Caractérisation des types - Chaînes et dépendance

Lemme 5.7.1. Si α est un élément d’un certain modèle de T , et f_q(α) est bien défini,

alors « f_q(α) est bien définit » est une conséquence du premier ordre.

Démonstration. Si f_q(α) est bien défini, alors pour une certaine représentation M_q de q,

Mq(α) sera bien défini. Si M_q = (m^ε1

1 , . . . , m^εl

l ) et J = {i ≤ l : ε_i = −1}, cela sera équivalent à la formule

φ(α) ≡ ^{^}

j=J

φj(α), où φ_j(α) est la formule suivante :

∃!x[f_m_j(x) = fm^ε^mj−1j−1 (. . . (f^ε1

m1(α)) . . . ) ∧ fm^ε^mj−1j−1 (. . . (f^ε1

m1(α)) . . . ) 6= ∞]. Nous avons donc φ(x) ∈ tp(α).

Si P ((b_j)_j∈J) est une propriété du premier ordre de (b_j)_j∈J, et b_j ∈ dcl((a_i)_i∈I) pour chaque j ∈ J , alors tp((a_i)_i∈I) ⇒ P ((b_j)_j∈J).

En particulier, si (α_i)_i∈I et (β_i)_i∈I sont deux uplets tels que tp((α_i)_i∈I) = tp((β_i)_i∈I), (α⁰_j)_j∈J et (β_j⁰)_j∈J sont deux uplets tels que α⁰_j et β_j⁰ sont isolés par φ_j( ¯α^j, y) et φ_j( ¯β^j, y)

respectivement, et tp((α_i)_i∈I) ⇒ P ((α⁰_j)_j∈J), alors (β_j⁰)_j∈J satisfait P ((x_j)_j∈J).

Remarque 5.7.2. D’après le lemme 5.7.1 et les commentaires précédents, si α, β sont deux

éléments tels que tp(α) = tp(β) et f_q(α) est bien défini, alors f_q(β) est bien défini et

La proposition suivante sert à assurer dans la preuve du théorème de caractérisation de types que les conditions initiales pour le va-et-vient sont satisfaites : les deux n-uplets avec lesquelles on commencera le va-et-vient auront le même diagramme libre, c’est-à-dire on commence bien avec un 0-isomorphisme.

Lemme 5.7.3. Soit ¯a un n-uplet, φ(¯x) une formule sans quanteurs satisfaite par ¯a, O_a_¯(¯x) l’ordre de h¯ai, et p_i(x) = tp(a_i) pour i ≤ n. Alors O_a_¯(¯x) ∪Sn

i=1p_i(x_i) ` φ(¯x). Démonstration. Soit φ(¯x) ≡ Wl

k=1φ_k(¯x), où chaque φ_k(¯x) est une conjonction de

L-formules atomiques ou négation d’atomiques, c’est-à-dire elle est équivalente à une conjonc-tion des formules du type :

· fm(x_i) < f_n(x_j) · f_m(x_i) = f_n(x_j) · P_i(f_m(x_j)) · ¬Pi(fm(xj))

Puisque ¯a φ(¯x), on a que ¯a φk0(¯x) pour un certain k₀ ∈ {1, . . . , l}. Or les formules atomiques, ou négation d’atomiques, satisfaites par ¯a sont évidemment contenues dans

O_¯_a∪Sn

i=1tp(a_i). Nous avons alors O_¯_a(¯x)∪Sn

i=1p_i(x_i) ` φ_k₀(¯x) et donc O_a_¯(¯x)∪Sn

i=1p_i(x_i) `

φ(¯x).

Théorème 5.7.4 (Caractérisation des types). Soient Γ un modèle de T et ¯a ∈ Γ. Considérons :

– c₀ = (∅, h¯ai)

– c1 = (h¯ai \ {∞}, {∞}) si ∞ ∈ h¯ai, ou c1 = (h¯ai, ∅) si ∞ /∈ h¯ai. – v^h¯âi = (v^h¯_gâi, v_d^h¯âi) le bon choix de voisins associé à h¯ai.

