3.3 D´eformations du silicium suivant h011i en traction
- compression
Le but de ce travail de th`ese est d’´etudier les d´efauts ´el´ementaires de surface, telles que les marches atomiques, et de d´eterminer leur rˆole dans les m´ecanismes de plasticit´e. Nous avons vu que la marche sur un syst`eme contraint peut agir comme un concentrateur de contrainte qui permet d’atteindre localement la limite ´elastique th´eorique du mat´eriau, initiant ainsi les d´eformations plastiques. Comme la hauteur de ce d´efaut est relativement faible, on peut s’attendre `a ce que la plasticit´e d´ebute pour des contraintes appliqu´ees proches de la limite ´elastique th´eorique. Or, l’´etude sur les coefficients ´elastiques renseigne simplement sur les petites d´eformations proches de l’´equilibre. Nous nous sommes alors int´eress´es au comportement du silicium sous grandes d´eformations de mani`ere `a comparer les potentiels semi-empiriques aux m´ethodes Premiers Principes.
3.3.1 M´ethodologie
Pour des raisons d’orientation de marche et de plans de glissement, que nous pr´ecise-rons dans le prochain chapitre, nous avons choisi d’´etudier la limite ´elastique th´eorique du silicium massif suivant la direction [011]. Nous avons utilis´e un cristal orient´e suivant les axes [100], [011] et [0¯11] (Fig. 3.1). Les syst`emes ´etudi´es comportent 640 atomes r´epartis en 16, 10 et 4 plans atomiques respectivement suivant [100], [011] et [0¯11]. En utilisant la th´eorie de l’´elasticit´e lin´eaire, nous avons d´etermin´e le tenseur des d´eformations cor-respondant `a une contrainte uniaxiale suivant [011]. A chaque incr´ement de contrainte, nous allons donc d´eformer la cellule suivant [011], mais ´egalement suivant les directions transverses, normales `a [011]. Notons que les d´eformations appliqu´ees sont obtenues `a partir des coefficients ´elastiques calcul´es pour chaque potentiel. Nous avons contraint le syst`eme par incr´ement de 1.5 GPa de 0 `a +80 GPa puis de 0 `a -65 GPa. Ici et dans la suite, les contraintes appliqu´ees de signe positif correspondent `a des essais de traction, et celles de signe n´egatif `a des essais de compression. Entre chaque incr´ement de contrainte, les positions atomiques sont relax´ees de mani`ere statique grˆace `a un algorithme de
gra-dients conjugu´es, jusqu’`a ce que les forces sur chaque atome soient inf´erieures `a 10−3 eV
˚
Chapitre 3. Etude du silicium massif [100] [011] [011]_ [011] [011]_ [100] 16 plans 4 plans 10 plans
Fig.3.1 –Cellule de simulation utilis´ee pour le calcul de la limite ´elastique th´eorique du silicium massif suivant [011].
r´eseaux CFC composant la structure diamant. Pr´ecisons qu’apr`es chaque incr´ement de contrainte, les dimensions de la cellule sont maintenues fixes. En cons´equence, pour les fortes d´eformations loin du r´egime lin´eaire, la contrainte n’est plus forc´ement uniaxiale.
Pour les calculs ab initio, nous avons utilis´e le code SIESTA avec la base standard optimis´ee DZP prise comme r´ef´erence. Le syst`eme de simulation est orient´e comme celui utilis´e avec les potentiels empiriques, mais avec des dimensions plus petites (24 atomes r´epartis en 8, 2 et 2 plans atomiques respectivement suivant [100], [011] et [0¯11]). La contrainte est appliqu´ee par pas de 3 GPa de 0 `a +60 puis de 0 `a -60 GPa, et entre chaque incr´ement de contrainte les positions atomiques sont relax´ees de mani`ere statique grˆace `a un algorithme de gradients conjugu´es, jusqu’`a ce que les forces sur chaque atome soient inf´erieures `a 10−2 eV ˚A−1.
