On dispose toujours du foncteur d’oubliOde la catégorie desG-CW complexes finis dans la catégorie des CW-complexes finis.
Fait D.3.1. Soient G un groupe fini, V une représentation deG etX un G-CW-complexe. Si Y est un
V-dual de X, alorsO(Y) est undim(V)-dual de O(X).
Le résultat suivant est nettement plus subtil. Il s’agit de la Proposition 2.12 de [LMSM86] et des Théorèmes 8.4 et 8.5 de [Ada84].
D.3. Comparaison entre dualités classique et équivariante 139 Proposition D.3.2. Soient N un sous-groupe distingué de Get X unG-espace muni d’une action libre de N. Alors, il existe une représentation W de G/N et unW-dual (pour le groupe G) de X muni d’une action libre de N, disonsY =DW(X). De plus, on a dans ce cas uneW-dualité relative au groupeG/N :
DW
X/N
≃Y/N .
Le lemme suivant est un lemme ad hoc utile au Chapitre 5. Lorsque G est le groupe symétrique Sn
agissant par permutations sur X∧n, il permet de déterminer le dualG-équivariant à partir du dual non-équivariant de X. il s’agit d’un cas particulier de la Proposition 2.11 de [LMSM86] avec H := Sn−1 ⊂
Sn=:G,X,Y munis de l’action triviale deSn−1.
Lemme D.3.3. Soient X un G-espace pointé, d un entier et Y un d-dual de X (il s’agit ici de dualité non-équivariante). Pour tout entier positif n, les espaces X∧n et Y∧n sont munis de l’action de Sn par permutations. On a alors une Π⊕dn -dualité :
DΠ⊕d
n (X∧n)≃Y∧n ,
Πn désignant la représentation de permutations de Sn sur Rn.
Démonstration — Soient ε : X ∧Y |−→ Sd une d-dualité et η : Sd |−→ X ∧Y comme dans la caractérisation des d-dualités du Lemme D.1.4. On vérifie que les applications ε∧n : X∧n ∧Y∧n |−→ (Sd)∧n ≃ Πd⊕d
n et η∧n : Πd⊕d
n ≃ (Sd)∧n |−→ X∧n∧Y∧n satisfont à la caractérisation G-équivariante du Lemme D.2.4 et fournissent une Π⊕dn -dualité.
Bibliographie
[Ada74] J. F. Adams. Stable homotopy and generalised homology. University of Chicago Press, Chicago, Ill., 1974. Chicago Lectures in Mathematics.
[Ada84] J. F. Adams. Prerequisites (on equivariant stable homotopy) for Carlsson’s lecture. In Algebraic topology, Aarhus 1982, volume 1051 of Lecture Notes in Math., pages 483–532. Springer, Berlin, 1984.
[AH88] M. Atiyah and N. Hitchin.The geometry and dynamics of magnetic monopoles. M. B. Porter Lectures. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1988.
[Ati61] M. F. Atiyah. Thom complexes. Proc. London Math. Soc. (3), 11 :291–310, 1961.
[BM88] Charles P. Boyer and Benjamin M. Mann. Monopoles, nonlinearσmodels, and two-fold loop spaces. Comm. Math. Phys., 115(4) :571–594, 1988.
[Bou50] N. Bourbaki. Éléments de mathématique. Chapitre IV : Polynômes et fractions rationnelles. Actualités Sci. Ind., no. 1102. Hermann et Cie., Paris, 1950.
[Bre72] Glen E. Bredon.Introduction to compact transformation groups. Academic Press, New York, 1972. Pure and Applied Mathematics, Vol. 46.
[Caz08] C. Cazanave. Classes d’homotopie de fractions rationnelles. C. R., Math., Acad. Sci. Paris, 346(3-4) :129–133, 2008.
[CCMM91] F. Cohen, R. Cohen, B. Mann, and R. Milgram. The topology of rational functions and divisors of surfaces. Acta Math., 166(3-4) :163–221, 1991.