Alors tp(¯a) est équivalent à

O_¯_a∪ [

c∈C (h¯ai)

tp(v_g^h¯âi(c), v_d^h¯âi(c)) ∪ tp(v_d^h¯âi(c₀), v_g^h¯âi(c₁))

Démonstration. Nous allons montrer le théorème par la méthode du va-et-vient.

Consi-dérons donc M et N deux modèles de T saturés ; et deux uplets, ¯a = (a₁, . . . , an) ∈ M et ¯

b = (b₁, . . . , b_n) ∈ N , satisfaisant les mêmes conditions données par l’énoncé du théorème, c’est-à-dire :

C1(¯a, ¯b) Pour chaque q ∈ Q>0 et i ∈ {1, . . . , n}, fq(ai) est bien défini ssi fq(bi) est bien défini

C2(¯a, ¯b) Pour chaque f_q(a_i), f_q0(a_j) et f_q(b_i), f_q0(b_j) bien définis (a) f_q(a_i) < f_q0(a_j) ssi f_q(b_i) < f_q0(b_j),

(b) f_q(a_i) > f_q0(a_j) ssi f_q(b_i) > f_q0(b_j), (c) f_q(a_i) = f_q0(a_j) ssi f_q(b_i) = f_q0(b_j).

Remarque. Si l’on regarde h¯ai et h¯bi en tant que chaînes, C2(¯a, ¯b) implique que

l’applica-tion σ : ¯a → ¯b donnée par σ(a_i) = b_i induit un isomorphisme de chaînes entre h¯ai et h¯bi.

Alors, à chaque coupure de C (h¯ai) en correspond une autre de C (h¯bi). Posons :

1. c₀ = (∅, h¯ai) ∈C (h¯ai) et d0 = (∅, h¯bi) ∈C (h¯bi),

2. – c₁ = (h¯ai \ {∞}, {∞}) ∈C (h¯ai) et d1 = (h¯bi \ {∞}, {∞}) ∈C (h¯bi), si ∞ ∈ h¯ai (équiv. ∞ ∈ h¯bi),

– c₁ = (h¯ai, ∅) ∈C (h¯ai) et d1 = (h¯bi, ∅) ∈C (h¯bi), si ∞ /∈ h¯ai (équiv. ∞ /∈ h¯bi).

C3(¯a, ¯b) (a) Pour chaque c ∈C (h¯ai) et sa coupure correspondante d ∈ C (h¯bi) :

tp(v_g^h¯^ai(c)v^h¯_d^ai(c)) = tp(v^h¯_g^bi(d)v^h¯_d^bi(d)) ;

(b) Si c₀, c₁, d₀ et d₁ désignent les coupures que nous venons de mentionner :

tp(v_d^h¯^ai(c₀)v_g^h¯^ai(c₁)) = tp(v_d^h¯^bi(d₀)v_g^h¯^bi(d₁)).

Voyons ensuite quelques faits que ces conditions impliquent, avant de commencer pro-prement le va-et-vient.

(i) D’après C2(¯a, ¯b), on a que a_i ∈ V_g(c) ssi b_i ∈ V_g(d), et a_i ∈ V_d(c) ssi b_i ∈ V_d(d). En plus, d’après la définition de bon choix de voisins, pour chaque c ∈C (h¯ai) et sa coupure correspondante d ∈ C (h¯bi), et pour chaque i ∈ {1, . . . , n} nous avons :

1. a_i = v^h¯ai

g (c) ssi b_i = v^h¯bi g (d) ; 2. a_i = v_d^h¯^ai(c) ssi b_i = v^h¯_d^bi(d).

(ii) Soit f_q(a_i) ∈ h¯ai, et soit A = {x ∈ h¯ai : x ≤ f_q(a_i)}. Considérons la coupure

c = (A, h¯ai \ A).

