Démarche d’optimisation

7.3

Démarche d’optimisation

7.3.1

Passage du 2D au 3D

Dans le cas des aimants d’accélérateur, qui comportent généralement de longues parties droites, on réalise en général un design 2D avant le design 3D. Dans ce chapitre on considère des dipôles composés de conducteurs de section rectangulaire, on peut donc utiliser la démarche d’optimisation 2D décrite dans le chapitre6. Dans les parties droites, les câbles peuvent être disposés soit horizontalement, soit verticalement. Chaque bloc du design 2D est tout d’abord prolongé en une partie droite (Figure7.3).

Figure 7.3 – Passage du design 2D blocs aux parties droites 3D correspondantes.

En partant de blocs produisant des harmoniques nulles en 2D et en les prolongeant avec les parallélépipèdes correspondants, on s’aperçoit que l’intégrale de ces harmoniques le long du tube faisceau est également nulle. L’intégrale de By produite par des

parties droites de longueur finie est donc homogène si le bloc infini correspon- dant est homogène. Cette propriété particulière est démontrée analytiquement dans [132] pour une distribution de courant en cos θ. Par conséquent, la longueur des par- ties droites homogènes n’a pas d’influence sur les intégrales d’harmoniques, étant donné qu’elles s’annulent entre elles. Cela signifie également qu’à partir du moment où le design 2D est homogène, il suffit que les têtes soient homogènes pour que la bobine complète soit homogène. Dans les exemples suivants, la longueur des parties droites est choisie ar- bitrairement. La solution la plus simple pour annuler les intégrales d’harmoniques serait de compenser les harmoniques créés dans les têtes en introduisant des harmoniques non nuls dans les parties droites. En revanche le champ de courbure n’est plus homogène dans les parties droites, ce qui peut poser problème pour la dynamique du faisceau. Afin de tester les possibilités de la méthode ce chapitre traitera le cas le plus contraignant où à la fois les parties droites et les têtes sont homogènes.

7.3.2

Modélisation 3D du bobinage

Dans un aimant, plusieurs couches de bobinage, aussi désignées sous le nom de « ga- lettes », reposent les unes sur les autres. Chaque bloc du design 2D correspond au départ à une galette. On désignera par la suite par « galette », la bobine élémentaire qui permet de former un dipôle. Un dipôle est composé au minimum de deux galettes, disposées au dessus et en dessous du tube faisceau. Ces galettes sont elle même constituées de briques élémentaires : parallélépipèdes et arcs, décrits dans la section précédente. La Figure 7.4

Figure 7.4 – Représentation d’un quart de galette de dipôle, bobinée sur un tube faisceau.

Pour les besoins d’optimisation, il peut être judicieux de subdiviser ces premières galettes en plusieurs galettes afin de gagner en degrés de liberté. Une modélisation plus fine consiste à modéliser chaque tour de bobinage par une galette. La section de la galette est alors égale à la section d’un câble. Un dipôle comporte 3 symétries, donc un huitième seulement est modélisé.

7.3.3

Optimisation des harmoniques

Les formules de calcul de champ pour les blocs sont codées en langage Fortran, qui est bien adapté à l’évaluation numérique de formules analytiques. Le champ est alors calculé en tout point de l’espace en sommant la contribution de tous les blocs. Ainsi, pour calculer les harmoniques de champ le long de l’axe, on se place à une cote z donnée, puis on réalise une décomposition en série de Fourier sur un rayon égal aux 2/3 de l’ouverture. On réalise ensuite l’intégrale de ces coefficients le long de l’axe du tube faisceau, en faisant varier z. Bien entendu, il faut choisir un nombre de points adéquat pour trouver un compromis entre le temps et la précision de calcul souhaitée. Une fonction d’optimisation non linéaire sous contrainte, selon une méthode de programmation séquentielle quadratique (SQP), est alors utilisée pour minimiser l’intégrale d’harmonique voulue. Etant donné qu’une intégrale d’harmonique précise est très coûteuse en temps de calcul, l’optimisation est fortement « guidée » à la main.