[CCMM93] F. Cohen, R. Cohen, B. Mann, and R. Milgram. The homotopy type of rational functions. Math. Z., 213(1) :37–47, 1993.
[CCMT84] J. Caruso, F. R. Cohen, J. P. May, and L. R. Taylor. James maps, Segal maps, and the Kahn-Priddy theorem. Trans. Amer. Math. Soc., 281(1) :243–283, 1984.
[Coh83] Frederick R. Cohen. The unstable decomposition ofΩ2Σ2X and its applications. Math. Z., 182(4) :553–568, 1983.
[CS91] R. Cohen and D. Shimamoto. Rational functions, labelled configurations, and Hilbert schemes. J. London Math. Soc. (2), 43(3) :509–528, 1991.
[CWW90] S. R. Costenoble, S. Waner, and G. S. Wells. Approximating equivariant mapping spaces. Pacific J. Math., 144(1) :15–45, 1990.
[Dim84] Rodica Dimca, Alexandru et Rosian. The Samuel stratification of the discriminant is Whitney regular. Geom. Dedicata, 17(2) :181–184, 1984.
[EH00] David Eisenbud and Joe Harris. The geometry of schemes, volume 197 ofGraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 2000.
[Fre98] Benoit Fresse. Lie theory of formal groups over an operad. J. Algebra, 202(2) :455–511, 1998. [GKMY95] M. A. Guest, A. Kozlowski, M. Murayama, and K. Yamaguchi. The homotopy type of the
space of rational functions. J. Math. Kyoto Univ., 35(4) :631–638, 1995.
[GKY99] M. A. Guest, A. Kozlowski, and K. Yamaguchi. Spaces of polynomials with roots of bounded multiplicity. Fund. Math., 161(1-2) :93–117, 1999. Algebraic topology (Kazimierz Dolny, 1997).
[GKZ94] I. M. Gel′fand, M. M. Kapranov, and A. V. Zelevinsky. Discriminants, resultants, and multidimensional determinants. Mathematics : Theory & Applications. Birkh¨auser Boston Inc., Boston, MA, 1994.
[Gro95] Alexander Grothendieck. Techniques de construction et théorèmes d’existence en géométrie algébrique. IV. Les schémas de Hilbert. InSéminaire Bourbaki, Vol. 6, pages Exp. No. 221, 249–276. Soc. Math. France, Paris, 1995.
[GWdPL76] Christopher G. Gibson, Klaus Wirthm¨uller, Andrew A. du Plessis, and Eduard J. N. Looi-jenga. Topological stability of smooth mappings. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 552. Springer-Verlag, Berlin, 1976.
[Har77] Robin Hartshorne. Algebraic geometry. Springer-Verlag, 1977. Graduate Texts in Mathema-tics, No. 52.
[Jou73] J. P. Jouanolou. Une suite exacte de Mayer-Vietoris en K-théorie algébrique. In Algebraic
K-theory, I : HigherK-theories (Proc. Conf., Battelle Memorial Inst., Seattle, Wash., 1972), pages 293–316. Lecture Notes in Math., Vol. 341. Springer, Berlin, 1973.
[Kam04] Yasuhiko Kamiyama. A polynomial model for the double-loop space of an even sphere.Proc. Edinb. Math. Soc. (2), 47(1) :155–162, 2004.
[Kam05] Yasuhiko Kamiyama. Relationship between polynomials with multiple roots and rational functions with common roots. Math. Scand., 96(1) :31–48, 2005.
[KK] S. Kallel and R. Karoui. Symmetric joins and weighted barycenters. http ://math.univ-lille1.fr/∼kallel/pubs.html.
[KY00] Andrzej Kozlowski and Kohhei Yamaguchi. Topology of complements of discriminants and resultants. J. Math. Soc. Japan, 52(4) :949–959, 2000.
[Lan02] Serge Lang. Introduction to differentiable manifolds. Universitext. Springer-Verlag, New York, second edition, 2002.
