Comme déjà mentionné et illustré sur la figure 3.1, la partie purement Monte Carlo de la simulation vise uniquement à traiter la propagation et les interactions de particules dans un cadre minimal qui ne dépend que de peu de paramètres.
3.3.1 Propriétés des particules
Dans le code, une particule est identifiée par ses propriétés :
◮ sa nature qui s’identifie in fine à sa charge (0 pour un photon, -1 pour un électron, +1 pour un positron),
◮ son énergie,
◮ sa position cartésienne dans le repère comobile centré sur la source, ◮ sa direction cartésienne dans le repère comobile centré sur la source, ◮ son retard temporel par rapport à un photon primaire émis en ligne droite, ◮ son poids,
◮ sa génération dans la cascade,
Poids des évènements
Afin de réduire le temps de calcul, seule une fraction des interactions est effectivement traitée par le code (voir plus loin). Les propriétés de la cascade sont alors conservées en augmentant le poids des particules restantes. En plus des ses caractéristiques habituelles, toute particule est donc affectée d’un poids wi. Celui-
ci est initialement de 1, mais il augmente au fils des interactions pour les particules qui sont conservées et traitées jusqu’au bout.
Générations
Pour étudier les cascades, il est aussi utile d’enregistrer la "génération" des particules. Pour le reste du texte, nous utiliserons le formalisme suivant (voir figure 1.6) :
Génération 0 : Photons primaires issus de la source.
Génération 1 : Leptons produits par création de paires des photons de génération 0 ainsi que tous
les photons gamma diffusés par Compton inverse sur ces mêmes leptons.
Génération 2 : Leptons produits par création de paires des photons de génération 1 ainsi que tous
les photons gamma diffusés par Compton inverse sur ces mêmes leptons.
etc
3.3.2 Source simple
Le code simule une source infiniment collimatée c’est-à-dire que tous les photons primaires sont tirés dans la même direction. La géométrie de la source est traitée en post-traitement à partir de quelques hypothèses.
L’énergie des photons initiaux est tirée entre Emin et Emax. Comme ce sont les photons de plus haute
énergie qui génèrent la cascade, il est plus intéressant de tirer plus de photons avec une énergie proche de Emaxque de Emin. C’est pourquoi l’énergie E d’un photon initial est tiré uniformément en log :
log Es= log Emin+ χ log E
max
Emin
, (3.9)
où χ est un nombre tiré uniformément aléatoirement entre 0 et 1. Ce type de tirage génère un spectre en loi de puissance de pente dN/dEs= Es−1. Il se trouve avantageusement que ce spectre peut correspondre au
spectre des blazars les plus durs. Il est aisé par la suite en post-traitement de pouvoir convertir le résultat de la cascade avec ce spectre intrinsèque en un résultat pour n’importe quel spectre.
3.3.3 Calcul de la distance d’interaction
Que ce soit pour les photons ou les leptons, la procédure pour calculer la distance à parcourir avant la prochaine interaction est la même.
La profondeur optique d’interaction τint est tirée selon une loi de probabilité e−τint. Dans la pratique, la
profondeur optique est calculée comme τint= − ln(1 − χ) où χ est tiré uniformément entre 0 et 1.
Pour s’assurer qu’il y a interaction, la profondeur optique d’interaction est comparée à la prondeur optique jusqu’à la Terre τlim. Si τint > τlim, il n’y a pas interaction et la particule peut être déplacée jusqu’à la
Terre.
Dans le cas où il y a interaction, il faut déterminer la distance (redshift) où a lieu l’interaction zint. Dans
un univers en expansion, il n’y a pas de relation analytique z(τ) qui relie le redshift d’interaction à la profondeur optique. Le redshift est donc calculé de manière itérative (par dichotomie pour les photons et par la méthode Raphon - Newton pour les leptons). À chaque itération, le calcul de la profondeur optique est effectué suivant la méthode présentée en sections 2.1.2et2.1.3.
3.3.4 Calcul de l’interaction et de ses produits
De même que pour le déplacement, la méthode générale pour calculer l’interaction est la même quelle que soit la particule (photon ou lepton). La procédure de calcul passe par deux étapes :
Tirage du photon cible (énergie et direction)
◮ Le tirage en énergie se fait par la méthode de rejet en incluant le fond diffus ainsi que la section efficace différentielle (en énergie) d’interaction (Malzac et al., partie 6.6 de la thèse).