D’une part, si a_j = v_g(c) alors ha_ji ∩ A est cofinal dans A et donc f_q(a_i) ∈ ha_ji ∩ A ; nous avons donc f_q0(a_j) = f_q(a_i) pour un certain f_q0(a_j) ∈ ha_ji. D’après C2(¯a, ¯b), f_q0(b_j) = f_q(b_i).

D’autre part, puisque a_j = v_g(c), par (i) b_j = v_g(d). Mais par C3(¯a, ¯b) nous avons tp(a_j) = tp(b_j) ; et alors, par la remarque 5.7.2, tp(f_q0(a_j)) = tp(f_q0(b_j)).

Finalement, comme f_q0(a_j) = f_q(a_i) et f_q0(b_j) = f_q(b_i), on obtient que tp(f_q(a_i)) =

tp(f_q(b_i)).

(iii) Puisque l’on a tp(a_i) = tp(b_i) pour chaque i ≤ n et aussi C2(¯a, ¯b), d’après

le lemme 5.7.3 l’application σ : ¯a → ¯b donnée par σ(a_i) = b_i est bien un 0-isomorphisme, c’est-à-dire ¯a et ¯b satisfont les mêmes formules sans quanteurs. Note: La condition (iii) que nous venons de donner est nécessaire pour pouvoir

appli-quer la méthode du va-et-vient.

Soit maintenant α ∈ M , que l’on considère comme étant an+1 (rappelons nous que les indices jouent un rôle important dans le bon choix de voisins). On voudra alors trouver

β ∈ N (vu comme b_n+1) tel que les conditions correspondantes C1(¯aα, ¯bβ), C2(¯aα, ¯bβ) et C3(¯aα, ¯bβ) soient satisfaites.

On notera v^h¯aαi et v^h¯bβi les bons choix de voisins, associés respectivement à h¯aαi et

h¯bβi.

Cas α ∈ h¯ai Disons α = f_q₀(a_i₀).

Puisque f_q₀(a_i₀) ∈ h¯ai, il est bien défini, et alors par C1(¯a, ¯b) on a que f_q₀(b_i₀) lui aussi est bien défini. Voyons que dans ce cas, en prenant β = fq0(bi0) on vérifie toutes les conditions.

– Disons que f_q(f_q₀(a_i₀)) est bien défini. Alors par le lemme 5.7.1 on a que tp(f_q₀(a_i₀)) ⇒ (fq(fq0(ai0)) bien défini). D’autre part, puisque tp(fq0(ai0)) = tp(fq0(bi0)) par (ii), on aura aussi que f_q(f_q₀(b_i₀)) est bien défini. En suivant le même raisonnement on montre la réciproque : si f_q(f_q₀(b_i₀)) est bien défini, alors f_q(f_q₀(a_i₀)) est bien défini. Cela montre donc fq(α) bien défini ssi fq(β) bien défini. Puisque par hypothèse on a aussi f_q(a_i) bien définit ssi f_q(b_i) bien bien définit, on a montré C1(¯aα, ¯bβ).

– D’après la proposition 5.5.19, pour chaque q ∈ Q>0, si f_q(f_q₀(a_i₀)) est bien défini alors f_q·q₀(a_i₀) est bien défini et f_q·q₀(a_i₀) = f_q(f_q₀(a_i₀)). De même pour f_q(f_q₀(b_i₀)) et f_q·q₀(b_i₀). On pourra donc remplacer f_q(f_q₀(a_i₀)) et f_q(f_q₀(b_i₀)) par f_q·q₀(b_i₀) et

f_q·q₀(b_i₀) respectivement, et on déduira alors immédiatement C2(¯aα, ¯bβ) de C2(¯a, ¯b).

– Puisque h¯aαi = h¯ai, pour tout coupure e ∈C (h¯aαi) on a que e ∈ C (h¯ai). De même, pour tout coupure g ∈C (h¯bβi) on a g ∈ C (h¯bi).

