Démonstration du théorème 3.4.1

SoientM et N deux modèles saturés de la théorie considérée, et supposons que nous avons deux n-uplets ¯a ∈ M et ¯b ∈ N tels que diag(¯a) = diag(¯b). Ensuite, on suppose

qu’on nous donne un élément α ∈ M , et on veut montrer qu’il existe β ∈ N tel que diag(¯aα) = diag(¯bβ).

Nous dénotons par ϕ^P(¯x) la formule qui nous donne la sorte de chaque ai :

ϕ^P(¯x) ≡ ^{^}

r∈R

P_Γ(x_r) ∧ ^{^}

s∈S

P_G(x_s) où M  ϕP(¯a), avec R, S ⊆ {1, . . . , n} et {1, . . . , n} = R ·∪ S.

Si α = P

1≤i≤nk_ia_i ∈ h¯ai, alors il suffit de choisir β = P

1≤i≤nk_ib_i, et nous obtenons diag(¯aα) = diag(¯bβ) d’après diag(¯a) = diag(¯b). Également, si α = −∞ ou α = 0, il suffit

de choisir β = −∞ ou β = 0 respectivement. Nous supposons donc α /∈ h¯ai, α 6= −∞ et α 6= 0.

Note: Dans l’élimination des quanteurs nous allons considérer des formules du type φ(¯x, y), et nous cherchons un β ∈ N tel que N  φ(¯b, β). Nous exprimons φ(¯x, y) comme conjonctions de formules dans lesquelles y intervient. Cela est justifié du fait que ∃y [θ₁(¯x, y) ∧ θ2(¯x)] est équivalent à ∃yθ1(¯x, y) ∧ θ2(¯x), pour toutes formules θ1(¯x, y)

et θ(¯x).

Cas A : divisible sans torsion

Puisque diag(¯xy) est équivalent à diag₌(¯xy) ∪ Pxy_¯ ∪ Oxy_¯ , il suffit de trouver un β ∈ N tel que diag₌(¯aα) ∪ P_¯aα∪ O_¯aα = diag₌(¯bβ) ∪ P¯_bβ∪ O¯_bβ. Nous notons Φ_aα¯ (¯x, y) le type

partiel diag₌(¯aα) ∪ P_¯aα∪ O_¯aα. Remarquons que Φ_¯aα(¯x, y) est clos par conjonctions finies.

Par compacité, et saturation de N , il suffit de montrer que pour chaque formule

telle formule. Nous supposons que φ(¯x, y) implique soit ϕ^P(¯x) ∧ P_Γ(y), soit ϕ^P(¯x) ∧ P_G(y). Nous notons φ^P₁(¯x, y) la formule ϕ^P(¯x) ∧ P_Γ(y), et φ^P₂(¯x, y) la formule ϕ^P(¯x) ∧ P_G(y).

Nous avons donc φ(¯x, y) ≡ φ^P_i (¯x, y) ∧ φ⁼(¯x, y) ∧ φ^O(¯x, y), avec i = 1 ou i = 2, où la

formule φ=(¯x, y) appartient à diag₌(¯aα), et la formule φ^O(¯x, y) appartient à O_¯aα.

Élimination dans Γ Considérons d’abord que M  PΓ(α). Dans ce cas, puisque par hypothèse α est différent de tout élément appartenant à h¯ai, on a les expressions suivantes

pour φ=(¯x, y) et φ^O(¯x, y) : φ⁼(¯x, y) ≡ ^{^} i∈I y 6= w_i (3.1) φ^O(¯x, y) ≡ ^{^} j∈J1 w_j ≺^∗ y ∧ ^{^} j∈J2 y ≺^∗ w_j∧ ^ j∈J3 y ∼^∗ w_j (3.2)

Les w_i et w_j sont des éléments de h¯xi.

Nous rajoutons ensuite à φ(¯x, y) les formules dans Φ_¯aα(¯x, y) nécessaires pour compléter

l’information donné sur chaque w, c’est-à-dire un w apparaît dans φ=(¯x, y) ssi il apparaît

dans φ^O(¯x, y). Ainsi nous obtenons une formule, équivalente au diagramme libre de α plus

tous les w_i(¯a), dans le langage sans l’addition. Nous considérons alors que φ(¯x, y) est déjà complète dans ce sens.

Supposons J₃ = ∅. Si l’on trouve β ∈ N tel que :

N  ^

j∈J1

w_j(¯b) ≺^∗ β ∧ ^{^}

j∈J2

β ≺^∗ w_j(¯b) , (3.3)

alors N  φ(¯b, β). En effet, puisque φ(¯x, y) est complète, si l’on trouve β ∈ N tel que (3.3), on aura N V

i∈Iβ 6= w_i(¯b), et donc N  φ(¯b, β).

Soit j₁ ∈ J₁ tel que w_j1(¯a) = max{w_j(¯a) : j ∈ J₁}, et j₂ ∈ J₂ tel que w_j2(¯a) =

min{w_j(¯a) : j ∈ J₂}. Puisque M  φ(¯a, α), on a M  wj1(¯a) ≺^∗ α ≺^∗ w_j2(¯a). On

en déduit, d’après diag(¯a) = diag(¯b), que N  wj1(¯b) ≺^∗ w_j2(¯b). Nous pouvons alors

appliquer l’axiome (A2) pour conclure qu’il existe un β ∈ N tel queN  wj1(¯b) ≺^∗ β ≺^∗ w_j2(¯b) et β ∈ Γ. En choisissant ce β nous avons, évidemment, (3.3).

