Dans cette section, nous rappelons brièvement la méthode a contrario proposée par
[Desolneux et al., 2001] pour sélectionner les lignes de niveaux les plus signi catives de la
dances. [Desolneux et al., 2001] ont donc proposé un principe de ltrage pour en éliminer une partie, que nous discuterons à la Section 5.2.2.
5.2.1 Lignes de niveaux signi catives
Schéma probabiliste
Pour sélectionner les lignes de niveaux les plus signi catives [Desolneux et al., 2001] ont proposé une approche a contrario (voir Section4.1). L'événement dé ni dans le cadre de la sélection de lignes de niveaux est la présence d'une ligne de niveau su samment longue et su samment contrastée. Si nous notons u une image, nous cherchons les lignes de niveaux le long desquelles le contraste atteint une valeur minimale qui reste signi cativement élevée par rapport à un contexte aléatoire. Les valeurs du contraste le long des lignes de niveaux sont comparées à la distribution des contrastes non nuls dans l'image étudiée. Nous supposons que le contraste de l'image est distribué comme la variable aléatoire X :
∀µ > 0, P (X > µ) = #{x, |∇u(x)| > µ}
#{x, |∇u(x)| > 0}, (5.1) où # dénote le cardinal de l'ensemble, et |∇u(x)| est la norme du gradient calculée par diérence nie sur un voisinage de taille 2×2. Nous notons H(µ) cette probabilité estimée empiriquement. Remarquons que H(·) est monotone décroissante. Notons Nule nombre de
lignes de niveaux dans u extraites avec un pas de quanti cation égal à 1 sur les niveaux de gris. [Desolneux et al., 2001] dé nissent une ligne de niveau L comme étant ε−signi cative si : N F A(L) = Nu× H(min x∈L |∇u(x)|) l < ε, (5.2) où l est la longueur de L. Ce nombre est appelé nombre de fausses alarmes (NFA). Nous voyons que le NFA d'une ligne de niveau ne dépend ici que de sa longueur et de son contraste minimal. Une valeur faible du NFA indique une signi cativité élevée de la frontière délimitée par L. Nous voyons avec cette dé nition, que la valeur du NFA décroît (et donc la signi cativité croît) avec la longueur l et la valeur du contraste minimal. Cette dé nition a été analysée et une variante locale a été proposée par [Cao et al., 2005]. Les auteurs ont également comparé cette approche aux contours actifs.
Comme dans le chapitre 4, cette méthode de décision ne dépend que du paramètre
ε. [Desolneux et al., 2001] montrent que la dépendance à ce paramètre est très robuste. Le
nombre de lignes signi catives varient logarithmiquement avec ε. Nous choisirons toujours ε = 1. Dans toute la suite, les lignes de niveaux 1−signi cative seront simplement appelées lignes de niveaux signi catives.
Extraction des contours des traits Signe du contraste
Les lignes de niveaux qui ne rencontrent pas la bordure de l'image sont naturellement fermées sur elle mêmes. Pour fermer celles qui rencontrent les bords de l'image, une bordure de 1 pixel de large et de valeur arti cielle −1 est construite autour de l'image. La première ligne de niveau qui englobe toutes les autres est la frontière du support de l'image. Nous pouvons donc considérer toutes les lignes de niveaux comme étant fermées. Lorsque le vecteur gradient est orienté de l'extérieur de la ligne de niveau vers l'intérieur, nous dirons que la ligne est positive. Nous dirons qu'une ligne de niveau est négative quand le gradient est orienté de l'intérieur vers l'extérieur (Figure5.3).
a) b) c)
Fig. 5.3: Signe des lignes de niveaux. Trois images synthétiques sont présentées en haut. Les lignes de niveaux permettant de décrire leurs contours sont visibles en bas. a) lorsque le vecteur gradient est orienté de l'extérieur de la ligne de niveau vers l'intérieur, nous dirons que la ligne est positive. b) ici le contraste est négatif. c) deux lignes de niveaux de signes opposés délimitent un trait courbe fermée.