D’autre part, puisque les indices de α et β sont maximaux, nous avons que v^h¯aαi(e) =

v^h¯^ai(e) pour tout e ∈C (h¯aαi), et vh¯bβi(f ) = v^h¯^bi(f ) pour tout f ∈ C (h¯bβi). D’après cela et C3(¯a, ¯b) on conclut C3(¯aα, ¯bβ).

Cas α /∈ h¯ai Si α = ∞, on prend β = ∞. Puisque h∞i = {∞}, on déduit immédiate-ment les conditions C1(¯aα, ¯bβ) et C2(¯aα, ¯bβ) de C1(¯a, ¯b) et C2(¯a, ¯b).

Nous avons d’autre part h¯aαi = h¯ai ∪ {∞}. Alors la seule coupure de h¯a⁰i qui n’est pas équivalente à une coupure de h¯ai est e₁ = (h¯ai, {∞}) ∈C (h¯aαi). Mais elle est équivalente à gauche avec c₁, donc v_g^h¯^a⁰ⁱ(e₁) = v_g^h¯^ai(c₁). En raisonnant de la même façon sur h¯bβi pour

la coupure f₁ = (h¯bβi, {∞}) ∈ C (h¯bβi) on obtient vh¯bβi

g (e₁) = v^h¯bi

g (d₁). On conclut donc

C3(¯aα, ¯bβ) d’après cela et C3(¯a, ¯b).

On supposera donc α 6= ∞.

Dans ce cas α réalise une coupure de h¯ai. Disons α c, avec c = (A, B). On considère

aussi d = (E, F ) ∈C (h¯bi) la coupure correspondante sur h¯bi. Nous faisons d’abord quelques remarques.

(I) Si α⁰ ∈ hαi et α0 6= ∞, alors par le lemme 5.5.24 on a hα0i = hαi ; en particulier

α ∈ hα⁰i. Si α0 ∈ h¯ai, alors α⁰ ∈ hai0i pour un certain i0 ≤ n. Par le lemme 5.5.23 on aurait α ∈ ha_i₀i ⊆ h¯ai, ce qui contredirait nos hypothèses. On en déduit alors α⁰ ∈ h¯/ ai.

(II) D’après (I), on a que tout α⁰ ∈ hαi qui soit différent de ∞ réalise une certaine coupure c⁰ de h¯ai. Par la proposition 5.6.24 on a c ∼ c⁰, et par la remarque 5.6.33 on a que v_g^h¯âi(c) = v_g^h¯âi(c⁰) si V_g(c) 6= ∅ et V_g(c⁰) 6= ∅, et aussi v_d^h¯âi(c) = v_d^h¯âi(c⁰) si

V_d(c) 6= ∅ et V_d(c⁰) 6= ∅.

Nous distinguons deux sous-cas :

(A) Il existe α⁰ ∈ hαi différent de ∞ et réalisant une coupure c0 = (A⁰, B⁰) telle que

V_g(c⁰) 6= ∅ et V_d(c⁰) 6= ∅

(B) Pour tout α0 ∈ hαi différent de ∞, si α0

 c⁰ = (A0, B⁰), alors soit V_g(c0) = ∅ soit

V_d(c⁰) = ∅.

(A) Voyons que dans ce cas on peut supposer V_g(c) 6= ∅ et V_d(c) 6= ∅ (c’est-à-dire

A 6= ∅ et B 6= ∅, B 6= {∞} par la remarque 5.6.27).

Supposons qu’on a trouvé β⁰ tel que C1(¯aα⁰, ¯bβ⁰), C2(¯aα⁰, ¯bβ⁰) et C3(¯aα⁰, ¯bβ⁰). Par le lemme 5.5.22, α = f1

q(α⁰). Soit donc β = f1

q(β⁰) (qui est bien défini d’après

C1(¯aα⁰, ¯bβ⁰)).

