Décomposition en ondelettes

Comme nous l’avons suggéré précédemment, l’analyse spectrale s’applique aux signaux stationnaires, or les signaux hydrologiques sont par nature non stationnaires du fait des variations saisonnières ou climatiques, ainsi que par l’anthropisation de ces systèmes. Afin de disposer d’une méthode permettant d’analyser les signaux non stationnaires, l’analyse en ondelette est effectuée, comme par exemple pour identifier les effets d’un pompage (D. Labat et al. 1999), ou de l’intermittence d’une source (D. Labat et al. 1999). À la différence de l’analyse de Fourier, les fréquences identifiées dans le signal sont localisées temporellement. La transformée en ondelette décompose le signal en une famille d’ondelettes translatées et dilatées. Une ondelette est une fonction oscillante de moyenne nulle. L’ondelette mère est notée . Plusieurs types d’ondelettes mères existent, D. Labat et al. (1999) dans leur étude sur les karsts pyrénéens en ont utilisé plusieurs, et ont conclu que les résultats étaient très peu sensibles au choix de l’ondelette analysante, dans le cas d’une analyse avec un pas de temps journalier.

La famille d’ondelettes s’obtient en dilatant et en translatant l’ondelette mère selon la formule suivante :

37 Les paramètres u et s permettent respectivement de contrôler la translation et la dilatation (ou échelle) de l’ondelette ψ.

La transformée en ondelettes d’une fonction x(t) au temps u et { l’échelle s s’écrit :

Équation 12

ce qui correspond au produit de convolution de la fonction x(t) avec l’ondelette .

Ondelettes discrètes

La transformation d’un signal peut également se faire en temps discret. Le temps discret est alors noté k et les paramètres u et s sont respectivement notés q et j.

Dans le cas discret, si l’on considère que les échelles varient également de manière discrète par puissance de 2 (selon une échelle dyadique), la dilatation et la translation de l’ondelette mère se fait de la façon suivante :

Équation 13

où a0=2 est une constante correspondant à la plus petite échelle, j est la puissance donnant les

variations d’échelles dyadiques et q le paramètre de retard. L’avantage de la transformée en ondelettes discrètes est que la décomposition du signal peut se faire sur une base d’ondelettes orthogonales les unes par rapport aux autres, tant en translation qu’en dilatation (échelle). Pour cela on décompose récursivement le signal en deux composantes : l’allure générale du signal (basses fréquences), appelée approximation, et le résidu du signal (hautes fréquences), appelé détail (D. Labat et al. 2000).

Grâce { l’orthogonalité des ondelettes discrètes, la transformée en ondelettes inverse peut être écrite de manière exacte. Lorsque l’on écrit la transformée inverse, le signal x(k) est donc exprimé comme une somme pondérée sur la base d’ondelettes ; cette écriture permet d’effectuer l’analyse multirésolutions (D. Labat et al. 2000).

Graphique et interprétation

Les transformées en ondelettes sont représentées sur des graphiques indiquant en abscisse le temps (mois, années …) et en ordonnées l’échelle. L’échelle est reliée { la période, donc { la fréquence.

Un code couleur permet de donner la valeur de la transformée en ondelettes pour chaque point du graphique (Figure 8).

Les processus périodiques forment des lignes horizontales, alors que les impulsions forment des lignes verticales. L’effet d’un pompage ponctuel, par exemple, peut être observé en une ligne verticale, localisée dans le temps. L’échelle d’un phénomène quasi-périodique (hautes-eaux par exemple) donne une indication sur la période { laquelle survient ce type d’évènement. Ainsi, sur la Figure 8, on peut observer des tâches rouges correspondant environ à la composante 350 jours, que l’on peut relier aux automnes pluvieux. De même, les tâches plus importantes rouges, correspondant aux années 94 à 97 sont interprétées comme étant des années très pluvieuses, au contraire des années 87 à 93 où le bleu est dominant. Cette observation peut être mise en relation

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avec la figure 35 (Indices centrés réduits des séries chronologiques de pluie et de débit de 1988 à 2004) du chapitre III concernant le système karstique du Lez, et qui délivre la même information concernant les années sèches et humides. Par ailleurs, les zones verticales sombres, localisée durant l’été, signifient que le débit est constant. Elles correspondent aux périodes pour lesquelles le débit de la source du Lez provient uniquement du débit réservé.

Figure 8 : Spectre en ondelettes continues du signal de débit de la source du Lez sur la période 1987-1999 (communication personnelle A. Mangin).

Les valeurs les plus faibles sont en bleu et les valeurs les plus fortes sont en rouge.

L’utilisation des ondelettes discrètes et continues { différents pas de temps a permis à D. Labat et

al. (2000) de dégager la structure temporelle de la réponse du bassin versant étudié à la pluie.

L’analyse en ondelettes discrètes a permis aux auteurs de séparer le signal de débit en deux composantes : une composante rapide, correspondant probablement aux écoulements dans les conduits karstiques, et une composante lente probablement due à un transfert plus lent dans la matrice poreuse et les fissures.

D. Labat et al. (2002) ont utilisé l’analyse corrélatoire croisée, couplée { une transformée en ondelettes discrète sur des signaux pluie-débit d’un système karstique pyrénéen. Les auteurs ont calculé les corrélations croisées des transformées en ondelettes des chroniques de pluie et de débit pour une même échelle. Ils en ont déduit des fonctions d’intercorrélation, échelle par échelle. La valeur du maximum de ces fonctions d’intercorrélation indique la causalité de la relation pluie-débit pour chaque échelle. Les auteurs notent que les allures des fonctions d’intercorrélation sont dépendantes de l’importance de la karstification du système étudié.