◮ Une fois l’énergie déterminée, l’angle d’interaction entre les deux particules est tiré. L’interaction est supposée axisymétrique autour de la direction de la particule incidente (probabilité de l’angle azimutale φ uniforme). Le tirage de l’angle polaire θ (par rapport à cette même direction incidente) est calculé par la méthode de rejet, en utilisant la section efficace totale et l’énergie déjà déterminée du photon cible.
Calcul de l’interaction
◮ Une fois l’énergie et l’angle du photon cible connus, ces quantités (ainsi que celles de la particule incidente) sont converties dans le repère du centre des moments (pour l’annihilation de photons) ou le repère de l’électron (pour Compton).
◮ Dans ce repère, l’énergie et la direction des particules issues de l’interaction sont déterminées de manière aléatoire. Pour la diffusion Compton inverse, l’angle de diffusion est tiré par méthode de rejet en utilisant la section différentielle (en angle) et on prend un angle azimutal uniforme. Pour l’annihilation de photons, l’angle polaire d’un des deux leptons produits est tiré par rejet et tirage d’ un angle azimuthal sur une distribution uniforme. Dans les deux cas, les autres quantités (énergie, ainsi qu’énergie et direction de l’autre particule produite) se dérivent simplement par les lois de conservation de l’énergie/impulsion.
◮ Une fois les propriétés des particules produites calculées dans le référentiel de l’interaction, on fait le changement de repère inverse pour revenir aux propriétés dans le référentiel de l’observateur. 3.3.5 Enregistrement des résultats
Rappelons que, dans la simulation, l’ensemble des photons primaires est émis dans une direction unique −→
w0. Les propriétés des particules secondaires sont enregistrées quand elles franchissent la sphère de rayon
la distance Terre - source autour de la source c’est-à-dire lorsque la distance comobile de la particule à la source d est égale à la distance comobile de la source à la Terre Ds. Les propriétés enregistrées sont les
suivantes :
1. leur génération, 2. leur poids, 3. leur énergie,
4. leur retard temporel,
5. leur position et direction d’arrivée (voir ci-dessous), 6. leur charge (quelques leptons arrivent sur Terre aussi).
Position
Une particule i lorsqu’elle est enregistrée, est caractérisée par sa position dans le repère du code Rcà savoir
le repère orthonormé cartésien centré sur la source (voir figure3.2). L’enregistrement s’effectuant dans le référentiel Rccela correspond à une sphère de rayon Ds. La position de la particule −→np,idans ce référentiel
en coordonnées sphériques est (rp,i; θp,i; φp,i). En pratique pour des raisons de symétries, seul l’angle θp,i
est enregistré :
θp,i = arccos(−→np,i.−w→0) (3.10)
Direction
De même, la direction −→nd,iest mesurée en coordonnée sphérique (θd, φd), mais cette fois dans un système
défini pour l’observateur. Un deuxième repère Rp,i spécifique à la particule est alors introduit où l’axe
polaire est porté par le vecteur position −→np,i (repère bleu sur la figure3.2) :
−→
ux,i = −→np,i, −→uy,i= −→uz,i× −→nd,i, −→uz,i = −→np,i× −→nd,i. (3.11)
La référence φd= 0 est définie pour être dans le plan qui contient la direction d’émission des primaires et
l’axe polaire. Les angles de la direction d’arrivée lorsque cette particule rejoint la Terre (sphère), sont :
θd,i= arccos(−→nd,i.−→np,i), (3.12)
φd,i= arctan
−→
nd,i.(−→w0× −→np,i)
−→
nd,i.((−→w0× −→np,i) × −→np,i) !
, (3.13)
où −→w0est la direction d’émission du photon source initial dans le repère Rc. Dans le cadre de la simulation
cette direction est toujours la même. θp,i correspond à l’angle polaire de la position d’arrivée du photon
dans le repère Rc. θd,iet φd,isont les coordonnées polaire et azimutale de la direction d’arrivée du photon
dans le repère particulier Rp,i.