De nombreuses études concernent l'impact de la non normalité sur l'efficacité des cartes de contrôle. Burr [Burr 67]21, par exemple a montré que les cartes de contrôle ne pouvaient être raisonnablement utilisées que si la population ne se révélait pas fortement non normale. Shilling et Nelson [Shi 76]22 ont alors cherché à déterminer quelles étaient les domaines d'applications valides des cartes de contrôle. L'une des répercussions essentielles de la non normalité sur les performances d'une carte de contrôle est la modification des risques a liés aux tests d'hypothèse. Shilling et Nelson considèrent que le domaine d'application d'une carte X n'est valide que pour un risque a proche de 0.3%. Pour cela deux alternatives sont envisageables : soit la distribution des moyennes suit une loi normale et on garde les limites traditionnelles (Cible±3sX ), soit il faut modifier les limites de contrôle.
Les auteurs ont donc calculé les risques pour différentes lois non normales et pour différentes tailles d'échantillons. Les résultats obtenus ne permettent pas de conclure à une quelconque méthode pour établir les limites de contrôle. Cependant, ils confirment que les risques a sont dans la plupart des cas très différents de 0.27% si l'on s'en tient aux limites habituellesCible±3sX . De plus, on peut constater que le théorème central limite n'est pas un bon argument pour placer des limites de contrôle à Cible±3sX lorsque les échantillons sont de taille moyenne. En effet, la convergence en loi de la distribution de la moyenne est parfois très lente. A titre d'exemple, le tableau (Figure 24) donne la taille minimum d'un échantillon pour obtenir des risques de l'ordre de 0.3% pour
différentes lois de distribution de la population.
21 BURR, I. W. The effect of Non-Normality on constants for X and R charts Industrial Quality Control, Vol. 23, N°11, pp563-568 Mai 1967
22 SHILLING E.G. & NELSON P.R. The effect of non normality on the control limits of Xb charts - Journal of Quality technology - Vol 8 N°4 pp183-188 - 1976
Type de loi Echantillon mini
Pour chacun de ces cas, les tailles d'échantillons sont rédhibitoires pour l’utilisation des cartes de contrôle. En pratique, on considère souvent que des risques inférieurs à 0.3% permettent une utilisation satisfaisante des cartes de contrôle. Dans ce cas les échantillons minimum sont d’une taille plus acceptable pour la loi uniforme et la loi bimodale symétrique (Figure 25).
Type de loi Echantillon mini Risque α pour n=5
Uniforme 2 0.00094
On retiendra essentiellement deux thèses dans le choix des limites d’une carte de contrôle :
· Une première approche que l’on qualifiera de « puriste » tend à garder les risques a aussi proches que possible de 0.27% pour la carte des moyennes, quel que soit le type de distribution abordée. Nous décrirons dans ce chapitre quelques unes des méthodes permettant d’aboutir à ce résultat. Nous citerons par exemple les travaux de Yourstone [Your 92]23 qui suggère un
ajustement des limites de contrôle basé sur une identification de la distribution de la population.
· Une autre approche, un peu plus « pragmatique » consiste à placer systématiquement les limites de contrôle à ±3sestimateur quelle que soit la carte utilisée. Ce choix de l’intervalle de confiance bien que simpliste, fait néanmoins autorité puisque les cartes de contrôle les plus répandues utilisent ce type de limites. Parmi ces cartes, nous pouvons citer la carte aux écart-types (S), la carte aux étendues (R), les cartes aux attributs (p,np c et u) pour lesquelles l’estimateur utilisé ne suit pas une loi normale.
23 YOURSTONE Steven A. & ZIMMER W.J. Non normality and the design of control; charts for averages Decision Science Vol 23 N°5 pp 1099-1113 - 1992
David [Dav 81]24 considère en effet, que l’ajustement des limites de contrôle dans le but de conserver des risques proches de 0,27% est un raffinement dont l’apport pratique est limité.
Wheeler [Whe 92]25adopte le même point de vue et montre pour plusieurs exemples de distributions non normales que la distribution des moyennes offre des risques a d’un ordre de grandeur très raisonnable pour de faibles tailles d’échantillons.
Incidence sur le choix de l’estimateur
La problématique ne se borne malheureusement pas au calcul des limites pour une carte de contrôle. Le problème de l’estimateur ponctuel est aussi un élément important. Nous savons par exemple que si la population est distribuée selon une loi normale, alors la moyenne est le meilleur estimateur sans biais qui puisse exister. En effet, sa variance atteint la borne de Frechet qui fixe la variance théorique minimum de l’estimateur en fonction de l’information qui lui est fournie. Qu’en est il lorsque la population n’est pas distribuée selon une loi normale ?
On peut montrer par exemple que la médiane est particulièrement performante pour des lois à caractère impulsionnel, tandis que le milieu de l’étendue aura un bon comportement pour des lois proches de la loi uniforme.
Estimateur Domaine d’application
X=X
n12
(n impair) X=1
n
∑
n
xi
Xn−X1 2
Figure 26
24 DAVID H. A. Order Statistics - New York - Willey - 1981
25 WHEELER D. J. Understanding Statistical Process Control - SPC press - 1992
D’autre part, les règles de décision telles que : « 7 points consécutifs sont du même coté de la cible alors le procédé est hors contrôle » n’ont plus la même signification lorsque la distribution de l’estimateur n’est pas symétrique. Quand la distribution de la population suit une loi normale, la moyenne et la médiane de la population sont superposées. Ainsi les probabilités que la moyenne d’un échantillon soit à droite ou à gauche de la moyenne de la population (X ) sont égales. Cette propriété est à la base de ces règles de décision.
Or, lorsque la population est dissymétrique, la moyenne et la médiane ne sont plus superposées.
Cela signifie que la probabilité qu’une valeur individuelle tombe à droite de la moyenne n’est pas égale à celle qu’elle tombe à gauche. Le problème est donc le même si la distribution de la moyenne n’est pas symétrique. La moyenne des moyennes est différente de la médiane des moyennes. En toute rigueur, le test n’est plus valable.