On raisonne alors de la même façon que dans le cas α ∈ h¯ai pour montrer C1(¯aα, ¯bβ)

et C2(¯aα, ¯bβ). Pour montrer C3(¯aα, ¯bβ), il suffit de remarquer que puisque h¯aαi = h¯aα⁰i et h¯bβi = h¯bβ⁰i, alors vh¯aαi(c) = v^h¯aα⁰i(c) pour tout c ∈ C (h¯aαi) = C (h¯aα0i), et aussi

v^h¯bβi = v^h¯bβ⁰i(d) pour tout d ∈C (h¯bβi) = C (h¯bβ0i).

On peut donc supposer V_g(c) 6= ∅ et V_d(c) 6= ∅, c’est-à-dire A 6= ∅ et B 6= ∅, B 6= {∞} ; et alors E 6= ∅ et F 6= ∅, F 6= {∞} par C2(¯a, ¯b), c’est-à-dire V_g(d) 6= ∅ et V_d(d) 6= ∅.

Soit (v^h¯ai

g (c), v^h¯_d^ai(c)) = (a_i₀, a_i₁) pour certains i₀, i₁ ∈ {1, . . . , n}. D’après C2(¯a, ¯b) et la

définition de bon choix de voisins nous avons (v^h¯bi

g (d), v_d^h¯^bi(d)) = (b_i₀, b_i₁), et par C3(¯a, ¯b)

on a tp(a_i₀a_i₁) = tp(b_i₀b_i₁).

Soient maintenant p(x, x_i₀, x_i₁) = tp(α, a_i₀, a_i₁), et le type partiel Σ(x_i₀, x_i₁) suivant : Σ(x_i₀, x_i₁) = {∃xφ(x, x_i₀, x_i₁) : φ(x, x_i₀, x_i₁) ∈ tp(α, a_i₀, a_i₁)}.

Évidemment Σ(x_i₀, x_i₁) ⊂ tp(a_i₀a_i₁). Mais d’après C3(¯a, ¯b) on a tp(a_i₀a_i₁) = tp(b_i₀b_i₁), et donc N Σ(bi0, b_i₁). Par compacité, et saturation de N , on trouve donc un β ∈ N tel que N p(β, bi0, b_i₁).

Alors tp(βb_i₀b_i₁) = tp(αa_i₀a_i₁), et en particulier tp(β) = tp(α), ce qui nous donne tout de suite les conclusions suivantes :

– D’après la remarque 5.7.2, f_q(α) est bien défini ssi f_q(β) est défini. Ce fait, plus

C1(¯a, ¯b), montre C1(¯aα, ¯bβ).

Nous avons en plus, d’après la remarque 5.7.2 aussi, que tp(f_q(α)) = tp(f_q(β)). – O_α = O_β, c’est-à-dire :

1. fq(α) < fq0(α) ssi fq(β) < fq0(β) 2. f_q(α) > f_q0(α) ssi f_q(β) > f_q0(β)

3. f_q(α) = f_q0(α) ssi f_q(β) = f_q0(β)

– Supposons f_q(α) = f_q0(a_i) pour un certain i ≤ n. Alors par (I) on aura f_q(α) =

f_q0(a_i) = ∞. Puisque tp(α) = tp(β), alors f_q(β) = ∞, et puisque tp(f_q0(a_i)) =

tp(f_q0(b_i)) par (ii), on aura f_q0(b_i) = ∞.

La réciproque étant symétrique, nous avons montré que f_q(α) = f_q0(a_i) ssi f_q(β) =

f_q0(b_i).