Considérons ensuite le cas J₃ 6= ∅, disons α ∼∗ w_j0(¯a). Alors nous affirmons que

M  PG(w_j0(¯a)) : si M  PΓ(w_j0(¯a)), puisque M  PΓ(α), on aurait α = w_j0(¯a) par

l’axiome (A3), ce qui contredit nos hypothèses de départ.

Si la théorie traitée est T2 ∪ (C), ce cas est impossible d’après l’axiome (B2). Si la théorie traitée est T1 ∪ (C), alors par l’axiome (B1) il existe toujours un β ∈ N , avec N  PΓ(β), tel que β ∼^∗ w_j0(¯b).

D’autre part, puisque α ∼^∗ w_j0(¯a), on a que M  φO(¯a, w_j0(¯a)). D’après l’égalité

diag(¯a) = diag(¯b), nous déduisons N  φO(¯b, w_j0(¯b)), et comme β ∼^∗ w_j0(¯b), alors

N  φO(¯b, β). Nous affirmons que nous avons aussi N  φ=(¯b, β) :

Si ce n’était pas le cas, alors β = w_i(¯b) pour un certain i ∈ I ; dans ce cas, puisque

N  PΓ(β), alors N  PΓ(w_i(¯b)). En plus, puisque w_i(¯b) = β ∼^∗ w_j0(¯b), par diag(¯a) =

diag(¯b), on aurait que M  wi(¯a) ∼^∗ w_j0(¯a) ∧ P_Γ(w_i(¯a)). Alors on a

On en déduit α = w_i(¯a) par l’axiome (A3), ce qui contredit nos hypothèses.

Nous avons doncN  φ=(¯b, β) ∧ φ^O(¯b, β), c’est-à-dire N  φ(¯b, β).

Élimination dans G Supposons maintenant que M  PG(α).

Soit φ⁼(¯x, y) ≡ φ⁼₁(¯x, y) ∧ φ⁼₂(y), avec les expressions explicites suivantes :

φ⁼₁(¯x, y) ≡ ^{^} i∈I1 k_iy = w_i ∧ ^ i∈I2 k_iy 6= w_i (3.4) φ⁼₂(y) ≡ ^{^} i∈I3 k_iy = k_i⁰y ∧ ^{^} i∈I4 k_iy 6= k_i⁰y (3.5) Soit aussi φ^O(¯x, y) ≡ φ^O₁ (¯x, y) ∧ φ^O₂(¯x, y) ∧ φ^O₃(y), avec les expressions suivantes :

φ^O₁(¯x, y) ≡ ^{^} j∈J1 wj ≺^∗ kjy + vj∧ ^{^} j∈J2 kjy + vj ≺^∗ wj ∧ ^{^} j∈J3 kjy + vj ∼^∗ wj (3.6) φ^O₂(¯x, y) ≡ ^{^} j∈J4 k_jy + v_j ≺^∗ k_j⁰y + v_j⁰ ∧ ^ j∈J5 k_jy + v_j ∼^∗ k_j⁰y + v_j⁰ (3.7) φ^O₃ (y) ≡ ^{^} j∈J6 k_jy ≺^∗ k⁰_jy ∧ ^{^} j∈J7 k_jy ∼^∗ k_j⁰y (3.8)

Dans les expressions précédentes, les v et w représentent des éléments de h¯xi ; les k et k⁰ sont des nombres entiers différents de 0. Nous notons V l’ensemble de tous les v_j et v_j⁰, et W l’ensemble de tous les w_i et w_j. Soit Z = V ∪ W . Un élément quelconque de V , W ou Z sera noté v, w ou z respectivement.

Notons d’abord que la condition (3.5) est triviale : en effet, puisque G n’a pas de torsion k_iy = k_i⁰y ssi k_i = k_i⁰. N’importe quel élément satisfera alors cette formule. D’après l’axiome (C1), la même chose arrive avec la condition (3.8). Nous pouvons donc supposer que ces deux conditions n’apparaissent pas.

Soit N le produit de tous les k et k⁰, qui figurent comme coefficients de y dans (3.4), (3.6) et (3.7). Puisque G n’a pas de torsion, pour tout g₁, g₂ ∈ G et n ∈ Z∗, on a que

g₁ = g₂ ssi ng₁ = ng₂. Nous pouvons donc « multiplier » chaque équation et inéquation dans (3.4) par l’entier correspondant, pour obtenir dans toutes le même coefficient N pour

y. De même, d’après l’axiome (C1) nous pouvons « multiplier » chaque terme dans (3.6)

et (3.7) par l’entier nécessaire pour obtenir des conditions équivalentes dans lesquelles chaque coefficient de y est égal à N . Nous avons obtenu ainsi une formule φ⁰(¯x, y)

équi-valente à φ(¯x, y) dans laquelle tous les coefficients de y dans toutes les expressions sont

égaux. Puisque G est divisible, ∃yφ⁰(¯x, N y) est équivalent à ∃yφ⁰(¯x, y). Nous pouvons

alors supposer que ce coefficient est 1. Alors, puisque par hypothèse α /∈ h¯ai, on aura I₁ = ∅.

