En raison du couplage inter-feuillets, le paquet d’ondes, initialement localis´e sur le tube ext´erieur, se r´epartit sur l’ensemble des feuillets. Ceci est illustr´e sur la figure IV.13, o`u l’on a trac´e l’´evolution du poids de la fonction d’onde sur chacun des feuillets, dans le cas du (6, 6)@(11, 11)@(16, 16) et du (6, 4)@(10, 10)@(17, 13). La redistribution du paquet d’ondes est presque identique dans les deux cas, donc elle d´epend peu du caract`ere p´eriodique ou ap´eriodique du syst`eme. Aux temps longs, le poids du paquet d’ondes sur chaque feuillet est proportionnel au nombre de sites du feuillet, ce qui signifie que l’´electron se r´epartit presque uniform´ement sur l’ensemble du syst`eme.
Ici le param`etre de couplage inter-feuillet β a ´et´e pris ´egal `a γ0/3, mais d’autres calculs ont ´et´e faits avec des valeurs comprises entre γ0/8 et γ0. Dans tous les cas, l’´evolution du poids du paquet d’ondes sur le tube ext´erieur ressemble `a une exponen-tielle d´ecroissante, ce qui nous a permis d’estimer grossi`erement pour chaque courbe un temps de transfert inter-feuillet τf f. On obtient ainsi la d´ependance de τf f par rap-port `a β, qui ne diff`ere pas trop d’une estimation bas´ee sur la r`egle d’or de Fermi : la probabilit´e de transfert inter-feuillets par unit´e de temps est proportionnelle au carr´e du couplage entre feuillets et donc, en respectant l’homog´en´eit´e,
τf f ' ¯hγβ20. (IV.31) Si on consid`ere une exp´erience de transport dans laquelle les ´electrodes sont en contact avec le feuillet ext´erieur et espac´ees de 1 µm, l’´electron met au minimum un temps de 4500¯h/γ0 pour aller d’une ´electrode `a l’autre, ceci dans l’hypoth`ese la plus optimiste d’une propagation balistique avec une vitesse de Fermi vF = 106 m.s−1. Ce temps de parcours est tr`es sup´erieur au temps de transfert inter-feuillets estim´e avec la formule ci-dessus et avec une valeur r´ealiste du couplage (β = γ0/8) : τf f ' 64¯h/γ0.
On a donc montr´e que l’´electron a largement le temps de visiter plusieurs feuillets internes lors de son trajet d’une ´electrode `a l’autre. Ceci justifie la suite de notre ´etude qui consiste `a voir, dans le cas de feuillets incommensurables, l’effet de ce transfert sur la propagation suivant l’axe du tube. Cependant, on n’a consid´er´e que des propri´et´es moyennes sur tout le spectre et on n’a donc pas tenu compte du caract`ere m´etallique ou semi-conducteur de chaque feuillet. La pr´esence d’un feuillet semi-conducteur entre deux feuillets m´etalliques peut constituer une barri`ere tunnel et ralentir le transfert de l’´electron.
IV.D.2.c Diffusivit´e le long de l’axe du tube
La figure IV.14 montre l’´evolution de la diffusivit´e dans 3 nanotubes diff´erents, avec toujours le mˆeme param`etre de couplage β = γ0/3.
IV.D Etude du transport ´electronique dans les nanotubes multifeuillets 121 0 500 t 1000 1500 0 0.2 0.4 0.6 0.8
Repartition du paquet d’ondes
(6,6)@(11,11)@(16,16) Commensurable Incommensurable (16,16) (6,4)@(10,10)@(17,13) (17,13) (11,11) (10,10) (6,4) (6,6)
Fig. IV.13 – R´epartition du paquet d’ondes, au cours du temps, sur les 3 feuillets d’un nanotube commensurable et d’un nanotube incommensurable. Le paquet d’ondes est initialement localis´e sur le tube ext´erieur ((16, 16) o`u (17, 13)). Le temps est en unit´es de ¯h/γ0. 0 500 1000 1500 2000 t 0 500 1000 1500 Dψ (t) Commensurable Incommensurable (6,4)@(10,10)@(17,13) (9,0)@(10,10) (9,0)@(18,0)
Fig. IV.14 – Evolution de la diffusivit´e d’un paquet d’ondes dans un tube `a 2 feuillets commensurables, un tube `a 2 feuillets incommensurables et un tube `a 3 feuillets in-commensurables. Le temps est en unit´es de ¯h/γ0 et les distances en ˚A.
