La description macroscopique des équations microscopiques s’effectue par une moyenne volumique sur le volume du VER :
Équation 5.1
<. >𝑉𝐸𝑅=1
𝑉∫ ∎ 𝑑𝑉𝑉
On obtient un comportement isotrope où la conductivité thermique effective relie la moyenne de la densité du flux thermique à la moyenne du gradient thermique dans le VER :
Équation 5.2
< 𝜑⃗ >𝑉𝐸𝑅= −𝜆∗< ∇𝑇 >𝑉𝐸𝑅
Pour caractériser 𝜆∗, il est nécessaire de connaître les conductivités thermiques respectives
des phases constituant le VER, la fraction volumique des phases, la porosité et la distribution de la matrice solide. Elle est d’autant plus difficile à estimer que la géométrie du domaine est complexe, et que les conductivités thermiques des différents constituants sont différentes.
En l’absence de sources de chaleur internes, le transfert de chaleur à l’échelle microscopique à travers chaque constituant du VER est décrit par l’équation générale de transfert de la chaleur, à laquelle il convient de rajouter les conditions initiales (
Équation 5.4) et les conditions aux limites aux surfaces délimitant le VER :
Équation 5.3
𝜆∗∇²𝑇 = 𝜌𝐶𝑝𝜕𝑇
103
Équation 5.4
∀𝑥 ∈ 𝑉, 𝑇(𝑥, 0) = 𝑇0(𝑥)
où 𝜆, 𝜌 et 𝐶𝑝 représentent respectivement la conductivité thermique [W/m.K], la masse
volumique [kg/m3] et la chaleur spécifique à pression constante [J/kg.K].
Les conditions aux limites peuvent être de type Dirichlet (température imposée sur les bords du VER) ou Neumann (condition de flux imposé).
Dans le cas où l’on ne considère que le transfert conductif, ce qui est le cas dans notre étude (Cf Chapitre 1, Section 1.2), l’évaluation de la conductivité thermique effective repose sur l’établissement de modèles permettant d’identifier au mieux la structure géométrique du milieu poreux. La résolution du problème se fait ensuite soit de manière théorique rigoureuse, par calcul numérique ou par des modèles analytiques et empiriques basés en grande partie sur des hypothèses simplificatrices.
Modèles analytiques et empiriques
La simplification de la géométrie du milieu poreux permet d’exprimer de manière explicite 𝜆∗
en fonction des conductivités thermiques des phases, de la porosité ainsi que de leur distribution dans la matrice. En général, les modèles utilisés sont basés sur le comportement physique des matériaux (conductivité électrique, perméabilité et propriétés mécaniques). Le principe mathématique de base pour la formulation du problème est le même malgré les différences entre ces caractéristiques (sauf dans le cas de prise en compte de la percolation). Mottram et Taylor [125], repris par Boudenna dans sa synthèse bibliographique [126], donnent une classification des modèles de prévision de la conductivité thermique effective pour des matériaux composites solides biphasiques constitués d’inclusions dispersées dans
une matrice. Ces derniers les classent en modèles du 1er, 2ème, 3ème et 4ème ordre selon la prise
en compte de la géométrie des inclusions. Quelques modèles classiques sont présentés dans le Tableau 5.1. Les conductivités thermiques de la matrice et des inclusions sont
respectivement 𝜆1 𝑒𝑡 𝜆2 ; 𝜀 représente la fraction volumique des inclusions. Les modèles du
premier ordre sont les approximations de Voigt et Reuss classiquement connues. Ces dernières résultent de l’analogie électrique pour un système en série ou parallèle. Bien que les approximations soient grossières, ces deux bornes permettent d’obtenir un encadrement
de 𝜆∗ et de cerner son ordre de grandeur lorsque les conductivités respectives des phases sont
connues. Les modèles de 2nd ordre introduisent un facteur de forme relatif à la géométrie des
inclusions et prennent en compte la perturbation entre les différentes phases. On cite notamment les travaux pionniers de Maxwell (1873) [127] et Rayleigh (1892) [128] sur les transferts macroscopiques en milieu hétérogène. L’approche de Maxwell considère les inclusions comme des sphères diluées dans le volume, en contact parfait avec la matrice environnante. Rayleigh a généralisé cette approche en considérant une interaction mutuelle entre les éléments voisins. Nous pouvons également citer les modèles de Hashin-Shtrikman [129], de Mori Tanaka [130] et l’estimation auto-cohérente généralisée [131], [132]. Ces
modèles sont généralisables à des matériaux multiphasiques. Les modèles de 3ème et 4ème
ordre, en plus des considérations mentionnées plus haut, rajoutent un terme lié à des fonctions statistiques de répartition des inclusions dans la matrice [126], [133].
