Henri Poincaré a apporté une contribution très utile pour l’étude des systèmes chaotiques. Parmi ces contributions on trouve les sections de Poincaré. Faire une section de Poincaré re- vient à couper la trajectoire dans l’espace des phases, afin d’étudier les intersections de cette trajectoire avec, par exemple en dimension trois, un plan. On passe alors d’un système dyna- mique à temps continu à un système dynamique à temps discret. Les mathématiciens ont bien sûr démontré que les propriétés du système sont conservées après la réalisation d’une section
de Poincaré judicieusement choisie, en particulier, un cycle limite simple du système continu est remplacé par un point fixe de l’application de Poincaré
La carte de Poincare est introduite sur la supposition de l’existence d’une solution périodique ¯x(t) pour le système (4.79), débutant en un point initial x0, c.à.d. ¯x(t + T ) = x(t) est satisfaite
pour tout t ≥ t0et x0(t) = x0.
Si M0est un point d’une trajectoire périodique, la section de Poincaré Σ est un plan perpendicu-
laire à la trajectoire passant par M0. Pour chaque point P de la section Σ assez proche de M0, la
trajectoire issue de P après avoir effectué une révolution rencontrera la section en un nouveau point P1. On définit ainsi une application
T : Σ → Σ
C’est l’application de premier retour (ou encore application de Poincaré). Pour chaque point P de Σ, T (P) est le point de Σ où la trajectoire issue P revient croiser Σ. L’application T permet de transformer le système continu (qui évolue avec le temps) en un système discret qui correspond aux premiers instants où la trajectoire recoupe le plan Σ.
Autrement dit
Soit Σ une surface transversale lisse de la trajectoire au point M0qui obéit à l’équation
σ(x0) ≡ 0
Ou σ : <N → <1, est une fonction scalaire lisse qui croise transversalement la trajectoire au
point M0, c.à.d.
σ(x0) = 0 , ∇σ(x0)TT (M) ≡ 0
est satisfaite.
La solution débutant au point x ∈ σ = {x : σ(x) = 0} au voisinage de x0peut croiser la surface
σ(x0) = 0 au moins une fois.
Soit τ = τ(x) est le temps du premier retour, oú x(τ) ∈ σ le point du premier retour. Définition 2.5 La carte x → x(τ) est appelée point ou section de Poincaré.
Une application de Poincaré peut être vue comme un système dynamique discret avec un espace d’état de dimension égale à celle du système dynamique continu original, moins une. Comme ce nouveau système dynamique conserve plusieurs propriétés des orbites périodiques et quasi périodiques du système original et comme le nouveau système comporte un espace d’états de dimension inférieure, il est souvent utile pour l’analyse du système original. Par contre, ceci n’est pas toujours possible en pratique puisqu’il n’existe aucune méthode générale de construction de l’application de Poincaré.
– Une méthode proposée dans [12] est de tracer une trajectoire par exemple (x; dx/dt) non pas en continu mais à intervalle de temps régulier.
– une autre méthode consiste en des coupes faites par un plan passant par le point fixe et parallèle à un axe. Ce choix est arbitraire, et presque n’importe quelle surface ou plus généralement une variété de dimension n − 1 permet de déterminer une section de Poin- caré. La seule contrainte à respecter est que la trajectoire traverse la surface et n’y soit pas tangente.
– Une autre façon de réaliser une section de Poincaré, toute aussi intéressante, consiste a regarder la suite des maximums de l’une des grandeurs du système (la surface d’équation
˙x = 0).
Cette carte est largement utilisée pour l’étude et le contrôle des processus chaotiques. En ce qui concerne l’étude du comportement chaotique, La section de Poincaré permet de vi- sualiser s’il y a chaos ou non et les zones de stabilité, d’après Poincaré qui suggérait d’étudier des intersections de trajectoires multiples avec un plan fictif judicieusement placé, si toutes les trajectoires restaient dans un tore, la trajectoire est régulière et prédictible. Si toute la section de Poincaré est percée de trajectoires, celle-ci sera chaotique et très instable dans le temps. Prati- quement, ces zones stables sont liées aux orbites bien réguliers et aux phénomènes de résonance. Pour le contrôle des processus chaotiques, en considérant un point de la section de Poincaré pour une valeur du paramètre de contrôle, et en supposant que la condition initiale pour le système soit très proche de ce point, lors de son évolution, le système ne se stabilise jamais de lui-même autour du point. Ceci signifie qu’à chaque passage dans la section de Poincaré, le point courant est de plus en plus éloigné du point considéré. Pour contrôler le système, on se propose de lui imposer de rester autour du point, en modifiant légèrement la valeur du paramètre de contrôle. En introduisant des perturbations sur le paramètre, on modifie le comportement du système de façon à ramener les valeurs propres, régissant l’évolution dans la section de Poincaré, dans le cercle unité.
On présente des sections de poincaré pour quelques attracteurs
(a) Section de Poincaré de l’attracteur de Moon
(b) Section de Poincaré de l’attracteur de he- non
Les notions (équation non linéaire, représentation dans l’espace des phases, instabilité du système traduisant la sensibilité aux conditions initiales, notion d’attracteur et la notion de la carte de poincaré) vues précédemment permettent de montrer si les phénomènes étudiés sont chaotiques ou non . Ces notions font donc partie du domaine théorique. (elles reposent sur des équations). Expérimentalement, nous ne disposons le plus souvent que d’une seule variable parmi les différentes variables d’état qui caractérisent entièrement le système. La caractérisation du comportement dynamique du système se fait alors par le biais des divers outils classiques suivants :