A.2 Démonstration
La démonstration de la Proposition A.0.9 procède par récurrence sur l’entier n. Le cas n= 1 est évident (la matrice est constante).
SoitS(T)∈ Sn(K[T])et soitb:K[T]×K[T]−→K[T]la forme bilinéaire symétrique associée. On reprend les notation de l’Exemple A.1.6 (2). Puisque S(T) est non-dégénérée, on a |D(b)|= 1. Donc d’après l’inégalité de Hermite généralisée sur les corps non-archimédiens, on a
µ(b)61 .
Puisque S est à coefficients polynomiaux, on a µ(b)∈ Ndonc deux cas sont possibles.
– Soitµ(b) = 1. Ceci signifie qu’il existe x∈ K[T]n tel que l’on ait b(x, x) = λ∈ K[T]× =K×. La matrice de Gram deb dansL=hxi ⊕ hxi⊥, est donc de la forme
λ 0 . . . 0 0 ∗ . . . ∗ .. . ... ... ... 0 ∗ . . . ∗ .
On applique l’hypothèse de récurrence à la restriction deb àhxi⊥ pour conclure.
– Soitµ(b) = 0. Dans ce cas, il existex∈ K[T]n tel que l’on aitb(x, x) = 0. On peut même supposer
x indivisible.
Puisque b est non-dégénérée, il existe y ∈ K[T]n tel que l’on ait b(x, y) = 1. La restriction de b à
hx, yiest non dégénérée : sa matrice de Gram est de la forme
0 1 1 α , avec α∈ K[T].
D’autre part, lorsque l’on remplace y par y′ :=y+λx pour λ∈ K[T], on change la valeur b(x, y)
en b(x, y′) = α+ 2λ. Du fait que 2 est supposé inversible, on peut donc supposer α = 0. Et l’on conclut alors en appliquant l’hypothèse de récurrence à la restriction deb àhx, yi⊥.
Annexe B
Opérades
Cette annexe présente succinctement la notion d’opérade. L’accent est mis sur l’exemple de l’opérade des petits disques qui joue un rôle important dans notre mémoire.
B.1 Définition et exemples Notations:
– On note Ensf la catégorie dont les objets sont les ensembles finis et dont les morphismes sont les bijections.
– On note Fonct(Ensf,Top) la catégorie des foncteurs de Ensf dans Top. Il s’agit d’une catégorie mono¨ıdale (c.f.[Fre98],§ 1.1.3).
Définition B.1.1. Une opérade topologiqueOest un mono¨ıde de la catégorie mono¨ıdaleFonct(Ensf,Top). De manière plus concrète, une opérade topologique est un foncteur de Ensf dansToptel que :
– O(∅) = pt.
– pour toute surjection p:E ։F, on a une applicationnaturelle1
O(F)× Y f∈F
O(p−1(f))−→ O(µp E) .
– Pour toutes surjections composées E ։p F ։q G d’ensembles finis, on ait la relation d’associativité suivante : O(G)× Q g∈G O (q◦p)−1(g) µq ◦p / /O(E) O(G)× Q g∈G " O(q−1(g))× Q h∈q−1(g) O(p−1(h)) # µq / / Q g∈G µ(q◦p)−1(g)։q−1(g) O O O(F)× Q f∈F O(p−1(f)) µp O O
Un morphisme d’opérades topologiques est un morphisme de mono¨ıdes dans la catégorieFonct(Ensf,Top).
Exemples B.1.2. Soit D := D(0,1)le disque unité ouvert deC.
1. Pour tout espace topologique X , l’opérade des endomorphismes deX, notée EX est le foncteur
Ensf −→ Top
E 7→ map∗(XE, X)
Les morphismes de structure sont induits par la composition des morphismes.
1
C’est-à-dire telle que pour tout diagramme commutatif E p / ///F E′ p′ / /// ≃ F′
≃ , on ait la relation de compatibilité évidente.
2. L’opérade des petits disques est le foncteur P :Ensf −→Top tel que pour tout ensemble fini (non vide) E,P(E)soit l’ensemble des plongements E×D֒→Dde la forme
(e, z)7→λez+τe
avec λe ∈ R×
+ et τe ∈ D pour tout e dans E. Les morphismes de structure sont induits par la composition des plongements.
Annexe C
Stratifications
Cet annexe présente très succinctement la théorie des stratifications. Un de nos objectifs principaux est la théorie du contrôle, telle que développée par Mather dans [Mat70].
