^e1

e₃ _e

4 e₅ ^x

n_e

i

Ei = {e1, e₂, e₃, e₄, e₅}

Fig 4.11 – Opération d’assemblage de tous les éléments partageant le nœud i.

Dans le modèle d’interface imparfaite cohérente, l’impact mécanique de la présence de la ten-sion de surface à une interface se résume à une surpresten-sion/depresten-sion dont l’amplitude dépend de la courbure locale moyenne et de la tension de surface. Alors, nous proposons un modèle de chargement mécanique de la tension de surface en imposant au solide tout simplement cette sur-pression/depression. La principale difficulté pour quantifier cette surpression/depression, réside dans l’évaluation de la courbure locale signée à chaque point de Gauss du maillage de l’interface solide-fluide. Alors, nous proposons de calculer cette courbure locale signée selon l’algorithme proposé en Fig. 4.10. Dans cet algorithme une illustration de l’opération de détection des élé-ments partageant chaque nœuds du maillage de l’interface et la description des nœuds et des points de Gauss d’un élément est donnée en Fig.4.11.

La présence de deux grilles différentes, c’est à dire le grille régulière de SC LBM et le maillage du calcul par éléments finis (FEM), en particulier le maillage de l’interface solide-fluide, introduit

un paramètre l_{F EM −LBM} = ^lF EM

∆x qui est défini comme le rapport de longueur moyenne l_{F EM} du côté des éléments du maillage de l’interface solide-fluide sur l’espacement de la grille LBM ∆x. Dans cette thèse, dans le but d’optimiser entre la précision de la segmentation de Γ^sf et le calcul de la courbure locale moyenne signée et les temps de calcul, nous avons choisis l_{F EM −LBM} = 1. Néanmoins, le maillage volumique de la phase solide est construit avec Salomé_méca de sorte à avoir des tailles caractéristiques du maillage plus grandes lorsqu’on s’éloigne de l’interface solide-fluide.

ENTRÉES. Seuil de l’épaisseur des films δlim, champ de densité ρ(x) dans Ωf

(1) Lissage du champ de densité ρ(x) en utilisant un filtre Gaussien

(2) Détection des voxels dans Ωlet ceux dans Ωven utilisant le densité moyenne ρm= ^ρ^l^+ρ₂ ^v

(3) Extraction du maillage de l’interface Γlv∪ Γsv0 donné par ρmen utilisant un algorithme de Marching-Cube [Lorensen and Cline, 1987]. Γsv0 est la partie de l’interface qui est extraite qui est à une distance maximale de δlim par rapport à l’interface solide

(4) Calculer les coordonnées moyen de Gauss xgpour chaque élément d’interface (5) Calculer la distance minimale Dmin(x)au solide pour chaque voxel dans Ωl

et Ωv

(6) Projeter la distance minimale Dmin(xg)sur le maillage de l’interface Γlv∪ Γ^sv0

(7) Pour chaque élément du maillage de Γlv

∪ Γsv0 dont la distance minimale au solide est Dmin(x)≤ δminappartient à Γsv0 tandis que les autres sont dans Γlv

SORTIES. maillage de l’interface liquide-vapeur Γlv

Références

W.E. Lorensen and H.E. Cline. Marching cubes : A high resolution 3d surface construction algorithm. Computer Graphics, 21(4) :163–170, 1987.

Fig 4.12 – Algorithme de construction du maillage de l’interface liquide-vapeur Γ^lv.

Enfin, la définition de la contrainte macroscopique donnée en Eq. (4.12) en présence des tensions de surface inclut la moyenne des contraintes de membrane sur l’interface liquide-vapeur. Alors, pour être en mesure d’évaluer cette contribution à la contrainte macroscopique nous avons développé et implémenté un algorithme similaire à l’algorithme de segmentation de l’interface solide-liquide (Fig.4.8) pour détecter l’interface liquide-vapeur Γ^lv. La particularité de ce nouvel algorithme réside dans le fait que nous devons d’abord reconstruire le maillage de l’interface donné par la densité moyenne du fluide ρ_m(Fig.4.12). Cette reconstruction est faite par lissage du champ de densité obtenu par le modèle SC LBM et ensuite nous appliquons un algorithme de Marching-Cube (Lorensen and Cline,1987), nous permettant de reconstruire ce maillage.

4.3.3 Intégration numérique de la théorie MPS : algorithme exponentiel

Dans le document Modélisation multi échelle des phénomènes de retrait et de fluage dans les matériaux cimentaires : approches numériques couplant les éléments finis et la méthode de Lattice-Boltzmann (Page 156-159)

Algorithmes de détection des interfaces, de calcul de la courbure locale

2.4 Exemples numériques

4.3.2 Algorithmes de détection des interfaces, de calcul de la courbure locale

n1

n2 n3

e2 e1

e3 e

4

e5 x

ne

i

Ei = {e1, e2, e3, e4, e5}

Références

n₁

n₂ ⁿ³

e₂ ^e1

e₃ _e

e₅ ^x

n_e

Ei = {e1, e₂, e₃, e₄, e₅}