Soit maintenant f_q(α) bien défini et différent de ∞. On a alors que f_q(α) réalise une certaine coupure c⁰ = (A⁰, B⁰) ∈ C (h¯ai). Si d0 = (E⁰, F⁰) ∈ C (h¯bi) est la coupure correspondante sur h¯bi, d’après (II) et C2(¯a, ¯b) nous avons :

1. – v^h¯ai g (c⁰) = v^h¯ai g (c) = a_i₀ si V_g(c⁰) 6= ∅, – v_d^h¯âi(c⁰) = v_d^h¯âi(c) = a_i₁ si V_d(c⁰) 6= ∅, – vh¯bi g (d0) = vh¯bi g (d) = b_i₀ si V_g(d0) 6= ∅, – v_d^h¯^bi(d⁰) = v_d^h¯^bi(d) = b_i₁ si V_d(d⁰) 6= ∅ ; 2. – v^h¯ai g (c⁰) = a_i₀ ssi v^h¯bi g (d⁰) = b_i₀, – v_d^h¯âi(c⁰) = a_i₁ ssi v^h¯_d^bi(d⁰) = b_i₁, – v^h¯ai g (c⁰) = ∅ ssi v^h¯bi g (d⁰) = ∅, – v_d^h¯âi(c⁰) = ∅ ssi v_d^h¯^bi(d⁰) = ∅.

D’autre part, nous avons M (hai0i ∩ A0) < f_q(α) < (ha_i₁i ∩ B0), ou autrement dit M {fqr(a_i₀)}_r∈R < f_q(α) < {f_q_s(a_i₁)}_s∈S pour certains R, S. On a alors

({f_q_r(x_i₀)}_r∈R < fq(x) < {f_q_s(x_i₁)}_s∈S) ⊆ tp(αa_i₀ai1).

On en déduit ainsi N {fqr(b_i₀)}_r∈R < f_q(β) < {f_q_s(b_i₁)}_s∈S, c’est-à-dire f_q(β) d⁰. Cela, plus les observations précédentes, plus C2(¯a, ¯b), montre C2(¯aα, ¯bβ).

Voyons finalement que C3(¯aα, ¯bβ) est aussi vérifié.

Soit ˜c = ( ˜A, ˜B) ∈ C (h¯aαi), et ˜d = ( ˜E, ˜F ) ∈ C (h¯bβi) sa coupure correspondante sur h¯bβi. D’après C2(¯aα, ¯bβ) et la définition de bon choix de voisins, il y a trois cas possibles :

1. v^h¯aαi

g (˜c), v_d^h¯^aαi(˜c) ∈ ¯a ∪ {∅}, et en plus v^h¯bβi

g ( ˜d), v^h¯_d^bβi( ˜d) ∈ ¯b ∪ {∅}

2. v^h¯_g^aαi(˜c), v_d^h¯^aαi(˜c) ∈ {α, ∅}, et en plus v_g^h¯^bβi( ˜d), v^h¯_d^bβi( ˜d) ∈ {β, ∅}

3. – soit v^h¯aαi g (˜c) = α, v^h¯bβi g ( ˜d) = β et v^h¯_d^aαi(˜c) ∈ ¯a, v_d^h¯^bβi( ˜d) ∈ ¯b, – soit v^h¯aαi g (˜c) ∈ ¯a, v^h¯bβi g ( ˜d) ∈ ¯b et v^h¯_d^aαi(˜c) = α, v_d^h¯^bβi( ˜d) = β.

Dans le cas 1. il existent ˜c₀ ∈C (h¯ai) et sa correspondante ˜d₀ ∈C (h¯bi), tels que ˜c0 ≡ ˜c

et ˜d0 ≡ ˜d. D’après la compatibilité entre bons choix donnée par le lemme 5.6.39, nous

avons (v^h¯aαi

g (˜c), v^h¯_d^aαi(˜c)) = (v^h¯ai

g (˜c₀), v_d^h¯^ai(˜c₀)) et (v^h¯bβi

g ( ˜d), v_d^h¯^bβi( ˜d)) = (v^h¯bi

g ( ˜d₀), v_d^h¯^bi( ˜d₀)). On en conclut d’après C3(¯a, ¯b) que tp(v^h¯aαi

g (˜c), v_d^h¯^aαi(˜c)) = tp(v^h¯bβi

g ( ˜d), v_d^h¯^bβi( ˜d)).