[Liu02] Qing Liu. Algebraic geometry and arithmetic curves, volume 6 ofOxford Graduate Texts in Mathematics. Oxford University Press, Oxford, 2002. Translated from the French by Reinie Erné, Oxford Science Publications.
[LMSM86] L. G. Lewis, Jr., J. P. May, M. Steinberger, and J. E. McClure. Equivariant stable homotopy theory, volume 1213 of Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 1986. With contributions by J. E. McClure.
[Mat70] John Mather. Notes on topological stability, 1970. Disponible à l’adresse
http ://www.math.princeton.edu/facultypapers/mather/notes_on_topological_stability.pdf. [May72] J. P. May. The geometry of iterated loop spaces. Springer-Verlag, Berlin, 1972. Lectures
Notes in Mathematics, Vol. 271.
[McD75] Dusa McDuff. Configuration spaces of positive and negative particles. Topology, 14 :91–107, 1975.
[MH73] John Milnor and Dale Husemoller. Symmetric bilinear forms. Springer-Verlag, New York, 1973. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 73.
[Mor99] Fabien Morel. Théorie homotopique des schémas. Astérisque, 256 :vi+119, 1999.
[Mor04a] Fabien Morel. An introduction to A1-homotopy theory. In Contemporary developments in algebraic K-theory, ICTP Lect. Notes, XV, pages 357–441 (electronic). Abdus Salam Int. Cent. Theoret. Phys., Trieste, 2004.
[Mor04b] Fabien Morel. On the motivic π0 of the sphere spectrum. In Axiomatic, enriched and motivic homotopy theory, volume 131 ofNATO Sci. Ser. II Math. Phys. Chem., pages 219– 260. Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2004.
Bibliographie 143
[MV99] Fabien Morel and Vladimir Voevodsky.A1-homotopy theory of schemes. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math., 90 :45–143 (2001), 1999.
[Nar71] Raghavan Narasimhan.Several complex variables. The University of Chicago Press, Chicago, Ill.-London, 1971. Chicago Lectures in Mathematics.
[Oja84] Manuel Ojanguren. On Karoubi’s theorem : W(A) = W(A[t]). Arch. Math. (Basel), 43(4) :328–331, 1984.
[Oja90] Manuel Ojanguren. The Witt group and the problem of L¨uroth. Dottorato di Ricerca in Matematica. [Doctorate in Mathematical Research]. ETS Editrice, Pisa, 1990. With an introduction by Inta Bertuccioni.
[O’M63] O. T. O’Meara. Introduction to quadratic forms. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Bd. 117. Academic Press Inc., Publishers, New York, 1963.
[Pfl01] Markus J. Pflaum. Analytic and geometric study of stratified spaces. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 1768. Springer-Verlag, Berlin, 2001.
[Qui67] Daniel G. Quillen. Homotopical algebra. Lecture Notes in Mathematics, No. 43. Springer-Verlag, Berlin, 1967.
[Seg68] Graeme Segal. Classifying spaces and spectral sequences. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math., 34 :105–112, 1968.
[Seg79] G. Segal. The topology of spaces of rational functions. Acta Math., 143(1-2) :39–72, 1979. [Ser68] Jean-Pierre Serre. Corps locaux. Hermann, Paris, 1968. Deuxième édition, Publications de
l’Université de Nancago, No. VIII.
[Ser77] Jean-Pierre Serre. Cours d’arithmétique. Presses Universitaires de France, Paris, 1977. Deuxième édition revue et corrigée, Le Mathématicien, No. 2.
[Spa59] E. H. Spanier. Function spaces and duality. Ann. of Math. (2), 70 :338–378, 1959. [Tot90] B. Totaro. The cohomology ring of the space of rational functions. Non publié, 1990. [Vas95] Victor A. Vassiliev. Topology of discriminants and their complements. InProceedings of the
International Congress of Mathematicians, Vol. 1, 2 (Z¨urich, 1994), pages 209–226, Basel, 1995. Birkh¨auser.