104
Tableau 5.1. Modèles analytiques de calcul de la conductivité thermique effective
Modèle Expression de 𝜆∗ Représentation
Parallèle (Borne supérieure de Reuss) 𝜆 ∗= 𝜆1(1 − 𝜀) + 𝜆2𝜀 Milieu constitué de strates de phases parallèles au flux thermique ⤓ ⤓ Série (Borne inférieure de Voigt) 𝜆∗= ( 1 − 𝜀 𝜆1 + 𝜀 𝜆2) −1 Milieu constitué de strates de phases perpendiculaires au flux thermique ⤓ ⤓ Maxwell 𝜆∗= 𝜆12𝜆1+ 𝜆2− 2𝜀(𝜆1− 𝜆2) 2𝜆1+ 𝜆2+ 𝜀(𝜆1− 𝜆2) Milieu constitué de sphères dispersées
dans une phase
fluide continue. Pas d’influence entre particules Rayleigh 𝜆∗ = 𝜆1(1 − 3𝜀 (2 +𝜆𝜆2 1) (1 +𝜆𝜆2 1) + 𝜀 − 0.52103 (1 −𝜆𝜆2 1) (43 +𝜆𝜆2 1) ) Prise en compte de l’interaction
mutuelle entre les éléments voisins de la phase dispersée Hashin-Shtrikman 𝜆∗ 𝜆1 = 1 + (𝑑 − 1)𝜀𝛽 1 − 𝜀𝛽 𝛽 = 𝜆2− 𝜆1 𝜆2− (𝑑 − 1)𝜆1
𝑑 : paramètre représentant la dimension du système et la
forme des inclusions 𝜀 =𝑟23
𝑟13
Les inclusions sont générées de manière non aléatoire : des
sphères de conductivité 𝜆2 et de rayon 𝑟1 entourées de coquilles de conductivité 𝜆1 et de rayon 𝑟1 avec : 𝜆2 > 𝜆1
105
Modèles numériques de microstructure des matériaux
cimentaires
Lorsqu’il est question d’approcher la conductivité thermique effective, aucun des modèles cités précédemment n’est véritablement complet car tous reposent sur certaines hypothèses fortes. En particulier, celles du contact parfait entre les phases et la distribution, taille et forme des grains supposés dans les modèles [126]. C’est particulièrement le cas pour les matériaux cimentaires, où l’on retrouve des facteurs de forme et une distribution des granulats aussi bien que des phases d’hydrates très différents et de distribution spatiale aléatoire. On retrouve d’ailleurs dans certaines études un fort impact de l’orientation et le facteur de forme des granulats sur la valeur de conductivité thermique effective [134].
Les méthodes de modélisation numérique peuvent être basées sur des générations périodiques de la microstructure, où est supposée la périodicité du milieu hétérogène[135], ou des générations aléatoires de la microstructure (Figure 5.2).
Figure 5.2. Illustration d’une génération aléatoire de (a)-microstructure de béton bitumineux (b)- des granulats (c)-d’une section 2D [134]
Ces dernières peuvent être obtenues soit à partir de représentations théoriques de la microstructure, ou grâce à des représentations 3D de la microstructure recréées à partir de techniques d’imagerie avancée (micro-tomographie aux rayons X, MEB, etc). En particulier, la technique de micro-tomographie aux rayons X permet la visualisation tridimensionnelle d’un objet de façon non destructive. La visualisation est obtenue à travers une reconstruction de la structure à partir de projections 2D. Cette technique a l’avantage de pouvoir caractériser les inclusions de toute forme et d’étudier la disposition en volume des phases et des hétérogénéités, mais présente certaines limitations quant à la résolution obtenue (au mieux quelques millimètres) et un post-traitement délicat. On retrouve plusieurs travaux de prévision de la conductivité thermique effective des matériaux cimentaires basés sur une reconstruction de microstructure par micro-tomographie à rayons X et la résolution de l’équation de la chaleur. Wei et al [136] ont utilisé cette technique pour reconstruire la distribution spatiale du réseau poral d’un béton cellulaire. Couplée à des fonctions probabilistes pour la génération spatiale de la distribution de microstructure, Chung et al [137] l’ont utilisée pour étudier les différentes distribution des vides de pâtes cimentaires isolantes à base de billes de verre. Les limitations dues à la résolution et le post-traitement de la technique conduisent souvent à considérer l’échantillon comme un matériau biphasique, en négligeant les hétérogénéités au sein de la pâte (Figure 5.3). Wu et al [138] ont considéré
106 une distribution triphasique de la pâte de ciment par reconstruction, composée de produits hydratés (84 %), non hydratés (2 %) et de micropores saturés en eau (14 %). Ces représentations sont assez grossières et ne rendent pas correctement la complexité de la microstructure d’une pâte cimentaire.