Dans le cas 2., tp(v^h¯_g^aαi(˜c), v^h¯_d^aαi(˜c)) = tp(v_g^h¯^bβi( ˜d), v_d^h¯^bβi( ˜d)) est une conclusion immédiate

Nous traitons finalement le cas 3.

Supposons v_g^h¯^aαi(˜c) = α, v^h¯_g^bβi( ˜d) = β, v_d^h¯^aαi(˜c) = a_j₁ et v_d^h¯^bβi( ˜d) = b_j₁. Puisque par définition de voisin on a que ha_j₁i ∩ ˜B est coinitial dans ˜B, et hb_j₁i ∩ ˜F est coinitial dans

F , il existe deux coupures c_∗ = (A_∗, B_∗) ∈ C (h¯ai) et d∗ = (E_∗, F_∗) ∈ C (h¯bi), tels que

c∗ ,→ ˜c, d∗ ,→ ˜d et c∗ ≡_d c, d˜ ∗ ≡_dd. En plus d^˜ ∗ est la coupure sur h¯bi correspondante à c∗. Par le lemme 5.6.39 on aura a_j₁ = v_d^h¯^aαi(˜c) = v^h¯_d^ai(c∗) et b_j₁ = v_d^h¯^bβi( ˜d) = v_d^h¯^bi(d∗). Par définition de bon choix de voisins, et puisque α a un indice maximal (rappelons que α = a_n+1), on a que M A∗ < f_q(α) < B∗ pour un certain f_q(α) ∈ hαi : si pour tout f_q(α) ∈ hαi, soit il existe a ∈ A∗ tel que f_q(α) ≤ a soit il existe b ∈ B∗ tel que

b ≤ f_q(α), alors, comme h¯aαi = h¯a⁰i ∪ hαi, on aurait c_∗ ≡_g c (en plus de c˜ _∗ ≡_d ˜c) ; dans

ce cas, d’après le lemme 5.6.39 v^h¯ai

g (c∗) = v^h¯aαi

g (˜c) = α. Mais cela est impossible, puisque v^h¯_g^ai(c∗) = a_i pour un certain i ∈ {1, . . . , n}, et α 6= a_i pour tout i ≤ n.

En plus f_q(α) 6= ∞ (si le seul α⁰ ∈ hαi tel que A_∗ < α⁰ < B_∗ est α⁰ = ∞, alors

B∗ = ˜B = ∅ et on serait dans le cas 2.).

Alors, comme nous l’avons déjà remarqué dans (II), la coupure que f_q(α) réalise, c’est-à-dire c_∗, vérifie v_d^h¯^ai(c_∗) = v_d^h¯^ai(c) = a_i₁ (et aussi v^h¯ai

g (c_∗) = v^h¯ai

g (c) = a_i₀ si V_g(c_∗) 6= ∅). D’après C2(¯aα, ¯bβ), la même chose arrive sur h¯bβi : la coupure que f_q(β) réalise, c’est-à-dire d∗, vérifie v^h¯_d^bi(d∗) = v_d^h¯^bi(d) = b_i₁ (et aussi v^h¯bi

g (d∗) = v^h¯bi

g (d) = b_i₀ si V_g(d∗) 6= ∅). Alors a_j₁ = a_i₁ et b_j₁ = b_i₁.

Nous avons donc finalement

tp(v^h¯_g^aαi(˜c), v_d^h¯^aαi(˜c)) = tp(αa_i₁)

tp(v_g^h¯^bβi( ˜d), v^h¯_d^bβi( ˜d)) = tp(βb_i₁)

Puisque par construction tp(αa_i₀a_i₁) = tp(βb_i₀b_i₁), on en conclut :

tp(v_g^h¯^aαi(˜c), v_d^h¯^aαi(˜c)) = tp(v_g^h¯^bβi( ˜d), v_d^h¯^bβi( ˜d)).

Le cas v^h¯aαi

g (˜c) = a_j₀, v^h¯bβi

g ( ˜d) = b_j₀, v^h¯_d^aαi(˜c) = α et v^h¯_d^bβi( ˜d) = β est analogue au

précédent.