Nous faisons ensuite comme dans le cas précédent : nous rajoutons à φ(¯x, y) les formules

de Φ(¯x, y) nécessaires, pour compléter l’information donnée sur les différents z et y + v ;

c’est-à-dire nous obtenons une formule équivalente au diagramme libre, dans le langage sans l’addition, de tous les z(¯a) et α + v(¯a) (y compris α). On suppose donc que φ(¯x, y)

Notons aussi que pour tout v et z on a y + v 6= z (sinon on aurait α ∈ h¯ai). Puisque φ(¯x, y) est complète, on peut aussi supposer que pour tout v et v⁰ on a y + v 6= y + v⁰ (sinon il y aurait des conditions redondantes). D’autre part, si v(¯a) 6= 0, nous pouvons

supposer que nous avons toujours la condition y ∼^∗ v pour tout v ∈ V : si y ≺^∗ v ou v ≺^∗ y, alors y + v ∼^∗ v ou y + v ∼^∗ y, et donc nous pourrions exprimer la condition sur y + v seulement en termes de v ou de y.

Soit V_M ⊆ V l’ensemble des v_m tels que la ∼^∗-classe de α + v_m(¯a) est minimale parmi

toutes les classes des α + v(¯a). Pour trouver le β ∈ N souhaité, nous distinguons deux

cas :

1. Il n’existe pas de z ∈ Z tel que z(¯a) ∼^∗ α + v_m(¯a), avec v_m ∈ V_M;

2. Pour un certain Z_M ⊆ Z, avec Z_M 6= ∅, on a z_m(¯a) ∼^∗ α + v_m(¯a) pour tout z_m ∈ Z_M et v_m ∈ V_M.

Remarque 3.4.3. Rappelons que la ∼^∗-classe de α coïncide avec celle de tous les v(¯a). Cela

implique, par l’axiome (A1), que α + v(¯a) -^∗ α ∼^∗ v(¯a) pour tout v ∈ V . En particulier,

le cas où tous les α + v(¯a) sont dans la même classe que α, sera inclus dans 2.

Cas 1. Soit w_k0(¯a) = max{w(¯a) : w(¯a) ≺^∗ α + v_m(¯a) et w ∈ W } ; si un tel élément

n’existe pas, nous pouvons choisir 0 ou −∞. Soit aussi z_k1 = min{z(¯a) : α + vm(¯a) ≺^∗ z(¯a) et z ∈ Z}. Si un tel élément n’existe pas, on aura en particulier V = ∅ ; nous pourrons

alors raisonner comme dans le cas où α est dans la sorte Γ, pour trouver le β souhaité. Notons d’abord que par la remarque 3.4.3 nous avons z_k1(¯a) -^∗ vm(¯a) pour tout v_m ∈ V_M.

Par hypothèse, nous avons α+v_m(¯a) ∼^∗ α+v_m0(¯a) ≺^∗ α+v_k(¯a), pour tout v_m, v_m0 ∈ V_M et v_k ∈ V \ VM; et alors, d’après l’axiome (A1) on a

v_m(¯a) − v_m0(¯a) -^∗ α + v_m(¯a) ≺^∗ α + v_k(¯a) ∼^∗ v_k(¯a) − v_m(¯a).

Nous obtenons donc, pour tous v_m, v_m0 ∈ V_M et v_k ∈ V \ V_M : – w_k0(¯a) ≺^∗ v_k(¯a) − v_m(¯a) ;

– v_m(¯a) − vm0(¯a) ≺^∗ zk1(¯a) ;

– v_m(¯a) − v_m0(¯a) ≺^∗ v_k(¯a) − v_m(¯a).

Nous avons aussi, bien sûr, w_k0(¯a) ≺^∗ z_k1(¯a).

On peut alors appliquer l’hypothèse diag(¯a) = diag(¯b), pour déduire que les mêmes

conditions sont vraies dans N , si on remplace ¯a par ¯b. D’après l’axiome (A2), il existe donc g₀ ∈ N dans la sorte du groupe tel que :

w_k0(¯b) ≺^∗g₀ ≺^∗ z_k1(¯b)

v_m(¯b) − v_m0(¯b) ≺^∗g₀ ≺^∗ v_k(¯b) − v_m(¯b) ^(3.9)

Soit maintenant un vm0 ∈ VM quelconque. Par la remarque 3.3.2, on peut toujours trouver un g ∈ G, avec g ∼^∗ g₀, et tel que pour tout v ∈ V et z ∈ Z :

Nous posons alors β = g − v_m0(¯b). D’après (3.10) et nos hypothèses, on voit

immédia-tement que N  φ=(¯b, β).

Notons que puisque z_k1(¯a) -^∗ v_m(¯a) pour tout v_m ∈ V_M et diag(¯a) = diag(¯b), alors z_k1(¯b) -^∗ v_m(¯b). D’autre part, puisque g ≺^∗ z_k1(¯b), par l’axiome (A1) on a que β = g − v_m(¯b) ∼^∗ v_m(¯b), et donc β ∼ v(¯b) pour tout v ∈ V (rappelons nous qu’on peut

supposer que tous les v ∈ V sont dans la même ∼^∗-classe). Voyons que (¯b, β) satisfait

aussi le reste des conditions de φ^O(¯x, y).

