Soit f une fonction N* → R. Pour tout n ∈ N*, on pose F(n) =
∑
Indication : On fera apparaître la matrice (F(pgcd(i, j)))1≤i,j≤n comme un produit de deux matrices.
Solution : [ Polya-Szegö, tome 2, Oral ENS 1996, RMS n° 335 ]
La matrice symétrique C = (F(pgcd(i, j)))1≤i,j≤n est donc le produit des deux matrices triangulaires A et B (A est triangulaire inférieure, B triangulaire supérieure).
Passant au déterminant, il vient det C = det A.det B = f(1).f(2) … f(n).
1ère méthode : calcul de Dn dans Z. Par des manipulations sur les colonnes (somme et soustractions) :
Dn = permutations paires et sans point fixe de {1, 2, …, n} et le nombre de permutations impaires et sans points fixes. On déduit la parité du nombre de permutations sans points fixe de {1, 2, …, n}, parité que l’on peut aussi déduire d’un exercice antérieur, où l’on a calculé ce nombre.
Exercice 51 : Soit A = (aij) ∈ Mn(Z) telle que n ≡ 0 (mod 2), (∀i) aii≡ 0 (mod 2) et ∀i ≠ j aij≡ 1 Exercice 52 : déterminants de matrices-blocs.
Les matrices considérées dans cet exercice sont à éléments réels ou complexes.
1) Soient A = D =
A une matrice carrée décomposée en blocs carrés de même format.
Si D est inversible, montrer que det M = det(A − B.D−1.C).det(D).
En déduire que si de plus A, B, C et D commutent, det(M) = det(AD − BC).
3) On ne suppose plus D inversible. Montrer que, si A, B, C et D commutent, on a encore det M = det(AD − BC).
4) Applications : Calculer les déterminants suivants :
a
C =
B B
B B
m mm
m
α α
α α
...
...
...
...
...
1
1 11
. Calculer det C en fonction de det A et det B .
Solution : 1) Pour cette question, faisons appel à Maple :
> with(linalg):
> A:=matrix(2,2,[0,1,1,0]);B:=matrix(2,2,[0,-1,1,0]);
M:=blockmatrix(2,2,[A,B,B,A]);
> det(M);det(evalm(A^2-B^2));
2) Soit M =
D C
B
A une matrice-bloc, A, B, C, D de même format, D inversible.
Prenons D comme « pivot matriciel » :
D C
B
A
−D−C I O I
1 =
− − D O
B C BD
A 1
. Passant au déterminant, il vient det M = det(A − B.D−1.C).det(D).
Si de plus C et D commutent, alors det M = det(AD − B.D−1.C .D) = det (AD − BC).
3) On ne suppose plus D inversible. Montrons que, si A, B, C et D commutent, on a encore det M = det(AD − BC).
En effet, si D est non inversible, 0 est valeur propre de D, mais D −ε.I est inversible pour 0 < |ε| < α convenable, en vertu du fait que les valeurs propres de D sont isolées.
De plus, A, B, C et D − ε.I commutent. Donc det
− I D C
B
A
ε
= det(A(D − εI) − BC).Pour conclure, il suffit de faire tendre ε vers 0 par valeurs ≠ 0.
Remarque : cela reste vrai dans un corps quelconque K : on plongera K dans le corps K(X) et on remplacera D par D – X.I, qui est toujours inversible dans Mn(K(X)).
4) Applications :
> with(linalg):A:=matrix(2,2,[a,b,b,a]);B:=matrix(2,2,[c,d,d,c]);
M:=blockmatrix(2,2,[A,B,B,A]);factor(det(M));
(b + + + a d c () b + − − a d c () − + + − b a d c () − + − + b a d c)
> R:=matrix(2,2,[a,-b,b,a]);S:=matrix(2,2,[c,-d,d,c]);
P:=blockmatrix(2,2,[R,S,S,R]);factor(det(P));factor(det(P),I);
:=
P
a −b c −d
b a d c
c −d a −b
d c b a
(b2 + − a2 2 c a + − c2 2 d b + d2)(b2 + + a2 2 c a + + c2 2 d b + d2) (a + + + c I b I d () a + − − c I b I d () a − − + I d c I b () a + − − I d c I b) 5) se montre comme précédemment, en supposant A11 inversible et en la prenant comme pivot.
:=
A
0 1
1 0 B :=
0 -1
1 0
:=
M
0 1 0 -1
1 0 1 0
0 -1 0 1
1 0 1 0
0 4
:=
B
c d d c :=
A
a b
b a
:=
M
a b c d
b a d c
c d a b
d c b a
6) Appliquant 5), on trouve : det C = (det A)n.(det B)m .
Exercice 53 : Soient E un ensemble fini de n éléments, N = 2n – 1, E1, …, EN les parties non vides de E rangées dans un ordre quelconque. On définit la matrice A = (ai,j) ∈ MN(R) par
ai,j = 0 si Ei∩ Ej = ∅ , ai,j = 1 si Ei∩ Ej≠∅ . Calculer det A.
[ Indication : on pourra fixer x0 et distinguer les parties contenant x0 et ne contenant pas x0. Cette méthode n’est pas imposée. ]
Solution : L’ordre choisi n’intervient pas, car il change la matrice en une matrice semblable (la matrice de passage étant une matrice de permutation).
