Décomposition orthogonale aux valeurs propres (POD) de la pression fluctuante

La décomposition orthogonale aux valeurs propres est fréquemment utilisée pour décrire le comportement des structures cohérentes (voir chapitre 2). Une POD a ainsi été réalisée sur le cas de référence et le cas avec jet pulsé à 400Hz présentés dans les sections précédentes afin d’apporter une nouvelle approche de la description du sillage dans le cadre de la réduction de la traînée.

Puisque le nombre de points disponibles est très grand devant le nombre de pas de temps (NX>>Nt), la méthode des Snapshots est employée. Des routines de post traitement en C++ sont créées pour exploiter la base de données générée par le calcul. Le nombre de points du maillage étant très élevé, avec 120 millions d’éléments, la POD nécessite des heures CPU pour être effectuée, elle est réalisée sur Nt=256 échantillons espacés de manière régulière à la fréquence de 1000Hz, et la moyenne est effectuée sur 300 champs.

Il a également été choisi d’effectuer cette analyse POD sur les champs de pression fluctuante. D’ordinaire, les analyses utilisées dans le cadre de post traitement d’essais de PIV, se font sur les champs de vitesse, mais dans notre cas, le nombre élevé de points rend plus commode l’analyse sur un seul scalaire, en l’occurrence la pression. Les travaux de Frederich et al. [Fre11] présentent une analyse POD des champs de pression fluctuantes à l’arrière d’un demi cylindre extrudé en trois dimensions et montrent que ce choix est pertinent du fait du couplage vitesse pression inhérent à tout fluide. La pression représente en effet un lissage et un filtrage naturel des champs de vitesse. La relation directe entre les deux s’obtient en considérant le couplage entre les équations de continuité et de quantité de mouvement. On peut montrer que de la divergence de l’équation de mouvement découle l’équation de Poisson de la pression : 𝛿²𝑝 𝛿𝑥_𝑖2= −𝜌^𝛿𝑢𝑖 𝛿𝑥_𝑗 𝛿𝑢_𝑗 𝛿𝑥_𝑖

Notons également la relation qu’il existe entre le laplacien de la pression et le critère Q : ∆𝑝 = 2𝜌𝑄 Classiquement, lorsque la vitesse est utilisée dans la décomposition modale, les vecteurs de la base sont homogènes à des fluctuations d’énergie cinétique. Dans notre cas, si l’on souhaite apporter une analyse physique à la description des modes, il faut considérer la grandeur 𝑝^′/𝜌 qui est homogène à une fluctuation d’énergie. Puisque notre étude est considérée comme incompressible, cela revient à une constante près à décrire directement les fluctuations de pression. [Fre11]

Les paramètres suivants ont été choisis pour le calcul de la base modale : Nt=256 champs instantanés échantillonnés régulièrement à la fréquence fe=1000Hz, la moyenne étant effectuée sur 300 champs incluant les 256 champs instantanés choisis. Pour des raisons d’espace disque, seuls les 30 premiers modes sont sauvegardés. Avec ces paramètres, le domaine spectral associé est de [4Hz ; 500Hz] , avec cette résolution fréquentielle il faut être prudent sur les conclusions de basse fréquence.

Les matrices de corrélation des champs de pression fluctuante pour le cas de référence et le cas avec jet pulsé à 400Hz sont représentées sur la Figure 4.47. Ces matrices sont symétriques et l’échelle de coloration est logarithmique afin de bien représenter le niveau de corrélation élevé ou faible entre les

Snapshots. Outre le plus fort niveau de corrélation déterminé par l’autocorrélation des Snapshots représenté sur les diagonales des matrices, les périodicités de l’écoulement peuvent être observées sur les diagonales supérieures pour le cas de référence. Pour le cas avec jet pulsé à 400Hz, la matrice est quadrillée par des fortes valeurs de corrélation, dont la fréquence liée correspond à la fréquence de contrôle de 400Hz.

Figure 4.47 - Matrices de corrélation de la base POD colorié en log(|Rij|) pour le cas de référence (à gauche) et le cas jets pulsés à 400Hz (à droite)

Les valeurs propres de la POD représentent la pondération des fluctuations d’énergie associée à chaque mode. La Figure 4.48 est une représentation normalisée des valeurs propres en fonction des modes. Dans les deux cas, les 20 premiers modes concentrent plus de 90% de l’énergie fluctuante. Pour le cas de référence, le premier mode représente 12% de l’énergie totale et 95% de l’énergie est recouverte par les 20 premiers modes. Pour le cas avec jet pulsé à 400Hz, le premier mode représente à lui seul 41% de l’énergie totale, et 95% de l’énergie totale est atteinte pour 15 modes.

Figure 4.48 - Valeurs propres normalisées associées aux 20 premiers modes de l'écoulement

La représentation des champs modaux permet d’identifier les zones de fluctuation au sein du fluide. - Pour le cas de référence, si l’on se concentre sur le mode les plus énergétiques, on constate que les

distributions de fluctuations sont principalement situées dans deux zones : le soubassement du corps et la couche de cisaillement du sillage proche du culot (Figure 4.49). L’évolution du coefficient modal est également représentée sur la Figure 4.49, son spectre montre que des fréquences dominantes

ressortent à 8Hz, 24Hz, et 48Hz, qui ont été identifiées comme des fréquences dominantes du sillage dans la section précédente.

- Pour le cas avec jet pulsé à 400Hz, la distribution est différente du cas de référence (Figure 4.50). Pour le premier mode extrêmement énergétique les valeurs de fluctuation modales sont situées en partie haute du culot dans l’écoulement proche de la fente de soufflage, et jusqu’à une longueur de 0,5H en aval de l’écoulement. Si l’on considère la fréquence dominante liée à ce mode de fd=400Hz et la longueur d’onde associée aux structures des minimums de pression fluctuante =1/(0,17H)=30m^-1, alors la vitesse de convection modale vaut v=fe/=13,3m/s, soit la valeur de l’intégrale temporelle du signal de vitesse de la fente de soufflage. Pour les modes suivants, les résultats redeviennent plus proche du cas de référence, à savoir des zones de fluctuations situées dans le soubassement et les couches de cisaillement en proche culot. Ce résultat montre que le contrôle de l’écoulement par jet pulsé à haute fréquence a un fort effet sur l’écoulement de sillage dans la couche de cisaillement autour de la zone de pulsation.

Figure 4.49 - Description du premier mode POD pour le cas de référence. En haut à gauche : Iso contours des maximums de valeur absolue du mode propre. En haut à droite : Valeurs du mode propre dans le plan de symétrie longitudinale. En bas à gauche : Évolution coefficient modal en fonction du temps. En bas à droite : Spectre du signal de coefficient modal

Figure 4.50 - Description de premier mode POD pour le cas avec jet pulsé à 400Hz. En haut à gauche : Iso contours des maximums de valeur absolue du mode propre. En haut à droite : Valeurs du mode propre dans le plan de symétrie longitudinale. En bas à gauche : Evolution coefficient modal en fonction du temps. En bas à droite : Spectre du signal de coefficient modal

Figure 4.51 - Description du 3ème mode de pression fluctuante pour le cas de référence (à gauche) et le cas avec jet pulsé à 400Hz (à droite)