Si v_m ∈ V_M, nous avons β + v_m(¯b) = g − v_m0(¯b) + v_m(¯b). Puisque g ∼^∗ g₀, d’après l’axiome (A1) et (3.9) on a β+v_m(¯b) ∼^∗ g. D’après (3.9) on a alors, pour tout v_m, v_m0 ∈ V_M, le suivant :

β + v_m(¯b) ∼^∗ β + v_m0(¯b)

w_k0(¯b) ≺^∗ β + v_m(¯b) ≺^∗ z_k1(¯b) ^(3.11)

La position alors de tous les β + v_m(¯b) est celle que nous souhaitons.

Si v_k ∈ V \ V_M, alors β + v_k(¯b) = g − v_m0(¯b) + v_k(¯b), et encore par g ∼^∗ g₀, (3.9) et l’axiome (A1), nous obtenons :

β + v_k(¯b) ∼^∗ v_k(¯b) − v_m0(¯b). (3.12) La ∼^∗-classe de β+v_k(¯b) dépend alors seulement de diag(¯b). On en déduit donc, d’après

diag(¯a) = diag(¯b), que les conditions qui font seulement intervenir y et des v_k ∈ V \ V_M, sont satisfaites.

D’autre part, nous avons aussi, pour tout v_m ∈ V_M et v_k ∈ V \ V_M :

β + v_m(¯b) ∼^∗ g ∼^∗ g₀ ≺^∗ v_k(¯b) − v_m0(¯b) ∼^∗ β + v_k(¯b). (3.13) On peut donc conclure que les conditions faisant intervenir y, et tous les v confondus, sont aussi satisfaites.

Nous avons alors N  φO(¯b, β), et donc N  φ(¯b, β).

Cas 2. D’après l’axiome (A1) et les définitions de V_M et Z_M, pour tout v_m, vm0 ∈ VM

et z_m ∈ Z_M nous avons v_m(¯a) − v_m0(¯a) -^∗ z_m(¯a), et donc v_m(¯b) − v_m0(¯b) -^∗ z_m(¯b), par

l’hypothèse diag(¯a) = diag(¯b). D’après la remarque 3.3.5, on peut trouver g₀ ∈ N dans la sorte du groupe, avec g₀ ∼∗ zm(¯b), et tel que pour tout vm, vm0 ∈ VM :

g₀+ H_z^◦

m(¯b) 6= (v_m(¯b) − v_m0(¯b)) + H_z^◦

m(¯b). (3.14)

Dans le cas où V ⊆ Z_M, on peut choisir g₀ satisfaisant en plus, pour tout v ∈ V :

g₀+ H_z^◦

m(¯b) 6= v(¯b) + H_z^◦

m(¯b). (3.15)

Soit un v_m0 ∈ V_M quelconque. Par la remarque 3.3.2 il existe g ∈ N dans la sort du groupe, avec g ∼^∗ g₀, satisfaisant la même condition (3.10) que dans le cas précédent, et en plus :

g + H_z^◦

m(¯b) = g₀+ H_z^◦

Nous posons β := g −v_m0(¯b). Puisque pour tout v ∈ V et z ∈ Z on a g −v_m0(¯b)+v(¯b) 6= z(¯b), alors N  φ=(¯b, β).

Notons d’abord que si v_m0 ∈ Z/ _M, d’après la minimalité de z_mon a z_m(¯a) ≺^∗ v_m0(¯a), et

alors z_m(¯b) ≺^∗ vm0(¯b) par diag(¯a) = diag(¯b). Dans ce cas, puisque g ∼^∗ zm(¯b), on déduit

par l’axiome (A1) que β ∼ v_m0(¯b), et donc β ∼ v(¯b) pour tout v ∈ V . Si v_m0 ∈ Z_M, alors V ⊆ Z_M, et donc d’après (3.15) on obtient aussi β ∼^∗ z_m(¯b) ∼^∗ v(¯b). Voyons ensuite

pourquoi (¯b, β) satisfait le reste de conditions de φ^O(¯x, y).

Si v_m ∈ V_M, alors β + v_m(¯b) = g − v_m0(¯b) + v_m(¯b), et par (3.14) et (3.16) nous avons,

pour tout z_m ∈ Z_M :

β + vm(¯b) ∼^∗ g ∼^∗ zm(¯b). (3.17) D’autre part, si v_k ∈ V \ V_M et v_m ∈ V_M, on a v_m(¯a) ≺^∗ v_k(¯a) par minimalité de V_M, et par hypothèse v_m(¯a) ∼^∗ z_m(¯a) pour tout z_m ∈ Z_M. Alors, par l’axiome (A1),

z_m(¯a) ≺^∗ v_k(¯a) − v_m(¯a). Puisque diag(¯a) = diag(¯b), nous avons z_m(¯b) ≺^∗ v_k(¯b) − v_m(¯b),

et donc g ≺^∗ v_k(¯b) − v_m(¯b). Nous en déduisons alors, encore par l’axiome (A1), que pour

tout v_k∈ V \ V_M et z_m ∈ Z_M on a :

β + v_k(¯b) = g − v_m0(¯b) + v_k(¯b) ∼^∗ v_k(¯b) − v_m(¯b). (3.18) D’après (3.17), (3.18) et diag(¯a) = diag(¯b), nous déduisons queN  φO(¯b, β), et donc

N  φ(¯b, β).

