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3.5 Aplica¸c˜ao no Escoamento de Flu´ıdos

Escoamento ´e uma altera¸c˜ao na forma do flu´ıdo sujeito a a¸c˜ao de uma tens˜ao de cisalhamento. O escoamento de flu´ıdos torna-se altamente complexo, pois est´a ligado a um enorme n´umero de vari´aveis necess´arias para sua descri¸c˜ao matem´atica.

Problema 3.5.1. A ´agua escoa pelo fundo de um tanque de armazenamento a uma taxa de r(t) = 200 − 4t litros por minuto, onde 0 ≤ t ≤ 10. Encontre a quantidade de ´

agua que escoa do tanque durante os primeiros dez minutos (STEWART, 2012).

Solu¸c˜ao 3.5.1. De acordo com a fun¸c˜ao citada pelo problema, temos que o escoamento da ´agua varia de acordo com o tempo t, em minutos. Observe que pela fun¸c˜ao a quanti- dade inicial de ´agua que escoa pelo fundo do tanque ´e de 200 litros e que a cada minuto o tanque perde uma quantidade de ´agua equivalente a 4 litros. Como queremos calcular a quantidade de ´agua durante os primeiros dez minutos, vamos considerar o intervalo de 0 a 10 minutos. Da´ı Z r(t)dt = Z (200 − 4t) dt = 200t − 2t2+ C.

Seja R(t) = 200t − 2t2 + C, uma primitiva da fun¸c˜ao r(t) em [0, 10]. Ent˜ao, pelo Teorema Fundamental do C´alculo, temos

R(10) − R(0) = 200.10 − 2.102+ C − (200.0 − 2.02+ C) = 2000 − 200

= 1800.

Portanto, a quantidade de ´agua que escoa pelo tanque nos primeiros dez minutos ´e de 1800 litros.

Considera¸c˜oes Finais

Ao longo deste trabalho foi poss´ıvel notar que o Teorema Fundamental do C´alculo est´a intimamente ligado a outras ciˆencias e que possui t´ecnicas necess´arias na resolu¸c˜ao de problemas tanto da Matem´atica quanto das outras ´areas. Al´em de possuir v´ınculos com a interdisciplinaridade, o Teorema Fundamental do C´alculo costuma ser utilizado no dia a dia das pessoas sem que elas percebam. As perguntas sobre o que fazer com tais assuntos podem ser constantes, mas este Teorema possui ferramentas que podem ser ´uteis na constru¸c˜ao de v´arios conhecimentos, como no c´alculo de distˆancias, tr´afego de ve´ıculos e at´e no escoamento da ´agua.

O Teorema Fundamental do C´alculo nos permite a vis˜ao de que a sua cria¸c˜ao foi necess´aria para desencadear problemas, encontrados por matem´aticos, que eram, at´e ent˜ao, considerados imposs´ıveis de serem resolvidos. Ent˜ao, temos que o objetivo geral do trabalho ´e mostrar a aplica¸c˜ao do TFC em outras ´areas do conhecimento, como as citadas anteriormente. Atrav´es dele, tem-se a oportunidade de perceber que a diferen- cia¸c˜ao e a integra¸c˜ao s˜ao problemas inversos um do outro e que outros matem´aticos, al´em de Newton e Leibniz, possu´ıam ideias fundamentais para a sua constru¸c˜ao. Mesmo sem realizar descobertas em conjunto, as ideias de Newton e Leibniz se complementa- ram no decorrer desse processo de cria¸c˜ao e s˜ao consideradas a base para um dos mais importantes feitos no estudo do C´alculo Diferencial e Integral.

Por fim, estudar Matem´atica ´e muito mais do que aprender f´ormulas e conceitos, ´e conhecer os princ´ıpios de sua cria¸c˜ao e descobrir os motivos que levaram `a sua fun- damenta¸c˜ao te´orica. Devemos lembrar que ´e importante para o professor, descobrir t´ecnicas novas e diferentes para transmitir esse conhecimento, j´a que a Matem´atica ´e considerada como uma ciˆencia dif´ıcil e complicada de se entender. O ensino dessa ciˆencia tem como objetivo a forma¸c˜ao de cidad˜aos que estejam aptos a realizar interven¸c˜oes nos conte´udos estudados relacionando-os com a sua vivˆencia social e a interessar-se pelo motivo de suas aplica¸c˜oes. Como o Teorema Fundamental do C´alculo pode ser utilizado em diferentes ´areas, ´e importante conhecer o seu contexto hist´orico e as suas aplica¸c˜oes antes de expor o conte´udo em sala de aula para estar apto a responder os questionamentos que podem ser lan¸cados pelos alunos.

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