Pour montrer la condition (b) de C3(¯aα, ¯bβ), les mêmes raisonnements qu’on vient de

faire sont valables.

(B) Considérons les coupures définies précédemment c₀ et c₁, d₀ et d₁. Soit (v_d^h¯^ai(c₀), v^h¯ai

g (c₁)) = (a_i₀, a_i₁) pour certains i₀, i₁ ∈ {1, . . . , n}. D’après C2(¯a, ¯b) et

la définition de bon choix de voisins on aura (v_d^h¯^ai(d₀), v^h¯ai

g (d₁)) = (b_i₀, b_i₁), et par C3(¯a, ¯b)

on aura tp(a_i₀a_i₁) = tp(b_i₀b_i₁).

On raisonnera de façon similaire au cas (A), mais il sera bien plus facile d’en tirer les conclusions.

Considérons alors p(x, x_i₀, x_i₁) = tp(α, a_i₀, a_i₁), et le type partiel

Nous avons donc Σ(a_i₀, a_i₁) ⊂ tp(a_i₀a_i₁), et alors N Σ(bi0, b_i₁). Par saturation de N et compacité, on trouvera β ∈ N tel que tp(αa_i₀a_i₁) = tp(βb_i₀b_i₁).

Puisque tp(α) = tp(β), on aura que pour tout q ∈ Q>0 f_q(α) est bien défini ssi f_q(β) est bien défini. Cela montre C1(¯aα, ¯bβ).

On a aussi, d’après tp(α) = tp(β), que Oα = Oβ, c’est-à-dire : – f_q(α) < f_q0(α) ssi f_q(β) < f_q0(β)

– f_q(α) > f_q0(α) ssi f_q(β) > f_q0(β) – f_q(α) = f_q0(α) ssi f_q(β) = f_q0(β)

D’après cela, plus tp(αa_i₀a_i₁) = tp(βb_i₀b_i₁), plus le fait que pour tout α⁰ ∈ hαi soit

α⁰ < h¯ai, soit h¯ai < α⁰, soit h¯ai \ {∞} < α⁰ ≤ ∞ (si ∞ ∈ h¯ai), on conclut C2(¯aα, ¯bβ).

Finalement, pour tout coupure ˜c ∈ C (h¯aαi), nous avons une des quatre options sui-vantes :

1. Il existe c∗ ∈C (h¯ai) tel que c∗ ≡ ˜c ;

2. v^h¯aαi

g (˜c) = α et v^h¯_d^aαi(˜c) = α ;

3. (vh¯aαi

g (˜c), v_d^h¯âαi(˜c)) = (ai1, α) ou (v_g^h¯âαi(˜c), v^h¯_dâαi(˜c)) = (α, ai0) ; 4. (v^h¯aαi

g (˜c), v_d^h¯^aαi(˜c)) = (∅, α) ou (v^h¯aαi

g (˜c), v_d^h¯^aαi(˜c)) = (α, ∅).

Pour chacune de ces trois options nous aurons, bien sûr, les conditions correspondantes sur h¯bβi, exprimés en termes de ˜d (la coupure correspondante à ˜c).

Dans le cas 1. on déduit tp(v^h¯aαi

g (˜c), v_d^h¯^aαi(˜c)) = tp(v^h¯bβi

g ( ˜d), v_d^h¯^bβi( ˜d)) de C3(¯a, ¯b) et de

la compatibilité de bons choix de voisins donnée par le lemme 5.6.39.

Dans les cas 2., 3. et 4. on déduit la même chose d’après tp(αa_i₀a_i₁) = tp(βb_i₀b_i₁), en utilisant aussi le lemme 5.6.39 pour 3.

Cela montre la première partie de C3(¯aα, ¯bβ).

La deuxième partie sera, elle aussi, une conséquence immédiate de tp(αa_i₀a_i₁) = tp(βb_i₀b_i₁).

Dans le document Chaînes et dépendance (Page 93-100)