CHAPITRE III DÉVELOPPEMENT DES MODÈLES NUMÉRIQUES DE SIMULATION
1.5 Déplacement des nœuds
La résolution du système permet d’obtenir les vitesses des nœuds. Il faut ensuite déplacer les nœuds du domaine à l’aide d’un pas de temps. Cette démarche décrit une approche Lagrangienne du mouvement. Si nous avions pris en compte les effets d’inertie, l’accélération aurait été calculée à l’aide de la dérivée droite ou dérivée partielle de la vitesse, celles-ci étant identiques.
1.5.1 Choix du pas de temps
Le pas de temps est variable, calculé en fonction de la géométrie. Dans le cas général, il est calculé selon les vitesses de la frontière pour limiter la rotation locale des segments de la frontière autour des nœuds de celle-ci. Cependant, dans le cas particulier de la simulation du procédé, il doit être adapté aux mouvements locaux de frontière dans les zones où un nœud solide est à côté d’un nœud liquide et que la géométrie à conduit à avoir un angle de frontière important.
1.5.1.a Cas général
Le choix du pas de temps est extrêmement important dans les problèmes de fluides soumis à la tension de surface. En effet, l’action de tension de surface tend, localement, à aplanir les triangles formés sur l’interface, de manière à minimiser le rayon de courbure local.
La figure 53 A présente une portion d’interface. Localement, une imperfection doit être lissée par la tension de surface. Les nœuds permettent de déterminer au nœud i(t), le rayon de courbure local R(t) et la direction de la tension de surface (droite verte), tendant à agrandir le rayon local en déplaçant le nœud i(t) suivant la direction de la vitesse (flèche verte). La vitesse étant connue, le pas de temps permet de déplacer le nœud i(t) plus ou moins loin. La figure 53 B présente une évolution de la position du nœud i(t) au nœud i(t+dt1) avec un premier pas de temps dt1, permettant de lisser la courbe. La figure 53 C montre le même nœud avec un pas de temps dt2 plus grand que dt1, et montre qu’il est possible d’induire une imperfection plus importante du fait de la tension de surface. Les pas de temps suivant induiront les mêmes problèmes, avec possibilité d’amplification du phénomène.
D’un point de vue uniquement hydrodynamique, il faut donc choisir un pas de temps adapté aux mouvements induits par la tension de surface.
Appelons angle courant θ(t) d’un nœud de frontière l’angle à gauche de la frontière lorsqu’on la parcoure dans son sens de définition (i-1, i, i+1), entre le segment précédent et le segment suivant le nœud considéré.
95 A
B C
Figure 53 Influence du pas de temps sur l’interface
Figure 54 Angle courant le long d’une interface
Le choix est fait de calculer, pour chaque nœud de l’interface, la formule analytique de l’évolution de l’angle courant θ(t) en fonction d’un pas de temps inconnu dt, puis de calculer le pas de temps induisant une variation limite prédéfinie θlim. Ensuite, le pas de temps final est le plus petit des temps permettant localement à l’angle courant d’évoluer, au maximum, de cette valeur limite imposée.
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La figure 55 présente un nœud i(t), ses deux nœuds adjacents i-1(t) et i+1(t). La vitesse des trois nœuds étant connue, les flèches vertes présentent la vitesse relative des nœuds i-1 et i+1 par rapport au nœud i. i’-1(t+dt) et i’+1(t+dt) sont les nœuds i-1 et i+1 après déplacement avec un pas de temps inconnu dt, relativement au nœud i(t).
Notons que selon le schéma de déplacement des nœuds choisi, ordre 1 ou ordre 2 (124), il faut calculer la vitesse effective des nœuds qui peut être différente de leur vitesse 𝑉𝑖 résultant du calcul hydrodynamique. Ainsi, selon le schéma choisi, la vitesse effective 𝑉𝑒 des nœuds est calculée (117).