Cas B : exposant p

Ce cas est très similaire au cas divisible et sans torsion. Il faut néanmoins donner quelques arguments en plus sur certains points, et tenir en compte que les théoriesT1∪(D) et T2∪ (D) que nous considérons ne sont pas complètes. Nous essayerons de préserver la même notation que dans le cas précédent.

Maintenant diag(¯xy) est équivalent à diag₌(¯xy) ∪ Pxy_¯ ∪ Oxy_¯ ∪ C_¯x,y; nous voulons donc trouver un β ∈ N tel que :

diag₌(¯aα) ∪ P_aα¯ ∪ O_¯aα∪ C_¯aα = diag₌(¯bβ) ∪ P¯_bβ∪ O¯_bβ∪ C¯_bβ. (3.19) Pour chaque φ(¯x, y) dans diag₌(¯aα) ∪ P_¯aα ∪ O_¯aα, on considère la partie de C_¯aα qui donne les C_k, avec k ∈ N∪{∞}, satisfaits par chacun des éléments de h¯xi qui apparaissent

dans φ(¯x, y) (suivant la notation précédente, il suffit de considérer les C_k satisfaits par y, plus les v, w et z) ; on la dénotera par θ^C(¯x, y).

Remarque. En général θ^C(¯x, y) sera un type partiel ; mais si C∞ n’apparaît pas dans

θ^C(¯x, y), alors il s’agira d’une formule.

Nous verrons que pour chaque formule φ(¯x, y) dans diag₌(¯aα) ∪ P_¯aα∪ O_¯aα, il existe un β dans N tel queN  φ(¯b, β) ∧ θC(¯b, β). Par saturation de N et compacité, cela suffit

pour montrer (3.19).

Soit donc φ(¯x, y) une telle formule. Suivant la même notation, nous supposons que φ(¯x, y) implique soit φ^P₁(¯x, y), soit φ^P₂(¯x, y).

Nous avons alors

φ(¯x, y) ≡ φ^P_i (¯x, y) ∧ φ⁼(¯x, y) ∧ φ^O(¯x, y),

avec i = 1 ou i = 2. Nous distinguons aussi les cas i = 1 et i = 2 (y dans Γ et y dans G respectivement).

Faisons d’abord une remarque importante (déjà faite dans la section 3.2.3 — voir la remarque 3.2.32 — dans le contexte des théories T_i) :

Remarque 3.4.4. Soit T une complétion de Ti(D), avec i ∈ {1, 2}. Si M est un modèle saturé de T , alors C_k est dense ou vide pour tout k ∈ N^∗ ∪ {∞}. En plus, cela dépend seulement de T .

Élimination dans Γ Les expressions de φ=(¯x, y) et φ^O(¯x, y) coïncident avec (3.1) et

(3.2). Nous considérons l’expression suivante pour le type partiel θ^C(¯x, y) : θ^C(¯x, y) ≡ C_n0(y) ∧ ^{^}

k∈K

C_nk(w_k), (3.20)

avec n_j ∈ N ∪ {∞}, où j = K ∪ {0}, et K fini.

Remarquons d’abord que puisqueM  Cn0(α), d’après la remarque 3.4.4 et saturation de M , on a que Cn0(M ) est dense dans M . Encore par la remarque 3.4.4, nous sommes dans une complétion T deTi∪ (D) telle que dans tout modèle saturé de T l’ensemble des réalisations du type partiel C_n0 est dense. En particulier :

Cn0(N ) est dense dans N. (3.21)

Nous complétons ensuite φ(¯x, y), pour obtenir une formule équivalente au diagramme

libre de α plus tous les w(¯a), dans le langage sans les C_net sans l’addition. Nous considé-rons que le type partiel θ^C(¯x, y) nous donne l’ordre de y et de tous les w(¯x) apparaissant

dans φ(¯x, y).

Si la ∼∗-classe de α est différente de celle de tous les w(¯a) (J3 = ∅ avec la notation précédente), il suffit de trouver β ∈ N dans la sorte de l’ordre, tel que N  Cn0(β) et N  wj1(¯b) ≺^∗ β ≺^∗ w_j2(¯b), où nous suivons la notation précédente pour w_j1 et w_j2.

D’après (3.21) etN  wj1(¯b) ≺^∗ wj2(¯b), nous pouvons trouver un β⁰ tel que N  (wj1(¯b) ≺^∗ β ≺^∗ wj2(¯b)) ∧ Cn0(β⁰).

Si β⁰ ∈ Γ nous avons fini. Supposons alors que β0 ∈ G.

Si la théorie considérée est T1 ∪ (D), alors par l’axiome (B1) il existe β ∈ Γ, avec

β ∼^∗ β⁰. Ce β satisfait alors les conditions souhaitées.

Si la théorie considérée est T2 ∪ (D), puisque α est dans la sorte de l’ordre et M 

Cn0(α), d’après la remarque 3.3.4, n₀ = 1. Dans ce cas, puisque N  Cn0(β⁰), nous déduissons que β⁰ ∈ Γ, encore par la remarque 3.3.4. Il suffit alors de prendre β = β0.