Arbre hiérarchique des lignes signi catives
La structure hiérarchique de la carte topographique est conservée lorsque les lignes de niveaux signi catives sont sélectionnées. Deux lignes de niveaux sont soit disjointes soit liées par inclusion. Nous pouvons ainsi représenter l'ensemble des lignes signi catives sous la forme d'un arbre où chaque noeud contient une ligne de niveau et son type. Un exemple de dessin est présenté sur la Figure 5.4a). Un ensemble des ligne de niveaux manuellement sélectionnées pour représenter au mieux les contours des traits est présenté sur la Figure 5.4b). L'arbre correspondant est présenté sur la Figure 5.4c). Une ligne de niveau positive (resp. négative) est symbolisée par un noeud blanc (resp. noire). L'inclusion est représentée de bas en haut. Une ligne enfant dans l'arbre est inclue dans son parent au niveau supérieur.
a) b) c)
Fig. 5.4: Un exemple simple. a) un dessin de deux feuilles de plante scanné sur 256 niveaux de gris. b) ensemble de lignes de niveaux manuellement choisies pour décrire au mieux les contours des traits c) l'arbre hiérarchique associé à b). Une ligne de niveau positive (resp. négative) est symbolisée par un noeud blanc (resp. noire). La ligne positive décrit ici le contour intérieur de la plus grosse des deux feuilles. La racine root est la ligne qui passe par la bordure de l'image, obtenue en ajoutant une marge d'un pixel de valeur −1.
5.2.2 Lignes redondantes et principe de maximalité
Bien que l'ensemble des lignes signi catives contienne beaucoup moins de lignes que la carte topographique complète, il contient généralement de nombreuses lignes redondantes dès qu'il s'agit d'images réelles. Les images réelles présentent généralement des contours légèrement ous et ayant une certaine épaisseur. C'est pourquoi de nombreuses lignes de niveaux siègent le long de ces contours (Figure 5.5).
Pour éliminer les lignes redondantes, Desolneux et al. utilisent les branches de l'arbre dites maximales monotones, qui avait été proposées par [Monasse, 2000]. Une branche maximale monotone est une branche de n noeuds consécutifs {Ni}i=1...n de même type (
monotone), où les noeuds Ni, i ≥ 2 n'ont qu'un seul parent, et qui ne puisse pas être
inclue strictement dans une autre branche monotone monoparentale (maximale). Sur la Figure 5.6 est présenté le début de l'arbre des lignes signi catives associées à la Figure
5.5a. Chaque groupe vertical de noeuds symbolise une branche maximale monotone notée B1 à B26.
Une ligne signi cative est dite maximale si elle a un NFA minimal sur la branche maximale monotone à laquelle elle appartient. Pour chaque branche maximale monotone de l'arbre des lignes signi catives, seule la ligne signi cative maximale est conservée. Tous les autres noeuds de la branche maximale monotone sont éliminés. Cette méthode de sélection est illustrée sur la Figure5.6. Sur cette gure, chaque série de noeuds représente une branche maximale monotone, dont le groupement est symbolisé dans le dessin associé
Extraction des contours des traits
Fig. 5.5: Lignes de niveaux signi catives. Cette gure présente l'ensemble des lignes de niveaux signi catives du dessin de la Figure5.4. L'arbre hiérarchique associé contient 717 lignes de niveaux. La carte topographique totale extraite de l'image codée sur 8 bits avec un pas de quanti cation de 1 contient plus de 26000 lignes de niveaux. A droite, une région du dessin encadrée en rouge est détaillée.
par une ligne noire épaisse.
Le principe de maximalité proposé par Desolneux et al. n'élimine pas toutes les redon- dances dans l'arbre. Par exemple, la ligne signi cative maximale choisie par ce principe de maximalité dans la branche B1 sur la Figure 5.6a) va induire une redondance visible
sur la Figure 5.7c). La ligne L3 résultant de cette sélection est visible sur la Figure 5.7c).
Les lignes maximales L1 et L2 visibles sur la Figure 5.7c) sont celles sélectionnées dans
les branches B2 et B3 visibles sur la Figure 5.6b).
Remarque : ce principe de maximalité peut être vu comme une méthode de type directe (voir Section5.1.3) mais adaptative, où le seuil est recalculé à chaque branche monotone maximale et est égal au NFA minimal.