Le (9, 0)@(18, 0) est p´eriodique, donc la propagation du paquet d’ondes est balis-tique. On a Lψ(t) = vt, o`u v ' 5.105 m.s−1 est proche de la vitesse de Fermi d’un feuillet isol´e, moyenn´ee sur tout le spectre. La diffusivit´e varie donc lin´eairement avec le temps : Dψ(t) = v2t.
Le (9, 0)@(10, 10) est tr`es comparable au pr´ec´edent de par son rayon, mais il est ap´eriodique. On observe une loi de diffusion anormale, Lψ(t) ∝ tη avec η = 0.88, interm´ediaire entre une loi balistique (η = 1) et diffusive (η = 1/2). Les lois de diffusion anormale apparaissent aussi dans les syst`emes quasip´eriodiques, qui pr´esentent une r´ep´etitivit´e particuli`ere des environnements locaux. Nous n’avons pas encore analys´e l’existence d’une telle r´ep´etitivit´e dans les nanotubes ap´eriodiques. Comme dans les quasicristaux, une telle loi de diffusion anormale pourrait avoir des cons´equences sur la conductance des nanotubes.
Le (6, 4)@(10, 10)@(17, 13) est lui aussi ap´eriodique et pr´esente une plus grande complexit´e que le pr´ec´edent en raison des 3 feuillets incommensurables entre eux. On observe une saturation de la diffusivit´e aux temps longs, ce qui correspond `a une propagation diffusive, Lψ(t) ∝ √t, comme dans les m´etaux d´esordonn´es. Ceci nous permet de d´efinir un libre parcours moyen effectif ˜le, par analogie avec le libre parcours moyen ´elastique entre deux d´efauts dans un syst`eme d´esordonn´e. ˜le est donn´e par la limite de la diffusivit´e aux temps longs, et on d´efinit par la mˆeme occasion le libre temps moyen effectif ˜τe:
limt→∞Dψ(t) = ˜lev = v2τ˜e, (IV.32) o`u v2 est la pente de Dψ(t) `a l’origine. D’apr`es la figure IV.14, on obtient, pour un couplage β = γ0/3, ˜le ' 35 nm.
La diff´erence entre les deux nanotubes ap´eriodiques `a 2 et 3 feuillets, avec le mˆeme param`etre de couplage β, montre que la propagation ´electronique d´epend fortement de la g´eom´etrie des diff´erents feuillets et du nombre de feuillets. La propagation dans des nanotubes `a plus de 3 feuillets n’a pas pu ˆetre ´etudi´ee num´eriquement, et il serait int´eressant de savoir si la d´eviation par rapport au r´egime balistique est plus importante dans le cas de nanotubes incommensurables contenant une dizaine de feuillets ou plus. Nous avons aussi ´etudi´e l’influence du param`etre de couplage β. Dans les nanotubes commensurables, la vitesse de la propagation balistique d´epend tr`es peu de β, et le syst`eme se comporte pratiquement comme un nanotube monofeuillet. Au contraire, dans les nanotubes incommensurables, la loi de propagation d´epend nettement de β. Par exemple, pour β variant entre γ0/3 et γ0, l’exposant de diffusion anormale du tube `a 2 feuillets varie de η = 0.88 `a η = 0.75, et le libre parcours moyen effectif du tube `a 3 feuillets varie de ˜le ' 35 nm `a ˜le ' 2 nm. Pour β = γ0/8, le r´egime diffusif dans le tube `a 3 feuillets n’est pas atteint dans le temps d’´evolution accessible par notre calcul num´erique.
IV.D Etude du transport ´electronique dans les nanotubes multifeuillets 123