Supposons E = {1, 2, …, n} et notons E0 = ∅. Numérotons les parties de E dans l’ordre suivant ∅ , {1} , {2} , {1, 2} , {3} , {1, 3} , {1, 2, 3} , etc.
autrement dit, on adjoint les éléments progressivement.
Soient An = (ai,j) ∈ MN+1(R) et Bn = (bi,j) ∈ MN+1(R) définies par :
n est la matrice formée uniquement de 1.
Je dis que B1 =
n est la matrice formée uniquement de 0.
Ainsi A2 =
La 2ème assertion en découle ; du reste, les premières ligne et colonne de An sont nulles.
Etude de la matrice (Cn) de l’énoncé. Je dis que rg Cn = 2n – 1, det C1 = 1 , det Cn = −1 pour n ≥ 2.
Cn est obtenue en supprimant les premières ligne et colonne de An. Donc Cn a même rang que An . Il reste à calculer son déterminant, c’est-à-dire à répondre à la question posée !…
où an =
On reconnait une équation de convolution, c’est-à-dire un produit de Cauchy.
Introduisons les séries formelles A =
∑
+∞= −
Certains déterminants, notamment les déterminants de matrices cycliques, circulantes et apparentées, se calculent par réduction de la matrice, donc comme produit des valeurs propres. Voici deux exercices sur ce thème.
Exercice 55 : Calculer les déterminants : Dn =
Solution : Ce sont des déterminants cycliques que l’on va calculer par diagonalisation de matrices.
Les deux matrices s’écrivent P(Ω) = I + 2.Ω + 3.Ω2 + … + n.Ωn−1 , où :
Conclusion : Dn = (−1)n−1
M est une matrice cyclique, ainsi que sa réduction modulo p, qui est cyclique dans Mp(Z/pZ).
M = P(Ω), où Ω =
• La restriction de f à U est le morphisme trivial, car f(U) est un sous-groupe additif compact de C, donc f(U) = {0}.
• Conclure via la représentation trigonométrique d’un complexe.
2) Les fonctions cherchées sont de la forme f(A) = a.ln | det A | , où a ∈ C.
D’abord, λ∈ C* → f(diag(λ, 1, …, 1)) satisfait à 1), donc (∃a) (∀λ) f(diag(λ, 1, …, 1)) = a.ln|λ|.
De plus, si A et B sont semblables, f(A) = f(B).
Donc f(diag(λ, 1, …, 1)) = f(diag(1, …, 1, λ, 1, …, 1)) = a.ln |λ| pour tout λ∈ C*.
Finalement si A = diag(λ1, λ2 …, λn) , f(A) = a
∑
lnλi = a ln | det A |.Conclure par densité des diagonalisables inversibles dans Gln(C).
Exercice 58 : Soient I un intervalle de R, f : I → R.
Montrer que f est strictement convexe si et seulement si : ∀(x, y, z) ∈ I×I×I x < y < z ⇒
Exercice 59 : Le plan et l’espace affines sont rapportés à un repère, orthonormé le cas échéant.
1) Dans le plan, vérifier que la droite passant par les points distincts M1(x1, y1) et M2(x2, y2) a
Vérifier que le cercle circonscrit au triangle M1M2M3 a pour équation :
Montrer que la cns trouvée en b) peut s’écrire :
0 d) En calculant le déterminant précédent, montrer l’équivalence :
M1M2M3M4 sont cocycliques ⇔ d12.d34± d23.d14± d13.d24 = 0 (Ptolémée) .
b) En déduire que 16.A2 = −
6) On revient au plan. Ecrire sous forme de déterminant l’équation de la conique passant par les 5 points Mi(xi, yi) (1 ≤ i ≤ 5), de l’hyperbole équilatère passant par 4 points. On ne discutera pas le problème. Plus généralement, montrer qu’une courbe algébrique plane de degré n est en général déterminée par la donnée de n(n + 3)/2 points (Cramer).
Solution : Nous allons raisonner de manière un peu dogmatique… mais efficace.
1) Soit D l’ensemble des points M(x, y) vérifiant
1 2) Laissé au lecteur.
3) Soient trois points Mi(xi, yi) (1 ≤ i ≤ 3) non alignés. passant par M1M2M3 (car 2 colonnes égales) : c’est le cercle circonscrit au triangle.
Conséquence : une cns pour que quatre points Mi(xi, yi) (1 ≤ i ≤ 4) soient cocycliques ou alignés est :
(produit matriciel).
Le déterminant obtenu s’appelle déterminant de Cayley-Menger des 4 points.
Les points Mi (1 ≤ i ≤ 4) sont cocyliques ⇔ D = 0 ⇔ D.∆ = 0. cqfd.
Pour conclure, on peut, soit développer le déterminant obtenu selon les deux premières colonnes par la méthode de Laplace, soit appeler Maple à la rescousse :
> with(linalg):A:=array(antisymmetric,1..4,1..4);
4) Formule d’Euler donnant l’aire d’un triangle en fonction des côtés.
Cette formule remonte à Héron. On la montre ici via les déterminants.
a) A =
Des manipulations simples montrent que A = 2
d après divers avatars.
Avec des notations plus classiques 16.S2 = − 5) Laissé au lecteur.
6) L’hyperbole équilatère passant par 4 points aura pour équation, en général :