Dans l’absolu, il existe un très grand nombre de degrés de liberté afin de minimi- ser les intégrales d’harmoniques. Dans la pratique, les dimensions des galettes doivent respecter certaines contraintes liées au bobinage, ce qui limite le nombre de paramètres effectivement ajustables. Une fois les contraintes géométriques satisfaites, l’optimisation

132/176 7.3. Démarche d’optimisation se résume généralement à allonger ou raccourcir la longueur des têtes. Dans une applica- tion accélérateur, la place disponible pour placer un dipôle est restreinte, et une longueur magnétique1 _{minimum doit être respectée. On ne peut donc pas (ou très peu) raccourcir}

les parties droites. Pour homogénéiser les intégrales d’harmoniques dans un design 3D, on préférera donc les solutions qui raccourcissent les têtes.

Les intégrales d’harmoniques utilisées pour la suite seront normalisées par rapport à l’intégrale du champ au centre B1, et on définit ainsi :

IBn=

R Bndz

R B1dz

(7.23) Ainsi, des harmoniques égales à une unité dans les parties droites donneront une intégrale égale à une unité. Dans la suite de l’étude, le champ est intégré sur une longueur de 15 m2_.

Afin de pouvoir annuler une intégrale d’harmonique, il est fort utile de savoir à l’avance comment subdiviser les galettes. Cela permet de gagner un temps de calcul considérable. Pour déterminer à quel endroit créer la subdivision, on trace la contribution de chaque tour de bobinage aux intégrales d’harmoniques, en faisant varier la longueur δ de la tête. On verra par la suite que les courbes IBn=f(δ) varient linéairement (voir Figure 7.5) et

toutes ces droites passent par zéro (l’intégrale est nulle si la longueur de la tête est nulle). Cela signifie que la contribution d’un tour à une intégrale d’harmonique ne changera pas de signe en fonction de δ. On peut donc déterminer dès le départ quels vont être les tours à allonger et quels vont être ceux à raccourcir si l’on veut diminuer ou augmenter une intégrale d’harmonique donnée. Soit l’intégrale d’harmonique est au départ négative : il faudra allonger les tours de contribution positive ou diminuer ceux de contribution négative. Soit l’intégrale est positive et il faudra allonger les tours de contribution négative ou diminuer ceux de contribution positive. Le découpage est donc choisi « à la main », puis une fonction d’optimisation est utilisée pour minimiser les harmoniques.

Figure 7.5 – Exemple de l’évolution de l’intégrale de Bn en fonction de la longueur des têtes. Les valeurs

avant et après optimisation sont indiquées dans le cas où IBn est négatif et doit être annulé : les tours

de contribution positive ont été allongés et ceux de contribution négative ont été raccourcis.

1. La longueur magnétique est définie par : Lmag = R B1(z)dz/B1(0). Cela correspond à un dipôle

parfait produisant un champ B1 sur une longueur Lmag et 0 en dehors.

verticale pour un aimant 13 T comprenant plus de blocs.

On choisit tout d’abord les paramètres du design. On impose une largeur des blocs de 20 mm, ce qui correspond à la largeur d’un câble. On choisit de plus une densité de courant Jbloc de 262 A/mm2. D’après les conceptions précédentes, le champ créé par deux blocs

de dimensions 20×20 avec cette densité de courant est d’environ 2,3 T. On commence alors par chercher un design 2D permettant de minimiser la section, de créer 2,3 T au centre, et d’annuler les harmoniques B3 et B5. Le découpage ultérieur en câbles se fera

de manière à disposer les câbles horizontalement dans les parties droites. Cela revient à appliquer une forte courbure dans l’arc qui referme les têtes, qui devient alors la partie « hard-way bending ». Le design 2D est représenté Figure7.6.

Figure 7.6 – Design à deux blocs qui annule les harmoniques B3 et B5.

La longueur des parties droites est fixée arbitrairement à 0,365 m. On raccorde ensuite avec des têtes en « hard-way bending ». Le raccordement au plus court (Figure 7.7 qui respecte la courbure limite de 700 mm conduit à des têtes de 0,274 m avec une inclinaison de 16,61˚. On obtient les valeurs d’intégrales suivantes : IB3 = -1,10 unité, IB5 = -

0,338 unité.

7.4.2

Minimisation des intégrales d’harmoniques

On cherche ensuite à minimiser ces intégrales d’harmoniques. Pour cela, trois solutions se présentent :

– Augmenter l’inclinaison des têtes mais il faut rallonger la partie « hard-way bend » pour respecter le rayon limite.