3.3.2 R´esultats - Discussions
Nous avons trac´e sur la figure 3.2, la variation de la densit´e d’´energie w en fonction de la d´eformation ε suivant [011] correspondant `a la contrainte uniaxiale appliqu´ee, ainsi
que sa d´eriv´ee dwdε . Entre -8 et +20 % de d´eformation, toutes les courbes sont superpos´ees
3.3. D´eformations du silicium suivant h011i en traction - compression petites d´eformations du silicium, tout du moins suivant l’axe [011]. En compression, les courbes des potentiels classiques divergent rapidement de la courbe Premiers Principes pour des d´eformations inf´erieures `a -8 %. Cependant, on peut remarquer que le potentiel
SW donne une courbe tr`es douce contrairement `a EDIP et au potentiel de Tersoff o`u
de fortes oscillations apparaissent pour un taux de d´eformation relativement ´elev´e. A de telles d´eformations, les distances interatomiques sont fortement r´eduites et la distance entre certains atomes non premiers voisins peut devenir inf´erieure au rayon de coupure des potentiels. Dans ces conditions, les potentiels prennent en compte un plus grand nombre de voisins pour le calcul de l’´energie. Les oscillations peuvent alors s’expliquer par la gestion plus ou moins douce du nombre de voisins.
Les d´eriv´ees des courbes d’´energie par rapport `a la d´eformation suivant [011] donnent directement la contrainte r´eelle suivant [011] r´egnant dans le cristal (Fig. 3.2). Nous avons trac´e cette contrainte en fonction de la contrainte appliqu´ee suivant [011] obtenue par l’´elasticit´e lin´eaire. La droite en pointill´es fins correspond `a un syst`eme th´eorique pour le-quel la contrainte r´eelle reste lin´eaire par rapport `a la contrainte appliqu´ee. En comparant
cette droite aux diff´erentes courbes, nous pouvons d´eterminer le domaine o`u les
d´eforma-tions ´elastiques sont lin´eaires. La courbe DFT-LDA est superpos´ee `a la droite pour des contraintes comprises entre -10 et 10 GPa, ce qui correspond au domaine d’´elasticit´e li-n´eaire du silicium. Sur cette mˆeme fourchette de contrainte, nous pouvons remarquer que les comportements des trois potentiels sont similaires `a celui obtenu avec la m´ethode ab initio. Ils d´ecrivent donc correctement les d´eformations ´elastiques et lin´eaires du silicium. En traction comme en compression, la meilleure mod´elisation des contraintes par rapport `a l’ab initio est obtenue avec EDIP, avec des courbes de contrainte confondues sur un large domaine.
Nous pouvons ´egalement d´eterminer la limite ´elastique th´eorique en traction des dif-f´erents potentiels, qui correspond au maximum de la contrainte r´eelle rencontr´e au cours de la d´eformation (Tab. 3.2). Nous pouvons remarquer que la limite ´elastique th´eorique calcul´ee en Premiers Principes est tr`es ´elev´ee : 42.0 GPa, ce qui correspond `a un allon-gement suivant [011] de 25.0 %. Tous les potentiels classiques montrent ´egalement de grandes, voire de tr`es grandes limites ´elastiques th´eoriques. La valeur la plus proche de l’ab initio est obtenue par le potentiel SW, 49.5 GPa (35.9 %). En terme de d´eformations, on peut remarquer que les potentiels Tersoff et EDIP ont des limites ´elastiques th´eoriques
Chapitre 3. Etude du silicium massif
-40 -20 0 20 40
ε (%)
0
0.02
0.04
0.06
0.08
w (eV / ų)
DZP
SW
Tersoff
EDIP
-60 -40 -20 0 20 40 60 80
σ (GPa)
-100
-50
0
50
100
dw/d
ε
(GPa)
Fig. 3.2 – Graphe sup´erieur : ´evolution de la densit´e d’´energie w (eV ˚A−3) du silicium soumis `a une contrainte uniaxiale le long de [011]. w est repr´esent´e en fonction de la d´efomation ε (%) suivant [011]. Graphe inf´erieur : contrainte r´eelle (GPa) suivant [011] donn´ee par dwdε en fonction de la contrainte lin´eaire appliqu´ee. La droite en pointill´es fins (y=x) permet de visualiser le domaine o`u la contrainte locale reste lin´eaire par rapport `a la contrainte appliqu´ee.
3.4. Cisaillement homog`ene des plans {111} du silicium suivant h110i