De bonnes références sur ce sujet sont entre autres :
– [Pfl01] et en particulier les paragraphes numérotés 1.2, 1.4, 3.1, 3.6, 3.7, 3.9 et 4.3. – [GWdPL76], chapitres I et II.
Convention: Dans toute cette annexe, le terme variété signifie variétéC∞ (riemannienne).
C.1 Définitions et exemples
Définition C.1.1. SoitXun espace topologique séparé. Une stratification (finie1)S deXest la donnée d’un ensemble fini I et pour tout élémentide I d’une sous-variété Si de M (unestrate) telle que :
– La famille(Si)i∈I forme une partition de M.
– Pour tout couple(i, j)∈ I2 tel que l’intersectionSi∩Sj soit non vide, on aSi⊂Sj.
Remarques C.1.2.
– L’ensemble des stratesI est naturellement muni d’un ordre partiel :
pour tout couple d’éléments(i, j) de I, on convient que SiSj si et seulement si l’on a l’inclusion
Si ⊂Sj.
– On ne suppose pas les strates connexesa priori, mais en général on s’arrange pour qu’elles le soient.
Exemples C.1.3. Soit M une variété.
1. La stratification comportant pour seule strate l’espace M tout entier est qualifiée de stratification triviale.
2. Soit N une sous-variété fermée deM. Les stratesM−N etN forment une stratification deM. En général, si l’on spécialise les énoncés qui suivent sur ce cas particulier, on retrouve un résultat de topologie différentielle classique.
Les exemples les plus naturels de stratifications sont fournies par les ensembles algébriques.
Exemple C.1.4. Soitn>1un entier etV ⊂Cnun ensemble algébrique, c’est-à-dire le lieu d’annulation d’une famille finie de polynômes de C[X1, . . . , Xn]. L’ensemble des points singuliers de V est encore un ensemble algébrique (éventuellement vide) que nous notons Sing(V). L’espace V \Sing(V) est un ouvert dense de V ; en particulier une sous-variété deCn. On pose alorsV0=V etS0 =Cn\V, puis on définit par récurrence pour tout i>0,Vi+1 = Sing(Vi) etSi+1 =Vi\Vi+1 jusqu’à ce que l’on aitVi =∅.
Par construction, la famille des variétés (Si) forme une stratification de Cn que nous notons SV et que
1
Parce que c’est le seul cas qui nous intéresse, toutes les stratifications sont supposées finies, c’est-à-dire telles que l’ensemble des stratesIsoit fini. Les résultats de cette annexe s’adapteraient aux stratifications localement finies, c’est-à-dire telle que tout point admet un voisinage ne rencontrant qu’un nombre fini des strates.
nous appelons stratification associée à l’ensemble algébrique V. On a bien sˆur pour tout entieri,Si≻Si+1.
Exemple C.1.5. Soit n > 1 un entier ; on rappelle que le discriminant d’un polynôme complexe P
unitaire de degré nde C[X]est par exemple défini par
discr(P) = r´esn,n(P, P′) .
L’espace Poln(C) des polynômes complexes unitaires de degrén est homéomorphe àCn. Le sous-espace
∆n de Poln(C) constitué des polynômes ayant au moins une racine multiple est algébrique : c’est le lieu d’annulation du discriminant. La stratification S∆
n =Spt de Poln(C) associée à cette hypersurface algébrique joue un rôle majeur dans le chapitre 4 de ce mémoire. Ses strates sont décrites en détail au paragraphe 4.1 a).
Exemple C.1.6 (foncteur cône). Pour tout espace topologiqueX, on noteΓX le cône deX, c’est-à-dire la cofibre de l’inclusion {0} ×X ֒→ I ×X. Une stratification S de X induit une stratification sur ΓX
admettant pour strates{0}et les espaces ]0,1]×S pour toute strate S de S.
Proposition C.1.7. Soit(M,S) une variété stratifiée.
1. SoitN une variété et f :N −→M une application transverse à S, c’est-à-dire transverse à toutes les strates deS. Alors, la famille des sous-variétésf−1(S)⊂f−1(M) lorsqueS parcourt l’ensemble des strates de S forme une stratification de f−1(M), notée f−1(S) et appelée stratification pré-image de S parf.
2. En particulier, une sous-variétéN ⊂M transverse àS est munie d’une stratification induite. Nous avons également besoin de la notion de stratification équivariante.
Définition C.1.8. Soient Gun groupe fini etM uneG-variété. Une stratification G-équivariante de M
est la donnée d’une stratificationS deM dans laquelle toutes les stratesSdeS sont des sous-G-variétés de M.