Chapitre 4 Propositions de métasurfaces pour la polarisation circulaire
C. Démonstration théorique : élimination des motifs symétriques par ro-
Commençons par restreindre l’ensemble des géométries acceptables. Nous allons dé- montrer théoriquement que si un échantillon tel que nous l’avons décrit dans le paragraphe
CHAPITRE4 : PROPOSITIONS DE MÉTASURFACES
Miroir métalllique
λ/4
FIGURE4.3 – Effet d’un écran de Salisbury sur une métasurface chirale pour l’émission en
polarisation circulaire. La réflexion sur le miroir métallique change le sens de rotation de la polarisation mais également le sens de propagation donc l’onde émise vers le haut et l’onde réfléchie par le miroir peuvent interférer constructivement.
précédent présente une invariance par rotation de 90◦ (par rapport à l’axe e
z), alors le
contraste d’absorption entre les polarisations circulaires droite et gauche est nul. Doréna- vant, nous parlerons de symétrie de rotation. Cela nous permettra d’éliminer toutes les structures chirales en forme de croix gammées, couramment utilisées pour émettre de la polarisation circulaire par ailleurs [Vallius et al. 2003 ; Prosvirnin et al. 2005 ; Koni- shi et al. 2011 ; Maksimov et al. 2014 ; Lobanov et al. 2015b ; Lobanov et al. 2015a ; Dyakov et al. 2018]. Nous donnons donc une démonstration due à Jean-Paul Hugonin.
Considérons un échantillon comportant un réseau périodique dans les directions x et y dont la maille élémentaire est une structure métallique en platine symétrique par rotation de π/2, sous laquelle est placé un miroir métallique à une distance de λ/4, espacé par du vide. Nous cherchons alors à calculer l’absorptivité du platine en polarisation circulaire gauche, αg
P t, et en polarisation circulaire droite, αdP t. Puisque l’espaceur est ici remplacé
par du vide1 et que les pertes dans le miroir métallique sont très faibles, nous pouvons considérer que l’absorption n’a lieu que dans le platine et alors Ag= αg
P t et Ad= αdP t, où A
désigne l’absorption totale. Nous allons montrer que la symétrie de rotation de π/2 impose que Ad= Ag en utilisant deux arguments : la symétrie et la réciprocité du système.
L’absorption totale est A = 1 − R − T où R désigne la réflexion et T la transmission. Or ici la transmission est nulle à cause du miroir métallique qui se trouve sous le système. Par conséquent, il suffit d’étudier le facteur de réflexion pour déterminer l’absorption de
I. Polarisation circulaire Miroir métalllique z Er 1 Θ Θ' Ei 1 Miroir métalllique Ei 2 Er2 Θ Θ' z
FIGURE4.4 – Notations pour l’expression du théorème de réciprocité avec des ondes planes
incidentes d’amplitudesEi1etEi2.
l’échantillon. Pour cela utilisons le formalisme de Jones et notons
J = a c
b d
!
(4.1)
la matrice de réflexion du système en incidence normale, a,b,c,d ∈ C. Ainsi en éclairant l’échantillon avec un champ 1
0 !
polarisé selon x et d’amplitude 1, il réfléchit un champ
d’amplitude a selon x et b selon y : a b
!
. De même, en l’éclairant en polarisation y, il
réfléchit c d
! .
Réciprocité du système Le théorème de réciprocité s’énonce comme suit. Plaçons un dipôle p1 au point r, il crée un champ E1 au point r0. Un dipôle p2 placé au point r0 crée un champ E2 au point r. La réciprocité impose alors que p1· E2= p2· E1.
