D-branes dans la théorie des petites cordes

est alors obtenue par le flot spectral de l’algèbre N=2, voir section II.1. Or cette projection se réa-lise naturellement sur le spectre, simultanément pour le secteur gauche et le secteur droit, par l’orbifold Z_N5 des théories de quotient (IV.8).

Ainsi cet orbifold apparaît selon trois points de vue différents. Premièrement, dans la dériva-tion holographique de la théorie conforme des branes sur un cercle, ce couplage est hérité de la décomposition de SU (2) en {SU (2)/U (1) × U (1)}/Z_N

5. Deuxièmement, nous avons montré que la solution de supergravité pour des branes sur un cercle correspond à une théorie de quotient de SL (2, R) × SU(2), équivalente à l’orbifold (IV.8). Troisièmement, cet orbifold est nécessaire pour construire les charges de supersymétrie d’espace-temps.

Nous voyons à travers cet exemple que la nécessité de projeter sur les charges entières de symétrie R induit parfois une projection sur le spectre changeant complètement la géométrie de la solution de l’action effective de basse énergie. En effet, dans notre exemple, l’ordre de l’or-bifold est N₅, identique au niveau des modèles de WZW, et dans la limite de basse énergie α⁰→

0, α⁰N₅ fixé, les secteurs déformés de l’orbifold survivent, et correspondent à des champs de fond différents. Cette remarque résout certaines contradictions apparentes entre la supersymétrie apparente préservée par des modèles sigma du type SL (2, R) /U(1) × SU(2)/U(1), à cause de la symétrie superconforme étendue sur la surface d’univers, et l’absence de supersymétrie de la solution de supergravité correspondante [121]. En effet, la description correcte à basse énergie doit tenir compte de la projection sur les charges entières.

IV.5. D-branes dans la théorie des petites cordes

L’étude du spectre des cordes fermées dans la géométrie desNS5-branes, que nous avons dé-velopée dans la section précédente, est utile pour comprendre les degrés de liberté des cordes se propageant dans l’espace ambiant, et fournissent une description holographique de la théorie vi-vant sur lesNS5-branes. Cependant, la théorie conforme peut aussi nous donner des informations sur les degrés de liberté non-perturbatifs de la théorie des cordes autour des cinq-branes. L’étude des théories de cordes ouvertes permet en effet d’étudier le spectre desD-branes dans cette géo-métrie [122]. En particulier nous pouvons de cette manière comprendre la théorie des bosonsWde la théorie des petites cordes, correspondant à desD1-branes étendues entre lesNS5-branes. Il est possible que cette théorie de cordes ouvertes fournisse une description de la physique de la théorie des petites cordes.

Nous commençons cette construction par l’étude des D-branes dans la théorie de quotient N=2 SL (2, R) /U(1), ou de manière équivalente, N=2 Liouville. Ce travail est contenu dans la publication n^o4. Comme pour la théorie de cordes fermées, nous pouvons utiliser, pour construire lesD-branes, le plongement de la théorie dans SL (2, R). Cette méthode fut utilisée dans [123] pour traiter du quotient bosonique. Dans les deux cas nous utilisons les résultats de [124], où les branes dans H₃⁺ sont étudiées, en utilisant, comme pour les corrélateurs de cordes fermées, les états nuls des représentations dégénérées de SL (2, R).

Les propriétés physiques d’uneD-brane sont contenues dans les fonctions à un point des opéra-teurs de l’espace de Hilbert des cordes fermées, en présence de laD-brane imposant des conditions de bord sur la surface d’univers.^gCette quantité contient en effet le couplage de tous les opéra-teurs primaires de cordes fermées à laD-brane, en particulier sa masse (couplage au graviton) et sa charge deR-R. Les fonctions à un point pour les modes de cordes fermées, avec des conditions au bord α, peuvent être aussi considérées comme les coefficients de l’état de bord |B_αi associé

gNotre description desD-branes est ici très sommaire, par souci de concision. Une introduction pédagogique utilisant le même formalisme est donnée dans [125] et la thèse [126].

à laD-brane, développé sur la base des solutions élémentaires des conditions aux bords, appelées états d’Ishibashi [127].

