Détermination de la limite cœur-halo à deux dimensions

Le travail présenté ici est une extension du critère 1D étudié précédemment au chapitre 7.1 à deux dimensions. On considère une distribution de densité ρ(x, x0₎

dans un espace de phase. On applique alors la méthode dite des "rayons". Pour qu’elle soit la plus précise possible, il faut commencer par passer dans l’espace normalisé (_√x β, αx √ β+ √

βx0) afin d’avoir une distribution la plus ronde possible [19] qu’on projette sur un histogramme 2D. Le barycentre de la distribution est ensuite calculé. On étudiera ensuite des coupes du faisceau selon des angles réguliers autour de ce barycentre. La densité en chaque point d’une telle coupe est obtenue par interpolation des 4 cases qui l’entoure. On obtient ainsi un profil 1D pour lequel les points où la dérivée est maximale sont déterminés. L’ensemble de ces points reliés entre eux formera un contour qui représente la limite cœur-halo cherchée.

Un exemple d’application de la méthode est montrée à la figure 7.13 pour une distribution gaussienne tronquée à 3-σ. La méthodologie et les algorithmes utilisés sont détaillés en annexe A.

Figure 7.13 – Méthode des rayons pour trouver les points du contour de la limite cœur-halo dans

l’espace des phases normalisé pour une distributions gaussienne tronquée à 3σ. Les points du contour sont indiqués par des ronds verts, la densité et ses dérivées le long de la section surlignée en vert sont indiquées en dessous.

passe par chaque case située sur un cercle ayant un diamètre de la moitié de la taille de l’histogramme. Le nombre de coupes est donc : nbcoupes = πn₄ . Ceci permet

de profiter de toute l’information disponible et ce sans multiplier les calculs, dans l’hypothèse où la limite cœur-halo se trouve à mi-chemin du bord de l’histogramme, ce qui est le cas pour une gaussienne tronquée à 3 ou 4 σ.

Une fois le contour déterminé, il reste encore à trier les particules entre celles qui sont à l’intérieur du contour (cœur) ou à l’extérieur (halo). On utilise pour cela la méthode de Jordan : pour un point donné du plan, une demi-droite quelconque partant de ce point qui coupe le contour un nombre pair (resp. impair) de fois veut dire que ce point est à l’extérieur (resp. intérieur) de ce contour.

Cette méthode donne des résultats non ambigus dans le cas de distributions connexes et dont le cœur se trouve dans la zone la plus dense. Dans les cas plus complexes, comme les faisceaux creux, ou en plusieurs parties, ou avec filaments, etc. un examen plus soigneux et un traitement spécifique sont nécessaires.

Une fois que les particules sont divisées entre celles du cœur et du halo, deux ellipses de concentration peuvent être déterminées pour chacun des ensembles, à partir desquelles les paramètres de Twiss et l’émittance peuvent être déduits pour le cœur et pour le halo séparément.

Comme en 1D, le halo peut être caractérisé plus particulièrement en taille et en proportion par les deux paramètres PHP, le pourcentage de particules de halo, et PHS, le pourcentage de surface de halo (de l’espace des phases).

P HS = 100 ∗ Surf aceBinsHalo Surf aceBinsF aisceau P HP = 100 ∗ N bP articulesHalo

N bP articulesT otal

Tous ces paramètres (émittances, paramètres de Twiss, PHP et PHS) peuvent être utilisés pour caractériser précisément une distribution de faisceau donnée au lieu des paramètres globaux classiques. Ils présentent l’avantage d’être utilisables comme contraintes pour le réglage en design ou en simulation d’un accélérateur, avec comme objectif la minimisation du cœur ou du halo.

Illustrons ce point avec les trois distributions typiques représentées sur la partie gauche de la figure 7.14. Les deux premières ont l’air très différentes, l’une est assez uniforme avec un halo peu étendu et l’autre est très piquée avec un halo plus important. Elles ont en réalité des paramètres de Twiss et une émittance rigoureusement identiques : α=0.12, β=1.48 m, γ= 0.69 m−1, =3.97 µm. La troisième est la distribution dans l’espace des phases xx’ du faisceau de deutéron de l’accélérateur IFMIF-LIPAc à la sortie du SRF-Linac où l’on voit que le cœur et le halo n’ont pas la même orientation dans l’espace de phase.

Paramètres Peu de halo Bcp de halo sortie Linac PHP 1.06% 37.5% 45.9% PHS 23.2% 91.1% 95.6% émittance globale 3.3 3.3 3.96 émittance du cœur 3.24 1.2 1.03 émittance du halo 8.97 6.78 7.01

Table 7.1 – Paramètres des différentes distributions rendues par la méthode des rayons.

Les paramètres donnés par cette méthode sont présentés dans la Table 7.1. Dans la partie droite de la figure 7.14 des contours ont été superposés à la distribution : l’ellipse d’émittance à 3σ pour l’ensemble du faisceau en pointillés rouges, pour le cœur et le halo en noir ainsi que le contour irrégulier de la limite cœur halo, en noir lui-aussi.

Comme on pouvait s’y attendre, la distribution pointue a plus de halo que l’autre avec des paramètres de Twiss identiques. Les émittances du cœur et du halo, leurs particules étant respectivement à l’intérieur et à l’extérieur, sont respectivement inférieure et supérieure à l’émittance globale. Notons aussi que pour la troisième distribution, les paramètres de Twiss sont effectivement différents car le halo et le cœur sont tournés différemment.

Figure 7.14 – Méthode des rayons appliquée à trois distributions, la première et la seconde ayant les

mêmes paramètres de Twiss et la même émittance, la troisième est issue de la simulation du transport dans le SRF-Linac du LIPAc.