Supposons maintenant que α ∼^∗ w_j0(¯a) pour un certain w_j0 (J₃ 6= ∅ avec la nota-tion précédente). Puisque M  Cn0(α), nous avons aussi M  Cn0(wj0(¯a)), et d’après

Nous trouvons un β ∈ Γ tel que β ∼^∗ w_j0(¯b) de la même façon que nous l’avons fait

dans le cas divisible sans torsion, et puisqueN  Cn0(w_j0(¯b)), l’élément β trouvé satisfait

aussi C_n0.

On en conclut donc queN  φ(¯b, β) ∧ θC(¯b, β).

Élimination dans G Nous présentons ensuite un résultat un peu technique, nécessaire pour l’élimination des quanteurs dans ce cas.

Considérons la formule ψ_k(g₁, . . . , g_n, λ) exprimant que tous les g_i sont dans ¯H_λ et que |{[g_i]_H◦

λ : i ≤ n}| ≤ k, avec k ∈ N. Notons que cette formule ψk peut être exprimée sans quanteurs dans le langage L0.

Lemme 3.4.5. Soit z ∈ Λ satisfaisant C_k0, et v₁, . . . , v_n ∈ G tous dans la même ∼∗ -classe. Considérons la formule ψ(¯v, z), exprimant qu’il existe un élément y dans la sorte du groupe tel que Vn

i=1y ∼^∗ v_i et Vn

i=1y + v_i ∼∗ z. 1. Si Vn

i=1vi ∼∗ z, alors ψ(¯v, z) ssi ψk0−2(¯v, z) ; 2. Si Vn

i=1z ≺^∗ v_i, alors ψ(¯v, z) ssi ψ_k0−1(v_i0 − v₁, . . . , v_i0 − v_n, z) pour chaque i₀ ≤ n.

Démonstration.

1. S’il existe un y dans la même ∼^∗-classe que z et que tous les v_i, tel queVn

i=1y + v_i ∼∗

z, alors vi − (−y) ∈ ¯Hz \ H_z^◦ pour chaque i ≤ n, c’est-à-dire [y]_H◦

z 6= [vi]_H◦

z pour chaque i ≤ n. D’autre part, y /∈ H◦

z et v_i ∈ H/ ◦

z pour chaque i ≤ n ; nous avons donc [y]_H◦

z 6= [0]_H◦

z et [v_i]_H◦

z 6= [0]_H◦

z pour chaque i ≤ n. Puisque z satisfait C_k0, on en déduit que |{[v_i]_H◦

z : i ≤ n}| ≤ k₀− 2.

Réciproquement, si nous avons ψ_k0−2(¯v, z), puisque z satisfait C_k0, il existe un y⁰ ∈ ¯

H_z avec [y⁰]_H◦

z 6= [v_i]_H◦

z et [y⁰]_H◦

z 6= [0]_H◦

z. Dans ce cas, si y := −y⁰, nous avons [y]_H◦

z 6= [0]_H◦

z, c’est-à-dire y ∼^∗ z, et Vn

i=1y + v_i ∼∗ z.

2. S’il existe un y dans la même ∼^∗-classe que tous les v_i, tel que Vn

i=1y + v_i ∼∗ z,

alors [y + v_i]_H◦

z 6= [0]_H◦

z pour chaque i ≤ n, et donc ψ_k0−1(y + v₁, . . . , y + v_n, z). En

plus, par l’axiome (A1) (v_i− v_j) ∈ ¯H_λ pour tous i, j ≤ n. D’autre part, pour chaque i, j ≤ n nous avons

[y + v_i]_H◦

z = [y + v_j]_H◦

z ssi v_i− v_j ∈ H_z^◦. (3.22)

Mais pour chaque i₀ ≤ n on a

v_i− v_j ∈ H_z^◦ ssi [v_i0 − v_i]_H◦

z = [v_i0 − v_j]_H◦

z. (3.23)

On déduit ψ_k0−1(v_i0 − v₁, . . . , v_i0 − v_n, z), pour chaque i₀ ≤ n, de (3.22) et (3.23). Réciproquement, supposons ψ_k0−1(v_i− v₁, . . . , v_i− v_n, z) pour chaque i ≤ n. Fixons

un i₀ ≤ n. Nous avons que z satisfait C_k0 et |{[v_i0 − v_i]_H◦

λ : i ≤ n}| ≤ k − 1. Mais [0]_H◦

z ∈ {[v_i0 − v_i]_H◦

z : i ≤ n}. Nous pouvons donc trouver un y⁰ ∈ ¯H_z tel que [y⁰]_H◦

z 6= [v_i0 − v_i]_H◦

z pour tout i ≤ n, et [y⁰]_H◦

z 6= [0]_H◦

z, c’est-à-dire y⁰ ∼∗ z. Soit y := y⁰−vi0. Puisque y⁰ ∼∗ z ≺^∗ vi0, par l’axiome (A1) nous avons y = y⁰−vi0 ∼∗ vi0. En plus, comme y⁰ ∼∗ z, et ψ_k0−1(v_i− v₁, . . . , v_i− v_n, z) implique que v_i0 − v_i ∈ ¯H_z

pour chaque i ≤ n, nous avons y + v_i ∈ ¯H_z pour chaque i ≤ n. D’autre part, puisque [y⁰]_H◦

z 6= [v_i0 − v_i]_H◦

z pour chaque i ≤ n, nous avons [y + v_i]_H◦

z 6= [0]_H◦

z, c’est-à-dire

y + v_i ∼∗ z, pour chaque i ≤ n.

