2.3 Dépendances et précautions d’utilisation
2.3.3 Dépendance à l’échantillonnage
Lors de l’investigation de la dynamique sous-jacente à une série temporelle, le temps d’échan-tillonnage δt5, qui est en fait le pas de temps entre deux valeurs de la série, donc celui auquel les prédictions à un pas en avant sont réalisées par les modèles que nous utilisons, peut également devenir un paramètre important. Pour tester la dépendance de nos outils à ce paramètre temporel, nous avons fixé les paramètres de modélisation à des valeurs pour lesquelles nous n’obtenions ja-mais, dans les deux exemples précédents, ni faux négatifs, ni faux positifs. Le degré de non-linéarité dest ainsi fixé à 3, et le nombre maximal de termes du modèle est fixé à 50. Sur ce point de l’espace des paramètres, et pour toutes les valeurs de temps d’échantillonnageδttestées, les trois variables du système de Rössler permettent une détection correcte de la non-linéarité ; en d’autres termes, la probabilité d’obtenir de meilleures prédictions avec un modèle non-linéaire qu’avec un modèle linéaire a été supérieure à 0,99, pour les trois variables et ce, quelles que soient les valeurs du temps d’échantillonnage testées. Nous avons donc pu procéder au calcul de la limite de bruit — soit la
« deuxième étape » du titrage du bruit — sur les trois séries temporelles x, y et z, issues de l’in-tégration du système (2.13), à différents temps d’échantillonnage. Pour chaque valeur du pas de temps δt, la valeur moyenne de cinq titrages est calculée, ceci afin d’éviter les erreurs dues à la sensibilité au bruit que nous développons dans la partie 2.3.4. Les courbes représentant le résultat
5. Il est plus usuel de considérer la fréquence d’échantillonnage, donnée parfe= 1 δt.
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Temps d’échantillonnage δt (s)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Limite de bruit (%)
(a) Variablex
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Temps d’échantillonnage δt (s)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Limite de bruit (%)
(b) Variabley
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Temps d’échantillonnage δt (s)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Limite de bruit (%)
(c) Variablez
Figure2.6 – Évolution des valeurs moyennes de la limite de bruit calculées pour chacune des trois variables du système de Rössler sur une fenêtre de 2000 points issus de l’intégration du système d’équation (2.13), pour des temps d’échantillonnages croissants. La moyenne de 5 limites de bruit est reportée, ainsi que les valeurs minimales et maximales. Calculée à partir de la variablez (c), la limite de bruit est plus sensible au choix du pas de temps qu’à partir des deux autres variables (a) et (b).
des titrages en fonction du temps d’échantillonnage sont représentées Figs. 2.6. La valeur moyenne des cinq titrages y est représentée par un point du graphique, les barres d’erreurs indiquant les valeurs minimales et maximales de la limite de bruit pour chaque pas de temps. Ceci a été réalisé indépendamment pour chacune des trois variables du système de Rössler.
Nous remarquons tout d’abord que les pas de temps pour lesquels la limite de bruit est maximale varient d’une variable à l’autre : les variablesxety atteignent la limite de bruit maximale lorsque δtmax ≈1 s alors que la variable z l’atteint pourδtmax ≈0,2 s. Par la suite,δtmax sera appelé
«pas de temps optimal ». Encore une fois, le résultat obtenu dépend de l’observable choisie. Ceci indique que le caractère non-linéaire de la dynamique n’est pas perçu de la même manière par les trois variables. Le fait que le pas de temps optimal soit plus faible pour z pourrait résulter de l’inhomogénéité de l’espace des phases, lorsque celui-ci est reconstruit uniquement à partir de la variable z (Fig. 2.5 (a)), qui peut être comparée à l’homogénéité de l’espace des phases reconstruit à partir d’une meilleure observable telle que la variable y par exemple (Fig. 2.5 (b)).
En effet, le portrait de phase reconstruit à partir de l’observable z présente un domaine limité, associé aux léthargies autour des minima de la valeur de z, dans lequel toutes les trajectoires sont confinées. De plus, le repliement est justement situé dans ce domaine, où la dynamique est plutôt lente. Ainsi, la non-linéarité (le repliement) est confinée dans un domaine très restreint du plongement différentiel de reconstruction R3(z,z,˙ z)¨ : un pas de temps trop grand « raterait » le repliement et conduirait nécessairement la dynamique à être perçue comme aléatoire puisque la chaîne causale serait rompue. De plus, des temps d’échantillonnage trop grands ne permettraient plus une description de la dynamique assez fine pour avoir des estimateurs robustes contre la contamination par le bruit. C’est ainsi que la limite de bruit diminue très rapidement pour z lorsque le pas de temps est augmenté (Fig. 2.6 (c)).
