Ajout d'informations supplémentaires

Sachant que le coût calculatoire de l'EMD dans le cadre de notre problématique varie en O(n3_{), nous présentons dans cette section une approche permettant de conserver cette}

complexité tout intégrant plus d'information en chaque pixel que la couleur moyenne seule.

Recherche d'images selon l'organisation spatiale des couleurs Imagettes bicolores

Dans les sections précédentes nous avons présenté l'utilisation de l'EMD en l'appli- quant directement au transport des pixels d'une imagette. Chaque pixel est représenté par sa position et la couleur moyenne de la région qu'il représente dans l'image origi- nale. Quelles solutions pouvons-nous envisager si nous souhaitons conserver plus d'in- formations que seule cette couleur moyenne ? Nous pouvons envisager des informations caractérisant la textures de la région sous-jacente (coecients de décomposition en onde- lettes par exemple). Pour plus de simplicité, nous nous intéressons dans cette section à la conservation et l'utilisation non plus d'une, mais de deux couleurs principales de la ré- gion sous-jacente. Nous construisons alors ce que nous appellerons des imagettes bicolores, ayant en chaque position (X, Y ) deux couleurs, ainsi qu'un poids associé à chacune.

A l'aide d'un classieur K-moyennes à deux classes (K = 2), pour chaque élément i de l'imagette bicolore, nous calculons les deux couleurs moyennes principales des pixels associés dans l'image originale. Le classieur associe à chacune de ces deux couleurs un poids correspondant au nombre de points de la classe trouvée. Une de ces deux classes a nécessairement un poids supérieur ou égal à celui de l'autre classe. Nous noterons CM

la couleur associée à cette classe (couleur majoritaire, choisie arbitrairement lorsqu'il y a égalité des poids) et Cm l'autre couleur (couleur minoritaire). Nous normalisons aussi ces

poids (notés pM et pm) par le nombre total de pixels associés dans l'image originale de

telle sorte que pM + pm = 1.

Pour appliquer l'EMD entre deux imagettes bicolores, nous notons toujours fi le des-

cripteur pixelique composé désormais de fi = {Ci, Xi, Yi}, où Ci est la bicouleur :

Ci = {(CMi , p i M), (C i m, 1 − p i M)}.

Sur la Figure3.6 sont présentés trois exemples d'imagettes bicolores, avec de gauche à droite, l'image originale, l'imagette à une seule couleur (calculée selon la méthode présen- tée à la Section3.2.2), l'imagette de couleur majoritaire, l'imagette de couleur minoritaire, et l'imagette en niveaux de gris des poids pi

M normalisés du noir au blanc sur 8bits. Re-

marquons que le ratio des imagettes est xe, et qu'il peut être diérent de celui des images originales. Nous discuterons de ce choix en détail à la Section 3.3.3. Nous voyons sur ces trois exemples que l'utilisation des bicouleurs permet logiquement de garder des couleurs plus saturées, moins dégradées par moyennage. Lorsque la région sous-jacente est homogène, le poids associé à cette région pi

M est généralement élevé (pixels blancs).

Remarque : les deux couleurs d'un pixel bicolore ont la même position Xi, Yi dans

ce modèle. Nous appelerons ce couple de couleurs une bicouleur. Nous pourrions recalculer deux positions sub-pixeliques à l'aide des positions moyennes des deux classes issues du classieur. Nous discuterons de cette approche dans la discussion.

a) b) c) d) e)

Fig. 3.6: Imagettes bicolores. a) image originale. b) imagette classique dont chaque pixel a la couleur moyenne calculée sur la région sous-jacente dans l'image originale. c) imagette des couleurs majoritaires obtenue avec un classieur 2-moyennes. d) imagette des couleurs minoritaires. d) imagette de la pondération pM entre les deux

Recherche d'images selon l'organisation spatiale des couleurs Reformulation du problème d'aectation entre deux imagettes bicolores

La formulation du problème d'aectation pour déplacer une imagette bicolore à une autre ne change pas :

Si F1 _{= {(f}1

i, 1/n)i=1,...,n} et F2 = {(fi2, 1/n)i=1,...,n} sont deux imagettes bicolores

répartis dans un espace métrique (E, de), alors

d(F1, F2) = min φ n X i=1 de fφ(i)1 , f 2 i
, (3.4)

où φ est une permutation de l'ensemble des {1, . . . , n}.