Cette fonction à un point doit satisfaire un certain nombre de propriétés pour correspondre à un état de bord acceptable de la théorie conforme. La première condition est la dualité cordes ou-vertes/cordes fermées, ou condition de Cardy, fig. IV.2. Considérons en effet la surface d’univers

σ |B ₁> B | ₂ < t σ∼ ∼_t

FIG. IV.2. Amplitude sur l’anneau dans le canal des cordes fermées (gauche) et dans le canal des cordes ouvertes (droite).

d’une cordes fermée, paramétrée par (σ ,t) et se propageant entre un état de bord |B₁i, à t = 0, et un

état de bord |B₂i, à t = 2π. Nous pouvons interpréter cette amplitude différement, en échangeant

le rôle de σ et de t, comme une amplitude à une boucle pour des cordes ouveres finissant sur les

D-branes, en ˜σ = 0, π , correspondant aux états de bord ; le changement de canal correspond

effec-tivement à la transformation modulaire sur les caractères τ → −1/τ. Dans une théorie conforme rationnelle, nous pouvons exiger que le spectre des cordes ouvertes contienne des caractères de l’algèbre chirale de la théorie conforme, avec des multiplicités entières et positives. Cette condi-tion imposant une contrainte non-linéaire sur les fonccondi-tions à un point, est appelée condicondi-tion de Cardy [128]. Les branes obéissant à cette condition sont dites maximalement symétriques car elles préservent une copie de l’algèbre chirale. Des branes plus générales peuvent être construites, en imposant uniquement la préservation de la symétrie superconforme N=1 de la théorie des cordes. D’autres contraintes, liées aux propriétés de factorisation des amplitudes d’opérateurs approchant du bord, doivent être imposées sur les fonctions à un point.

Ces diverses contraintes furent résolues dans [124] pour les branes maximalement symétriques de H₃⁺. Les différents types de branes correspondent aux différentes conditions de collage sur les courants de l’algèbre SL (2, R). Ainsi, en général pour des branes symétriques nous pouvons imposer sur le bord les conditions de collage : Ja=Ω( ¯Ja), oùΩest un automorphisme extérieur de l’algèbre affine préservant le tenseur d’énergie impulsion. En utilisant l’expression des courants de symétrie R de la théorie de quotient (IV.11), ces conditions de collage impliquent des conditions de collage sur l’algèbre superconforme N=2, dites de type A ou de type B [115,129]. Enfin, en utilisant la construction BRST des théories de quotient, voir section II.3, nous construisons les fonctions à un point dans le quotient SL (2, R) /U(1) comme le produit de fonctions à un point de SL (2, R) et de U(1), et d’une contribution éventuelles des fantômes. Ces fonctions à un point sont corrélées par la symétrieBRST, et nous pouvons lire de l’expression (II.20) de la chargeBRSTles conditions au bord à imposer sur le boson supplémentaire pour préserver la symétrieBRST.

En résumé, comme dans le quotient bosonique, nous trouvons trois types de branes dans SL (2, R) /U(1)|_axialsupersymétrique / N=2 Liouville :

– des D0-branes, localisées à l’extrémité du cigare ρ = 0. Elles possèdent un paramètre en-tier, caractérisant la représentation finie de SL (2, R) apparaissant dans le spectre des cordes ouvertes. Ces représentations ne sont pas unitaires ; par conséquent, seule laD0-brane cor-respondant à la représentation triviale doit être physique. Dans le canal des cordes fermées,

IV.5. D-branes dans la théorie des petites cordes 185

l’état de bord de la D0-brane couple à la fois aux représentations discrètes et continues de SL (2, R). Nous avons aussi construit lesD0-branes dans un orbifold Zp du cigare. En particulier, si le niveau k de SL (2, R) est entier, nous pouvons construire les branes dans l’orbifold Z_kqui doit correspondre à N=2 Liouville d’après la discussion de la section IV.4. Notons que nos résultats coïncident alors avec ceux de [92] ;

– des D1-branes qui s’étendent à l’infini dans la direction radiale et sont localisées dans la direction angulaire du cigare ;

– des D2-branes recouvrant tout le cigare et possédant un champ magnétique localisé près de la pointe du cigare, induisant une charge deD0-brane. Nous nous attendons à trouver des états liés deD2- et deD0-branes. La fonction à un point contient effectivement un couplage aux représentations discrètes, localisées près de la pointe du cigare, mais l’amplitude de l’anneau contient une contribution, certes similaire à celle desD0-branes, mais avec un coef-ficient −1/2. Il semblerait que seule l’amplitude entre deuxD2-branes de même paramètre ait alors un sens physique.

En utilisant ces D-branes, ainsi que celles, bien connues [130], de la théorie SU (2)/U (1), nous pouvons alors construire lesD-branes dans la géométrie desNS5-branes sur un cercle. Dans ce travail en cours, en collaboration avec Jan Troost et Ari Pakman, nous avons tout d’abord construit la fonction à un point pour lesD1-branes – ou bosonsW–de la théorie des petites cordes. Nous espérons obtenir des informations sur la dynamique de la petites théorie des cordes grâce à la théorie effective sur lesD1-branes. Ensuite, nous construisons lesD3-branes dont la géométrie est très intéressante, en raison de l’effet «Hanany–Witten» [131–133]. Lorsque uneD3-brane traverse uneNS5-brane, nous devons observer une création deD1-branes étendues entre elles.