Avec la même notation que dans le cas divisible sans torsion, dans ce cas, les expressions de φ=(¯x, y) et φ^O(¯x, y) coïncident avec (3.4), (3.5) et (3.6), (3.7), (3.8) respectivement. Il

faut aussi rajouter à cela le type partiel θ^C(¯x, y). Disons : θ^C(¯x, y) ≡ ^{^}

L∈L1

C_nl(k_ly + v_l) ∧ ^{^}

L∈L2

C_nl(w_l), (3.24)

avec n_l ∈ N ∪ {∞}, où l ∈ L1∪ L₂, et L₁ ∪ L₂ fini.

Nous supposons dans ce cas que tous les coefficients k de y qui apparaissent dans

φ(¯x, y) sont différents de 0 modulo p. Notons aussi que puisque ky = 0 ssi k | p, la

satisfaction de φ=

2(y) est triviale. De même, d’après l’axiome (D1), φ^O₃(y) est trivial. D’autre part, puisque tous les coefficients de y sont différents de 0 modulo p, d’après la remarque 3.3.6 et l’axiome (D1), nous pouvons « multiplier » chaque équation et inéqua-tion dans φ=

1(¯x, y) et chaque terme dans φ^O₁(¯x, y) et φ^O₂(¯x, y) par l’entier nécessaire, pour

obtenir une formule équivalente avec 1 comme coefficient de tous les y. Nous considérons, comme dans les cas précédents, que φ(¯x, y) est complète dans le sens déjà mentionné.

Nous supposons aussi que nous avons la condition y ∼^∗ v pour tout v ∈ V .

Puisque M  V

L∈L2C_nl(w_l)(¯a) et diag(¯a) = diag(¯b), nous pouvons finalement

consi-dérer que θ^C(¯x, y) est le type partiel suivant :

^

vm∈V_M

C_n0(y + v_m) ∧ ^{^}

v_k∈V \VM

C_nk(y + v_k), (3.25)

avec n0 et les nk appartenant à N ∪ {∞}, et avec V fini bien entendu. Nous distinguons aussi deux cas :

1. Il n’existe pas de z ∈ Z tel que z(¯a) ∼^∗ α + v_m(¯a), avec v_m ∈ V_M;

2. Pour un certain Z_M ⊆ Z, avec ZM 6= ∅, on a zm(¯a) ∼^∗ α + vm(¯a) pour tout zm ∈ ZM

et v_m ∈ V_M.

Cas 1. Puisque M V

vm∈V_M C_n0(y + v_m), ou de façon équivalente M  Cn0(y + v_m) pour un certain vm ∈ VM (rappelons que y + vm ∼∗ y + vm0 pour tout vm, vm0 ∈ VM), d’après la remarque 3.4.4 et saturation de M , on a que Cn0(M ) est dense dans M . Encore par la remarque 3.4.4, nous sommes dans une complétion T de Ti ∪ (D) telle que dans tout modèle saturé de T l’ensemble des réalisations du type partiel Cn0 est dense. En particulier :

C_n0(N ) est dense dans N. (3.26)

Nous affirmons qu’on peut alors trouver un g₀ ∈ N dans la sorte du groupe, satisfaisant les conditions (3.9), et en plus C_n0 :

Puisque M  Cn0(α + v_m(¯a)), et α + v_m(¯a) est bien un élément du groupe (différent

de 0), nous avons que n₀ 6= 0 et n₀ 6= 1. D’autre part, d’après (3.26) nous pouvons trouver

c ∈ N satisfaisant (3.9) et en plus C_n0. Si c appartient à la sorte du groupe, alors on choisit g₀ = c. Si c appartient à la sorte de l’ordre, alors par la remarque 3.3.4 N ne peut pas être un modèle de T2. Il doit être alors un modèle de T1. Dans ce cas, il existe par l’axiome (B1) un c⁰ dans la sorte du groupe avec c⁰ ∼∗ c. Nous choisirons alors g₀ = c⁰.

Nous définissons ensuite g et puis β, de la même façon que nous l’avons fait dans le cas divisible sans torsion. Nous avons alors N  φ=(¯b, β) ∧ φ^O(¯b, β), et en plus, puisque par

constructionN  β + vm(¯b) ∼^∗ g₀ pour tout v_m ∈ V_M, on en déduit N  Cn0(β + v_m(β)) pour tout v_m ∈ V_M.

D’autre part nous avons, pour tout v_k ∈ V \ VM : N (β + vk(¯b)) ∼^∗ (v_k(¯b) − v_m0(¯b)),

M [(α + vk(¯a)) ∼^∗ (v_k(¯a) − vm0(¯a))] ∧ Cn0(α + v_k(¯a)).

D’après diag(¯a) = diag(¯b) nous en déduisons alors :

N  ^

vk∈V \VM

C_n0(β + v_k(¯b)).

Cela montre queN  θC(¯b, β), et donc N  φ(¯b, β) ∧ θC(¯b, β).

