Cisaillements homog`enes du silicium massif

Comme nous l’avons expliqu´e dans le chapitre 3, les cisaillements homog`enes du sili-cium massif constituent un point de comparaison fort entre les diff´erentes techniques de calcul, car le changement de liaisons atomiques lors du cisaillement des plans, est l’´el´ement clef pour pouvoir nucl´eer, puis faire glisser une dislocation. Nous avons donc r´ealis´e les

Chapitre 5. Processus de nucl´eation des dislocations - ´etude ab initio

mˆemes calculs de cisaillements homog`enes des plans denses {111} suivant une direction [110] avec les bases SZ et DZP et nous les avons compar´e `a ceux d´ej`a r´ealis´es en ondes planes (OP) avec le code ABINIT (chapitre 3). Ici, les calculs effectu´es avec la base OP se-ront pris comme r´ef´erence, car, pour un nombre suffisant d’onde planes, cette base permet de repr´esenter pr´ecis´ement les fonctions d’ondes ´electroniques du syst`eme. La technique de simulation est d´ecrite dans le chapitre 3 et les param`etres des calculs sont regroup´es dans l’annexe B.

Nous avons repr´esent´e la variation d’´energie par atome au cours du cisaillement pour

les 3 bases utilis´ees, ainsi que la contrainte de cisaillement σ23 pr´esente dans le cristal

(Fig. 5.2). Tout d’abord, nous pouvons observer que les diff´erentes courbes sont qualitati-vement tr`es proches de celles obtenues `a partir de la base OP. Les courbes d’´energie sont toutes sym´etriques et atteignent une valeur nulle `a la fin du cisaillement appliqu´e (122 %). Comme avec les bases d’ondes planes, les bases DZP et SZ permettent de retrouver la structure cubique diamant du silicium, grˆace `a un cisaillement le long des plans {111} du shuffle set, correspondant `a un glissement ´egal au vecteur de Burgers d’une dislocation parfaite dans chaque plan du shuffle set. Cependant, `a la moiti´e du cisaillement total ap-pliqu´e, la base DZP surestime l´eg`erement le maximum de l’´energie qui passe de 0.35 eV par atome pour la base OP `a 0.40 eV par atome pour la base DZP. Cet effet est encore

amplifi´e pour la base SZ o`u le maximum atteint 0.50 eV par atome.

Les courbes de contrainte obtenues avec la base SZ et DZP, ont des formes relative-ment douces et assez proches de la courbe calcul´ee avec la base OP (Fig. 5.2). Si nous comparons les limites ´elastiques th´eoriques (d´eformation correspondant `a la contrainte de cisaillement maximale), on remarque que quelle que soit la base, elles sont atteintes `a 24.5 % de d´eformation (20 % de la d´eformation totale) (Tab. 5.3). Cependant, les maxi-mums des contraintes de cisaillement changent d’une base `a l’autre. La base OP donne une contrainte de cisaillement de 7.96 GPa, la base DZP de 9.83 GPa et la base SZ de 12.61 GPa. Finalement, les ´ecarts entre les bases DZP et SZ d’une part, et la base OP d’autre part, restent quantitatifs et apparaissent davantage sur des grandeurs intensives comme les contraintes que sur des grandeurs extensives telles que les d´eformations. Dans ces conditions, la base SZ semble suffisante pour repr´esenter le comportement du silicium et en particulier les changements de liaisons atomiques au cours du cisaillement.

5.2. Choix de la base 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 eV / atome SZ DZP OP 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Cisaillement appliqué -10 -5 0 5 10 GPa

Fig.5.2 –Graphe sup´erieur : variation de l’´energie atomique au cours du cisaillement. Graphe inf´erieur : contraintes de cisaillement σ23 pour les diff´erentes bases.

Tab. 5.3 – Limites ´elastiques th´eoriques en cisaillement obtenues en DFT-LDA avec les bases ondes

planes, DZP et SZ, `a 0 K et `a volume constant.

Ondes planes DZP SZ GPa 7.95 9.83 12.61

% 24.5 24.5 24.5 % de γtot 20 20 20

5.2.4 Conclusion

Nous venons de r´ealiser diff´erents calculs afin de comparer les bases OP, DZP et SZ. Les bases OP et DZP prises comme bases de r´ef´erence permettent de retrouver les coefficients ´elastiques du silicium d´etermin´es exp´erimentalement. Bien que la base SZ ne permette pas de retrouver exactement ces valeurs, elle d´ecrit relativement bien l’ensemble des modules de cisaillement et en particulier celui intervenant dans le glissement des dislocations le long des plans {111}. De plus, les d´eformations suivant [011] ont montr´e que la base SZ est ´egalement capable de d´ecrire les d´eformations lin´eaires et ´elastiques du silicium de la mˆeme fa¸con que la base DZP. Du point de vue des contraintes, les limites ´elastiques th´eoriques d´etermin´ees avec la base SZ et la base DZP sont atteintes pour approximativement le

Chapitre 5. Processus de nucl´eation des dislocations - ´etude ab initio

mˆeme taux de d´eformation. Cependant, la base SZ tend `a sur´evaluer les contraintes locales du mat´eriau. Les cisaillements homog`enes ont confirm´e cette tendance, avec une tr`es bonne description de la limite ´elastique th´eorique de cisaillement mais une l´eg`ere surestimation de la contrainte de cisaillement correspondante.

Dans la suite de notre ´etude, nous voulons mod´eliser le processus de nucl´eation des dislocations `a partir d’une marche sur un cristal contraint. Comme dans l’´etude pr´ec´e-dente, nous allons appliquer des d´eformations correspondant `a une contrainte uniaxiale, il se peut alors que la contrainte r´eelle s’´eloigne plus ou moins fortement de la contrainte lin´eaire appliqu´ee. Cependant, ce probl`eme ne devrait pas perturber qualitativement les r´esultats, du moins en terme de d´eformation. Nous avons donc choisi de mod´eliser le silicium en utilisant la base SZ de mani`ere `a pouvoir traiter les plus grands syst`emes possibles. Toutefois, pour conforter nos r´esultats, nous allons ´egalement r´ealiser un calcul avec la base DZP mais sur un syst`eme de dimensions plus petites.