Nous notons que les fonctions d’auto-corrélation (Fig. 2.7) ne permettent pas d’expliquer les différences entre les fréquences d’échantillonnage optimales pour le titrage du bruit, puisque le premier minimum de la fonction d’auto-corrélation est identique pour les trois variables, et se situe aux alentours de 3 s. Les densités de puissance spectrale obtenues à partir des trois variables du système de Rössler présentent également des différences : la fréquence préservant le maximum de densité spectrale de puissance est de l’ordre de 1,5 Hz pour la variabley (Fig. 2.8a) et d’environ 2,5 Hz pour la variablez(Fig. 2.8b). Or, d’après le critère de Nyquist6, le temps d’échantillonnage maximal autorisé pour pouvoir reconstruire le signal original à partir d’une série temporelle mesu-rée devrait être de l’ordre de 0,3 s pour la variableyet autour de 0,2 s pour la variablez. L’objectif de faire de la prédiction à un pas en avant n’étant pas équivalent (bien qu’il en dépende) à celui de préserver toute l’information contenue dans un signal, il n’est pas surprenant que le critère de Nyquist ne corresponde pas exactement à la fréquence d’échantillonnage optimale pour la prédic-tion. En effet, le critère de Nyquist ne fait que suggérer qu’une fréquence d’échantillonnage plus grande est nécessaire pour préserver l’ensemble de l’information contenue dans la variable z que celle nécessaire pour la variabley (oux). Ceci reste qualitativement en accord avec nos résultats par l’échantillonnage optimal pour la prédiction à un pas en avant, mais ni le critère de Nyquist, ni la fonction d’auto-corrélation ne nous permettent d’évaluer correctement la fréquence d’échan-tillonnage optimale pour les prédictions à un pas en avant utilisant des modèles non-linéaires.
Il est également intéressant de noter que la valeur de la limite de bruit maximale obtenue sur la variable z (LBmax ' 80 %) est plus importante que sur les deux autres variables xet y (LBmax'50 %) (Fig. 2.6), indiquant que la limite de bruit n’est pas invariante sous un changement de variable. Ceci est le deuxième argument fort nous permettant d’affirmer que le titrage du bruit ne peut en aucun cas être utilisé pour « quantifier le chaos sous-jacent à la dynamique » comme cela a été revendiqué par ses auteurs [7]. En revanche, il est beaucoup plus intéressant de remarquer que la variablez, associée au maximum de détection de la limite de bruit, est en fait la variable dont
6. Pour que la mesure d’un signal ne soit pas altérée par l’échantillonnage, la fréquence d’échantillonnage doit être supérieure au double de la plus haute fréquence contenue dans le signal. Cette fréquence limite s’appelle la fréquence de Nyquist.
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Délai (s)
-4×106 -2×106 0 2×106 4×106
(a) Variablex
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Délai (s)
-4×106 -2×106 0 2×106 4×106
(b) Variabley
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Délai (s)
-4×106 -2×106 0 2×106 4×106
(c) Variablez
Figure2.7 – Fonctions d’auto-corrélation des variablesx(a),y(b) etz(c) du système de Rössler.
Les valeurs des paramètres sont :a= 0,398,b= 2, etc= 4.
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 Fréquence (Hz)
10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100
Densité spectrale de puissance (dB)
(a) À partir de la variable y
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
Fréquence (Hz) 10-5
10-4 10-3 10-2 10-1 100
Densité spectrale de puissance (dB)
(b) À partir de la variablez
Figure2.8 – Densités spectrales de puissance pour deux des variables du système de Rössler. Les valeurs des paramètres sont :a= 0,398,b= 2, etc= 4.
la dérivée est directement gouvernée par l’unique terme non-linéaire xz présent dans le système de Rössler. La titrage de bruit paraît donc capable de distinguer la variable sur laquelle l’action de la non-linéarité est la plus forte, en rendant une valeur de limite de bruit plus importante pour celle-ci que pour toutes les autres variables.
Ainsi, la technique de titrage du bruit s’avère non seulement sensible aux paramètres de mo-délisation ainsi qu’au choix de l’observable, mais également à la fréquence d’échantillonnage de la série temporelle considérée. La valeur maximale de la limite de bruit sera obtenue à partir de la variable sur laquelle la non-linéarité agit préférentiellement, ici la variablez, qui la détectera plus fortement, à condition que le pas de temps soit convenablement choisi. Cette technique permettrait donc de détecter la variable sur laquelle la non-linéarité agit préférentiellement.