𝑉𝑒(𝑡) = 𝑉(𝑡) à 𝑙′𝑜𝑟𝑑𝑟𝑒 1 𝑒𝑛 𝑑é𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑉𝑒(𝑡) = 𝑉(𝑡) +𝑉(𝑡) − 𝑉(𝑡 − 𝑑𝑡)
2 à 𝑙
′𝑜𝑟𝑑𝑟𝑒2 𝑒𝑛 𝑑é𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 (117)
Le calcul de Δθii−1(dt) et Δθii+1(dt) est effectué à l’aide des formules l’Al Kashi (118). Détaillons le calcul de Δθii−1(dt) appelé θa sur la figure 56.
𝑎2= 𝑏2+ 𝑐2− 2𝑏𝑐𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑎 (118)
Figure 56 Calcul de l’angle Δθi=θ
a à l’aide des formules d’Al Kashi
Les longueurs des segments sont déterminées à l’aide des coordonnées des points connus (A et B) et de la vitesse pour le point inconnu (C) (119).
𝑎 = 𝑉𝑒𝑑𝑡
𝑏 = √(𝑋𝐵− 𝑋𝐴+ 𝑉𝑒𝑋𝑑𝑡)2+ (𝑌𝐵− 𝑌𝐴+ 𝑉𝑒𝑌𝑑𝑡)2 𝑐 = √(𝑋𝐵− 𝑋𝐴)2+ (𝑌𝐵− 𝑌𝐴)2
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On en déduit alors la formule de la variation angulaire autour du nœud i issue du mouvement du nœud i-1: Δθi i−1= 𝜃𝑎 (120). 𝜃𝑎= cos−1( −𝑉𝑒2𝑑𝑡(𝑖)2+ 𝑐2+ (𝑋𝐵− 𝑋𝐴+ 𝑉𝑒𝑋𝑑𝑡)2+ (𝑌𝐵− 𝑌𝐴+ 𝑉𝑒𝑌𝑑𝑡)2 2𝑐√(𝑋𝐵− 𝑋𝐴+ 𝑉𝑒𝑋𝑡)2+ (𝑌𝐵− 𝑌𝐴+ 𝑉𝑒𝑌𝑡)2 ) (120)
Connaissant ainsi les deux variations angulaires, la variation totale Δθi(dt) est obtenue en fonction de dt (121).
Δθi(dt) = Δθi
i−1(dt) − Δθii+1(dt) (121)
Une minimisation (122) permet de déterminer le pas dt(i) permettant à chaque nœud i de respecter cette condition de rotation θlim.
𝑑𝑡(𝑖) = min 𝑑𝑡 |Δθ
i(dt) −θlim|
(122) Enfin, le pas de temps global pour le mouvement des nœuds est égal au minimum des pas de temps permettant à chaque nœud de respecter la condition de rotation imposée (123).
𝑑𝑡 = min
𝑖 𝑑𝑡(𝑖) (123)
1.5.1.b Cas particulier du procédé
Dans le cadre de la simulation du procédé, le pas de temps peut être amené à être relimité par le biais de la valeur θlim dans certaines situations particulières. En effet, le domaine présente une partie de ses nœuds à l’état solide, l’autre à l’état liquide. Ainsi, le long de l’interface, une zone liquide à proximité d’une zone solide peut évoluer vers une situation où l’angle extérieur à la matière α peut diminuer fortement (Figure 57).
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Si α < θlim et si la vitesse du nœud i+1 induit une diminution de l’angle α au prochain pas de temps, alors θlim est diminué localement pour le nœud i de manière à empêcher au nœud i+1 de rentrer dans la matière solide.
1.5.2 Calcul des nouvelles coordonnées
Connaissant la vitesse des nœuds et le pas de temps, les coordonnées des nœuds sont mises à jour à l’aide d’un développement de Taylor à l’ordre 2 (124).
𝑥(𝑡 + 𝑑𝑡) = 𝑥(𝑡) + 𝑣(𝑡)𝑑𝑡 + 𝛾(𝑡)𝑑𝑡 2
2 (124)
Le calcul de l’accélération est effectué en utilisant la vitesse au pas considéré et la vitesse au pas précédent (125).
𝛾(𝑡) =𝑣(𝑡) − 𝑣(𝑡 − 𝑑𝑡)
𝑑𝑡 (125)