[Vas99] V. A. Vassiliev. Homology ofi-connected graphs and invariants of knots, plane arrangements, etc. InThe Arnoldfest (Toronto, ON, 1997), volume 24 ofFields Inst. Commun., pages 451– 469. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999.
[Whi65] Hassler Whitney. Tangents to an analytic variety. Ann. of Math. (2), 81 :496–549, 1965. [Xic06] Miguel A. Xicoténcatl. On Z2-equivariant loop spaces. InRecent developments in algebraic
topology, volume 407 ofContemp. Math., pages 183–191. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2006.
Théorie homotopique des schémas d’Atiyah et Hitchin
Ce travail introduit la notion de schéma d’Atiyah et Hitchin. Une variété algébrique raisonnable Y
étant fixée, il s’agit d’une famille de nouveaux schémas, indexée par un entier positif m et notée RmY. Nous étudions les propriétés homotopiques de ces « espaces » au sens de Morel et Voevodsky.
Les schémas Fm des fractions rationnelles pointées de degré m constituent un exemple fondateur et fondamental. Du point de vue topologique, les travaux de G. Segal et F. Cohen et al. montrent que l’espaceFm(C) approxime l’espace de lacetsΩ2S3. Nous formulons une série précise de conjectures visant à généraliser ces résultats dans un cadre algébrique. Le schéma RmY approximerait l’espace de lacets motivique ΩP1ΣP1Y. Nous obtenons plusieurs résultats dans cette direction. En particulier :
- Nous déterminons l’ensemble des composantes connexes algébriques na¨ıves du schéma de fractions rationnellesFm, au-dessus d’un corps de base. Le calcul est simple et élémentaire. On retrouve, à une complétion près, le groupe des classes d’homotopie d’endomorphismes pointés de la droite projective
P1, tel que calculé par Morel.
- Nous construisons un morphisme algébrique reliantRmY à ΩP1ΣP1Y.
- LorsqueY est une variété algébrique complexe, nous explicitons le type d’homotopie de l’espace topolo-gique(RmY)(C)comme un foncteur enY(C). De plus, nous montrons que l’espace(RmY)(C)admet un scindement stable dont les facteurs sont ceux du scindement de Snaith de l’espaceΩ2Σ2Y(C).
Mots clés :Schémas d’Atiyah et Hitchin, homotopie motivique, fractions rationnelles, espaces de lacets, espaces de configuration.
Homotopy theory of Atiyah and Hitchin schemes
This work introduces Atiyah-Hitchin schemes. They are a family, indexed by a positive integer m, of algebraic varieties RmY attached to a fixed algebraic variety Y. We study the motivic homotopy properties of these “spaces” in the sense of Morel and Voevodsky.
The schemes Fm of pointed rational functions of degree m form a fundamental example. From the topological viewpoint, Segal and F. Cohen et al. proved that the topological spaceFm(C) approximates the loop space Ω2S3. We formulate a precise series of conjectures aiming to generalize these results to the algebraic framework. The slogan is that the schemeRmY should approximate the motivic loop space
ΩP1
ΣP1Y. We establish several results in this direction, among which:
- First, we determine the monoid of naive algebraic connected components of the schemes of rational functionsFm over a base field. The method is simple and elementary. We recover, up to a completion, the group of motivic homotopy classes of endomorphisms of the projective line P1, as computed by Morel.
- We construct an algebraic morphism linking RmY toΩP1ΣP1
Y.
- When the algebraic varietyY is defined overC, we give an explicit description of the homotopy type of the topological space(RmY)(C)as a functor in Y(C). Moreover, we show that the space (RmY)(C)
stably splits with the same summands as in the Snaith splitting of Ω2Σ2Y(C).
Keywords: Atiyah and Hitchin schemes, motivic homotopy theory, rational functions, loop spaces, configuration spaces.
Mathématiques
Laboratoire d’analyse, géométrie et applications