La description indéterminée du système en termes de modèles flous fournit des versions spécifiques des algorithmes de contrôle. Le système flou appelé Takagi-Sugeno obéissant à l’ensemble de règles floues suivantes :
IF (Z1(t) ∈ F1iAND · · ·) AND (Zp(t) ∈ F1p) THEN ( ˙x = Aix + Biu, y = Cix + Diu)
Ces règles sont très commodes pour la conception du contrôle. ici, x(t) ∈ <n et u(t) ∈ <m
y(t) ∈ <m:
Sont, respectivement, les vecteurs d’état, entrée, et sortie du système, Zi(t) sont des variables
antécédentes qui sont fonctions des variables d’état du système de la variables entrée u(t) et, probablement de la variable temps avec Fi j sont les ensembles flous définissant les fonctions
d’appartenances. Les matrices Ai, Bipeuvent être dépendantes des variables Zi(t) qui permettent
de décrire le système non linéaire dans la forme paramétrique. La sortie du système est déter- minée au moyen de la défuzzification par la méthode de centre de gravité qui souvent utilisée.
y(t) = r X i=1 hi(z) Cix (1.29) Ou : hi(z) = Prwi(zi) i=1wi(zi), wi(zi) = Q Fi j(zi), z = (z1, z2, · · · , zn).
Avec cette représentation, les non linéarités sont cachées dans la règle de défuzzification qui permet de construire des modèles flous pour une classe large de dynamique, y compris les systèmes chaotiques [114].
5 Conclusion
Le contrôle du chaos demeure un domaine de recherche intensive. Les domaines des études les plus innovatrices et les puissantes tels que le contrôle en boucle ouverte ou contrôle vibra- tionnel, la linéarisation de la carte de Poincare et la réaction retardée sont explorés activement.
Néanmoins, ils font face à nombreux problèmes irrésolus s’inquiétant principalement de la jus- tification des méthodes. Les méthodes bien développées de contrôle non linéaire et le contrôle adaptatif devrait être utilisé avec soin à cause du critère du moindre effort. Mépris de ceci, les exigences peuvent produire une impression de simplicité du problème. Du point de vue du cri- tère de moindre effort, les méthodes basées sur la passivité offrent un avantage parce qu’elles nous autorisent à atteindre le but indépendamment du gain.
Ces dernières années, il y a eu un intérêt considérable dans le contrôle du chaos dans les sys- tèmes dynamiques non linéaires. Pour les années passées, beaucoup de techniques différentes ont été proposées pour contrôler le chaos, tel que méthode OGY, approche géométrique diffé- rentielle, par retour réaction de l’espace de l’état linéaire, contrôle adaptatif, contrôle flou et la méthode du Backtepping qui fait partie du contrôle non linéaire sera largement détaillée et appliquée dans le prochain chapitre.
Backstepping pour la stabilisation et la
commande en poursuite de trajectoire
référence des systèmes dynamiques non
linéaires chaotiques
1 Introduction
Durant ces dernières années, une grande partie de la communauté scientifique s’est intéres- sée à la recherche des procédures récursives pour la mise au point des lois de commande pour les systèmes non linéaires, comme par exemple le Backstepping, un certain nombre d’ouvrages traitant de cette nouvelle approche théorique sont apparus [181]- [190]. Des applications à des procédés ont aussi été présentées dans la littérature [191]- [202]. Ces techniques maintenant relativement connues sont essentiellement basées sur l’utilisation des fonctions de Lyapunov pour ce qui est de l’étude de la stabilité.
La théorie de Lyapunov est un outil important, aussi bien pour les systèmes linéaires que les systèmes non linéaires, malheureusement son utilisation dans le contrôle des systèmes non linéaires est souvent gênée par des difficultés de trouver une fonction de Lyapunov appropriée pour un système donné, si on peut trouver une telle fonction le système est stable, mais la tache de la trouver est malheureusement délaissée pour l’imagination et l’expérience du concepteur [116].
Le Backstepping est une méthode systématique pour la conception de contrôle non li- néaire, elle peut être appliquée pour une classe générale de systèmes. Son nom se reporte à la nature récursive de la conception de la procédure. En premier, un petit sous système est
considéré pour lequel une loi de commande virtuelle est conçue, puis la conception est éten- due sur plusieurs étapes jusqu’à ce que la loi de commande finale pour le système globale est construite. Durant la conception une fonction de Lyapunov du système contrôlé est successive- ment construite.
Une chose important dans le Backstepping est que les non linéarités peuvent être traitées en plusieurs moyens, les non linéarités utiles contribuant dans la stabilisation peuvent être retenues, tandis que les non linéarités non utiles peuvent être remplacées par un contrôle linéaire [87]. Contrairement au contrôle par boucle de retour linéaire, ou les non linéarités sont éliminés en utilisant une boucle de retour non linéaire, gardé les non linéarités au lieu de les éliminés exige un modèle moins précis et un petit effort de contrôle et mieux encore, les lois de contrôle résul- tant peuvent être considérées comme des lois optimales garantissant une certaine propriété de robustesse.
L’origine du Backstepping n’est pas tout a fait clair, ceci est du à l’apparition simultané et souvent implicite dans les articles publiés des 1980. Cependant, il est juste de dire que le Backstepping a reçue beaucoup d’attention, grâce au travaux de professeur V. Kokotovic et ses collaborateurs [79]- [87]. En 1992 Kannellkapoullos et Al présentaient un outil mathématique "toolkits" pour concevoir des lois de contrôle pour une variété des systèmes non linéaires utili- sant la méthode du Backstepping [102]- [104]. Durant les années suivantes, des manuels édités sont apparus [105], [106].
Ce chapitre introduit les techniques de bases du Backstepping, ou on donne dans la section 2.2 quelques concepts sur la théorie de Lyapunov, la section 2.3 introduit les idées de base de la conception des lois de commande par le Backstepping, dans la section 2.4 des applications sur quelques systèmes dynamiques non linéaires chaotiques finalement on termine par une conclu- sion sur les parties formant le chapitre.
2 Notion de stabilité au sens de Lyapunov
La commande par la méthode du Backstepping est basé sur la théorie de Lyapunov [148], [149] , l’objectif de la procédure est de construire une loi de commande qui ramène le système vers un état désiré, qui est généralement un état d’équilibre stable en boucle fermée.
Dans cette section on donne quelques notions de stabilité au sens de Lyapunov, les conditions de stabilité des différents états d’équilibres des systèmes dynamiques non linéaires [150], [151]. La classe des systèmes est celle dérivant des modèles de systèmes physiques qui peuvent se présenter par un ensemble des équations différentielles ordinaires.
– Description (sans une entrée)
– Description (avec une entrée)
˙x = f (x, u, t) (2.2)
Où x = [x1, x2, · · · , xn]T est le vecteur des variables d’état,
u = [u1, u2, · · · , um]T est le vecteur des entrées du système.
Le système Autonome :un système est dit autonome si f ne dépend pas du temps, si non le système est dit non autonome.
Considérons le système autonome suivant :
˙x = f (x) (2.3)
Ou : x = x(t) ∈ <n.