Pour résoudre ce problème d'aectation nous avons néanmoins besoin de redénir la distance de entre deux pixels bicolores. Comme les deux couleurs d'un pixel bicolore ont

la même position, nous pouvons toujours calculer le déplacement spatial par une distance euclidienne ∆xy comme dans l'Équation 3.3. En revanche, pour le déplacement couleur

d'une bicouleur à une autre, nous proposons d'utiliser à nouveau une distance de transport d0 imbriquée dans de. Nous dénissons la distance de entre deux pixels bicolores par :

de(fi, fj) = α ∗ (1 − exp {−d0(Ci, Cj)/σc}) + (1 − α) ∗ (1 − exp {−∆xy/σs}), (3.5)

où d0_(C

i, Cj) est la distance de transport entre les bicouleurs Ci = {(CMi , piM), (Cmi , 1 −

pi

M)} et Cj = {(CMj , p j

M), (Cmj , 1 − p j

M)}. Il s'agit ici d'un problème de transport général.

En eet il faudrait avoir pM = pm pour retrouver un problème d'aectation. Néanmoins

dans le cas d'un problème à deux classes de poids total constant (pM + pm = 1), celui ci

se simplie grandement.

EMD entre deux bicouleurs

Rappelons tout d'abord la notation de l'EMD (voir Equation (3.1)), dans le cadre du problème 2 × 2 correspondant au transport d'une bicouleur Ci vers une bicouleur

Cj. Mathématiquement, l'EMD entre deux bicouleurs Ci = {(CMi , pMi ), (Cmi , 1 − piM)} et

Cj = {(CMj , p j

M), (Cmj , 1 − p j

M)} ayant le même poids total piM + pim = p j M + pjm = 1 est déni par : d0(Ci, Cj) = min xkp X k∈{M,m} X p∈{M,m} d0_e(C_ki, C_pj)xkp, (3.6)

où les ux xkp suivent les contraintes suivantes :

, ∀k ∈ {M, m}, X p∈{M,m} xkp = pik, ∀p ∈ {M, m}, X k∈{M,m} xkp = pjp, où la distance d0

e(·, ·) est la distance au sol entre deux couleurs, associée à la distance

EMD d0_{(·, ·) ci dessus.}

Alors, le calcul de d0_(C

i, Cj) est réalisé par la vérication de une à deux inéquations

résumées dans l'Algorithme 1. Pour alléger cette section, la preuve de ce résultat est fournie en Annexe B.

Algorithme 1 Calcul de l'EMD entre deux bicouleurs

En notant ckp = d0e(Cki, Cpj) pour k, p ∈ {M, m} le coût associé au déplacement d'une

couleur Ci

k vers une couleur Cpj dans CIE-Lab, nous avons :

si D = cM M + cmm− cmM − cM m>0 alors d0(Ci, Cj) = pimcmM + (pjM − pim)cM M+ pjmcM m sinon si pi M < p j M alors d0(Ci, Cj) = piMcM M+ pjMcmm + (pjM − piM)cmM sinon d0(Ci, Cj) = pjMcM M+ piMcmm + (pjm− pim)cmM n si n si

Distance au sol entre deux couleurs

Dans un souci d'homogénéité avec la distance utilisée dans le cadre des imagettes à une seule couleur, la distance d0

e qui est utilisée notamment pour calculer la matrice des

coûts est la distance suivante d0

e(Ck, Cp) =p(Lk− Lp)2+ (ak− ap)2+ (bk− bp)2.

Coût calculatoire

Cette approche est sensiblement équivalente à augmenter articiellement n d'un fac- teur 2. Le coût calculatoire est par contre bien moindre puisque la complexité de problème de transport global entre deux imagettes reste la même. Seul la distance au sol de(·, ·) est

un peu plus coûteuse par rapport à la distance au sol utilisée dans le cadre des imagettes à une seule couleur par pixel. Cette augmentation de n est articielle car elle contraint néanmoins les deux couleurs de chaque pixel bicouleurs à rester ensemble lors du transport global.

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