Figure 5.3. Génération de microstructure par scan de micro-tomographie. (a) Image 8 bit initiale (b) sélection du VER (c) binarisation de l’image (noir : vides ; blanc : matrice solide) [137]
Figure 5.4. Reconstruction d’un scan par micro tomographie d’une pâte de ciment hydratée sur un échantillon de (𝟔𝟒µ𝒎)𝟑(gauche), distribution des flux de chaleur dans l’échantillon [138]
Les modèles permettant de simuler de manière réaliste la structure composite complexe du béton ont été initialement introduits sous l’appellation de Béton Numérique par Roelfstra [139]. Ces derniers permettent de décrire la géométrie des inclusions par des lois morphologiques et de faire varier de manière systématique les paramètres de formulation clés du béton. En général, l’étude des propriétés physiques des microstructures créée se fait par une analyse éléments finis. Une brève description de quelques modèles de Bétons Numériques que l’on retrouve dans la littérature est donnée dans le Tableau 5.2. Toutefois, malgré l’intérêt que ces techniques semblent présenter, leur utilisation pour le calcul de la conductivité thermique effective est faible.
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Tableau 5.2. Présentation de quelques modèles numériques pour les matériaux cimentaires
Modèle Description Illustration Références
VCCTL (NIST)
- Basé sur le code d’hydratation des pâtes cimentaires CEMHYD3D (NIST). Possibilité de prise en compte des additions minérales.
- Représentation aléatoire des inclusions par des images digitales.
- Bibliothèque de granulats courants avec des facteurs de forme réalistes reproduits d’observations par micro-tomographie à rayons X.
- Différentiation des inclusions et matrice par des regroupements de pixels.
- Prise en compte de l’interface pâte-granulat
- Possibilité d’exporter les microstructures 3D vers des codes éléments finis.
- Prise en compte des phénomènes de percolation en 3D. - Applications : diffusivité des pâtes cimentaires pendant
la maturation, simulation de la cinétique d’hydratation, propriétés élastiques et mécaniques des pâtes.
Bentz, 2000 [140] Bullard, 2014 [141] Valentini et al, 2014 [142] Bentz et Conway, 2001 [143] Garbotzi et Bentz, 1999 [144] Garbotzi et Bentz, 1998 [145] SPACE (TU Delft)
- Génération aléatoire des granulats (inclusions sphériques)
- Inclusions affectées de coordonnées dynamiques - Définition de la compacité optimale des inclusions - Prise en compte des auréoles de transition (ITZ) par un
maillage triangulaire très fin
- Applications : calcul de l’endommagement des bétons selon le modèle de Mazars, simulation de l’hydratation des pâtes cimentaires.
Stroeven, 1999 [146] Stroeven et Stroeven, 1999 [147] Stroeven et al, 2001 [148]
EPFL - Génération aléatoire de la granulométrie (inclusions sphériques) - Résolution itérative sur le VER en travaillant sur des
sous-domaines
- Applications : comportement élastique et viscoélastique des bétons Huet, 1999 [149] Béton numéri-que (CSTB)
- Modèle implémenté dans le code de calcul EF SYMPHONIE
- Génération aléatoire de la distribution des granulats et pores
- Affectation incrémentale des caractéristiques du squelette (matrice, inclusions 1, inclusions 2…)
- Applications : caractérisation du comportement thermo-hygro-mécanique équivalent des matériaux cimentaires, analyse des champs locaux de déformation et contraintes, couplage au modèle d’endommagement MODEV dans SYMPHONIE
Grondin, 2005 [124] Mounajed, 2002 [150] Mounajed et al, 2006[151] Mohaine et al, 2016[152]
108 Les modèles Bétons Numériques sont en effet souvent utilisés pour étudier les comportements mécaniques ou certains indicateurs de durabilité des matériaux cimentaires. Dans ce travail, un calcul de la conductivité thermique effective et l’analyse des propriétés thermiques des bétons avec cénosphères ont été réalisés en exploitant un VER numérique. L’utilisation d’un modèle Béton Numérique nous est nécessaire pour prédire le plus précisément possible la conductivité thermique des différentes pâtes cimentaires et remonter à celle de leurs bétons respectifs.