Pour comparer la pr´ecision et l’efficacit´e de ces m´ethodes polynomiales, il n’est pas utile de consid´erer des syst`emes complexes `a 2 ou 3 dimensions. Comme on l’a vu dans la partie II.B, n’importe quel probl`eme peut se ramener `a une chaˆıne semi-infinie, par passage `a la base de r´ecursion. Lors du calcul de la propagation sur la
II.C Approximations polynomiales d’op´erateurs : ´evolution et filtrage en ´energie 49 10 100 1000 10000 100000 Nombre d’iterations de H 10−13 10−11 10−9 10−7 10−5 10−3 10−1 101 norme de | δψ > Chebyshev et recursion Runge−Kutta SOD
Fig. II.6 – Comparaison des diff´erents algorithmes de propagation dans un syst`eme p´eriodique 1D : erreur en fonction du coˆut num´erique.
chaˆıne, l’erreur due `a l’approximation polynomiale est exactement la mˆeme que si l’on calculait la propagation dans la base d’orbitales du syst`eme 2D ou 3D : cette erreur est ind´ependante du choix de la base. On ne restreint donc pas la g´en´eralit´e en se limitant, pour tester les m´ethodes, `a la propagation sur une chaˆıne semi-infinie. La seule diff´erence que peuvent avoir les syst`emes 2D ou 3D concerne les erreurs d’arrondis, qui seront plus importantes lors de l’it´eration d’un hamiltonien plus complexe. Mais pour le moment nous n´egligeons ces erreurs d’arrondi et nous en parlerons `a la fin de cette partie.
Le syst`eme consid´er´e ici est la demi-chaˆıne de r´ecursion correspondant `a la propa-gation d’un ´etat initialement localis´e sur une chaˆıne infinie p´eriodique. Les ´energies de sites de la demi-chaˆıne valent 0, la premi`ere int´egrale de saut vaut √
2s et les autres valent s. Les m´ethodes de Chebyshev et de r´ecursion sont appliqu´ees avec un polynˆome de degr´e N = 50 et sont compar´ees aux m´ethodes du second ordre (Runge-Kutta et SOD). La propagation est calcul´ee jusqu’au temps tmax = 100¯h/s, et l’erreur est d´efinie comme la norme de |δψi = |ψcalcul´ei − |ψexacti. Pour chaque m´ethode, la pr´ecision est am´elior´ee en utilisant des pas d’´evolution plus petits, donc en augmentant le coˆut num´erique d´efini comme le nombre Nit d’it´erations de ˆH. Les r´esultats sont repr´esent´es sur la figure II.6.
esti-mations (II.48) et (II.49)4. L’erreur d´ecroˆıt comme pr´evu en 1/N2
it. Quant aux m´ethodes de r´ecursion et de Chebyshev, elles sont rigoureusement ´equivalentes dans le syst`eme ´etudi´e ici, car les coefficients de la demi-chaˆıne sont ´egaux aux coefficients de r´ecurrence des polynˆomes de Chebyshev. D’apr`es la majoration (II.43), un polynˆome de degr´e N = 50 permet de calculer l’´evolution sur un temps T = 40¯h/W = 10¯h/s avec une tr`es bonne pr´ecision, et il faut donc au plus 500 it´erations de ˆH pour arriver au temps tmax. Ceci est confirm´e par le test num´erique : `a partir de Nit ' 450, la pr´ecision sature `a une valeur inf´erieure `a 10−11. Ici, les erreurs d’arrondis sont plus grandes que dans la partie II.C.3.c car l’´evaluation de R(0)N ( ˆH)|ψi n´ecessite plus d’op´erations que celle de R(0)N (E). Si maintenant on compare l’efficacit´e num´erique avec celle de la m´ethode SOD, on voit qu’avec seulement 350 it´erations de ˆH, on a d´ej`a une pr´ecision de 10−6, alors que la m´ethode SOD n´ecessite plus de 800000 it´erations pour obtenir la mˆeme pr´ecision. Les m´ethodes d’ordre ´elev´e sont donc beaucoup plus efficaces.
Nous avons aussi fait un test similaire sur la propagation d’un ´etat filtr´e en ´energie. Cet ´etat a ´et´e obtenu en diagonalisant la demi-chaˆıne restreinte aux 100 premiers sites, puis nous l’avons fait ´evoluer sur la demi-chaˆıne compl`ete (1000 sites). Nous n’avons pas observ´e de diff´erence d´ecelable entre la m´ethode de r´ecursion et la m´ethode de Chebyshev. Il existe peut-ˆetre des situations physiques o`u la r´ecursion est plus efficace que Chebyshev pour r´esoudre l’ESDT, mais nous n’en avons pas rencontr´e dans ce travail de th`ese, et nous avons donc utilis´e la m´ethode de Chebyshev pour toutes les applications.
Nous n’avons pas ´etudi´e en d´etail les erreurs d’arrondis. Mais comme les m´ethodes d’ordre ´elev´e sont plus ´economes en multiplications et additions, on peut s’attendre `a ce que ces erreurs soient moindres qu’avec les m´ethodes du second ordre. Effectivement, ces erreurs sont tr`es faibles `a chaque pas d’´evolution, de l’ordre de 10−12. Et dans tous les cas consid´er´es dans cette th`ese, il y aura au plus quelques milliers de pas d’´evolution. Sauf en cas d’instabilit´e num´erique telle que celle d´ecrite dans l’annexe B, le cumul des erreurs commises `a chaque pas reste n´egligeable. Dans un syst`eme 2D ou 3D, l’it´eration du hamiltonien n´ecessite un peu plus d’op´erations sur chaque site car le nombre de sites voisins est plus grand. Les erreurs d’arrondis sont alors un peu plus grandes, mais encore n´egligeables.
4. Pour v´erifier cet accord, on peut calculer analytiquement l’int´egrale apparaissant dans les ´equations (II.48) et (II.49). Cette int´egrale est le sixi`eme moment de la densit´e d’´etats locale et s’exprime en fonction des coefficients de r´ecursion : a0 = a1 = a2 = 0, b0 =√
2s et b1 = b2= s. On trouve finalement :R dEnψ(E)E6= 20s6.
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