Nous pouvons également l’exprimer dans le cas d’un réseau avec des ondes planes.2 Soit une onde plane incidente de vecteur d’onde ki
1 (direction θ) et d’amplitude Ei1. Nous nous intéressons à la réflexion spéculaire : c’est une onde plane de vecteur d’onde kr
1 (direction θ0) et d’amplitude Er1, comme représenté sur la figure 4.4. De même, soit une onde plane incidente de vecteur d’onde ki
2 = −kr1 (direction θ0) et d’amplitude Ei2. Elle se réfléchit pour l’ordre 0 dans la direction θ en une onde plane d’amplitude Er
2 et de vecteur d’onde 2. Cela revient qualitativement à placer les dipôles p1 et p2 à l’infini dans les directions θ et θ0.
CHAPITRE4 : PROPOSITIONS DE MÉTASURFACES
kr2 = −ki1. La réciprocité impose dans ce cas :
|ez· ki1|
Ei1· Er2= |ez· kr1|
Ei2· Er1. (4.2)
Cette expression s’obtient à partir du théorème de réciprocité de Lorentz (cf. [L. Li 2000] pour la démonstration dans le cas d’un réseau 2D en diffraction conique, valable également pour des matériaux anisotropes, établie à partir de celle de [Vincent et al. 1979]).
Dans notre cas, nous nous plaçons en incidence normale donc θ = θ0 = 0 et |e
z· ki1|= |ez· kr1|. En prenant Ei1 = 1 0 ! et Ei 2 = 0 1 !
, nous avons avec les notations précédentes
Er1 = a b ! et Er 2 = c d !
. La réciprocité impose donc que b = c et la matrice de Jones s’écrit alors
J = a b
b d
!
. (4.3)
Symétrie Comme nous considérons un réseau carré dont les motifs sont invariants par rotation de 90◦, l’ensemble du système physique est invariant3 par rotation de 90◦. Tradui- sons l’influence d’une symétrie par rotation de π/2 sur cette matrice de Jones. En éclairant par une onde 1
0 !
polarisée selon x, on obtient a b
!
en réflexion. Et en éclairant par
une onde 0 1
!
polarisée selon y, on obtient −b a
!
par symétrie, comme l’illustre la figure 4.5. La matrice de Jones s’écrit donc :
J = a −b
b d
!
. (4.4)
Conclusion En combinant ces deux arguments, nous obtenons donc b = −b = 0 et la matrice s’écrit finalement :
J = a 0
0 d !
. (4.5)
Pour conclure, éclairons le système par une onde polarisée circulaire gauche Eg =
1 √ 2 1 i !
et par une onde polarisée circulaire droite Ed = √12
1 −i
!
. Dans les deux cas, l’intensité de l’onde réfléchie vaut donc a2+d2
2 . Puisque le facteur de réflexion est iden- tique4, l’absorptivité est également identique entre les polarisations circulaires droite et gauche étant donné que la transmission est nulle.
En résumé, une structure présentant une symétrie de rotation de π/2 est inadaptée à nos 3. Ce n’est pas garanti s’il s’agit d’un réseau hexagonal ou triangulaire par exemple.
I. Polarisation circulaire Onde incidente Onde réfléchie x y a b a b 1 0 0 1
FIGURE4.5 – Résumé schématique de l’influence de la symétrie par rotation de90◦ sur la matrice de Jones.
échantillons. Cela ne signifie pas pour autant qu’on ne puisse pas les utiliser pour émettre du rayonnement thermique polarisé circulairement dans d’autres systèmes mais dans ce cas, soit on n’est pas en incidence normale, soit la transmission n’est pas nulle. Remarquons que de telles structures symétriques par rotation de π/2 sont également utilisées pour émettre en polarisation circulaire dans les ondes radio ou les micro-ondes. Dans ce cas, le mécanisme d’excitation est différent : l’antenne est excitée en un point et cette excitation crée des courants cohérents qui peuvent donner lieu à des courants en quadrature entre les directions x et y. Dans le cas de l’émission thermique, il ne s’agit pas d’une excitation cohérente ponctuelle. On ne peut donc pas faire d’analogie complète entre les deux domaines.