Cas 2. Soit un z_m ∈ Z_M, c’est-à-dire pour tout v_m ∈ V_M nous avons :

z_m(¯a) ∼^∗ α + v_m(¯a).

Disons aussi que M  Cn0(z_m(¯a)), et rappelons nous que nous pouvons supposer α ∼^∗ v(¯a), pour tout v ∈ V .

Si n₀ = ∞, nous pouvons raisonner exactement de la même façon que dans le cas divisible sans torsion pour trouver le β souhaité. On suppose alors n₀ ∈ N∗.

Nous considérerons deux sous-cas :

1. α + v_m(¯a) ∼^∗ z_m ∼∗ v_m(¯a) ∼^∗ α, pour tout v_m ∈ V_M et z_m ∈ Z_M; 2. α + v_m(¯a) ∼^∗ z_m ≺∗ v_m(¯a) ∼^∗ α, pour tout v_m ∈ V_M et z_m ∈ Z_M.

Nous allons traiter d’abord (1). Notons que dans ce cas, puisque α ∼^∗ v(¯a) pour tout v ∈ V , et donc α + v(¯a) -^∗ α ∼^∗ v(¯a), par définition de V_M nous avons V_M = V .

D’après le lemme 3.4.5, les v(¯a) avec z_m0(¯a) satisfont la formule ψ_n0−2(¯v, z) qui apparaît

dans l’énoncé de ce lemme, c’est-à-dire : | {[v(¯a)]_H◦

zm(¯a) : v ∈ V } |≤ n₀− 2.

Puisque cela peut être exprimé sans quanteurs dans le langage L0, et par hypothèse diag(¯a) = diag(¯b) (en particulier N  Cn0(z_m(¯b))), nous avons aussi :

| {[v(¯b)]_H◦

Nous pouvons alors utiliser encore le lemme 3.4.5, pour trouver un β ∈ N dans la sorte du groupe tel que pour tout v ∈ V et z_m ∈ Z_M :

β ∼^∗ v(¯b) ∼^∗ z_m(¯b)

β + v(¯b) ∼^∗ z_m(¯b) ^(3.27)

D’après la remarque 3.3.2, nous pouvons choisir ce β de façon que β 6= v(¯b) pour tout v ∈ V , et β 6= z_m(¯b) pour tout z_m ∈ Z_M; donc β 6= z(¯b) pour tout z ∈ Z. Cela implique

N  φ=(¯b, β).

D’après (3.27) et diag(¯a) = diag(¯b), nous avons aussi N  φO(¯b, β) et N  θC(¯b, β).

On conclut donc N  φ(¯b, β) ∧ θC(¯b, β).

Traitons ensuite le sous-cas (2). Si v_m0 ∈ V_M et z_m ∈ Z_M, d’après le lemme 3.4.5 nous avons :

| {[vm0(¯a) − vm(¯a)]H◦

zm(¯a) : vm∈ VM} |≤ n0− 1.

Cela encore peut être exprimé sans quanteurs dans le langage L0. Puisque diag(¯a) =

diag(¯b), nous avons aussi :

| {[v_m0(¯b) − v_m(¯b)]_H◦

zm(¯b) : v_m ∈ V_M} |≤ n₀− 1.

Nous pouvons encore appliquer le lemme 3.4.5 pour trouver un β ∈ N dans la sorte du groupe tel que pour tout v_m ∈ V_M et z_m ∈ Z_M :

β ∼^∗ v_m(¯b)

β + v_m(¯b) ∼^∗ z_m(¯b) ^(3.28)

D’après la remarque 3.3.2, on peut supposer que β 6= z(¯b) pour tout z ∈ Z, et donc

N  φ=(¯b, β).

D’autre part, par définition de V_M, pour tout z_m ∈ Z_M, v_m ∈ V_M et v_k∈ V \ V_M nous avons :

z_m(¯a) ∼^∗ α + v_m(¯a) ≺^∗ α + v_k(¯a).

D’après l’axiome (A1) on obtient M  zm(¯a) ≺^∗ v_k(¯a) − v_m(¯a). Ainsi, par diag(¯a) =

diag(¯b), N  zm(¯b) ≺^∗ vk(¯b) − vm(¯b) pour tout zm ∈ ZM, vm ∈ VM. Nous voyons ensuite la position de β + v_k(¯b).

Puisque β + v_m(¯b) ∼^∗ z_m(¯b) ≺^∗ v_k(¯b) − v_m(¯b), on en déduit, d’après l’axiome (A1), que

pour tout vm ∈ VM et vk ∈ V \ VM on a :

β + v_k(¯b) ∼^∗ v_k(¯b) − v_m(¯b) (3.29) D’après (3.28), (3.29) et diag(¯a) = diag(¯b), on conclut d’une part N  φO(¯b, β), et

d’autre part N  θC(¯b, β).

Nous avons donc finalement N  φ(¯b, β) ∧ θC(¯b, β).

 Cela termine la preuve de l’élimination des quanteurs. Même si ce n’est pas nécessaire pour montrer la NIP dans les extensions Ti ∪ (d.st) et Ti ∪ (ex.p)0 de T , nous pouvons appliquer immédiatement l’élimination des quanteurs à ces théories.

Dans le document Chaînes et dépendance (Page 40-51)