III. 6.2 ´ Etude de la stabilit´e autour de la configuration corrig´ee
IV.4 Construction des fonctions de pond´eration
IV.4.1
Principe G´en´eral
Dans les m´ethodes d’estimation probabiliste utilisant des moindres carr´es pond´er´es, les va- leurs des poids utilis´es correspondent `a l’inverse de la matrice de variance covariance associ´ee aux mesures. Dans ce cas, plus les mesures ont une grande variance moins elles seront prises en
IV.4. Construction des fonctions de pond´eration 57
compte. Ce principe est le mˆeme pour la majeure partie des m´ethodes probabiliste d’estimation qui supposent une repr´esentation gaussienne des variables al´eatoires associ´ees au mod`ele (e.g. filtrage de Kalman).
Dans notre travail, on consid`ere les poids comme une propri´et´e intrins`eque de la tˆache ro- botique associ´ee `a l’ex´ecution du chemin g´eom´etrique planifi´e. Ainsi pour une configuration donn´ee le long d’une trajectoire, l’attribution d’un poids `a un couple capteur-amer doit refl´eter son importance par rapport `a l’environnement et `a la trajectoire, afin d’´eviter toute collision. En ce sens il est semblable au module de la force de r´epulsion utilis´ee dans les m´ethodes de d´eformation de trajectoire par bande ´elastique [73] et il doit permettre de respecter le chemin pla- nifi´e tout en tenant compte des changements de l’environnement. Ces fonctions de pond´eration peuvent ˆetre assimil´ees `a des modules de forces tentant d’amener le robot `a la position d’´equilibre (configuration de r´ef´erence dans le plan de r´ef´erence) dont l’expression d’´equilibre est r´egie par l’´equation de localisation pond´er´ee (III.6). Il est difficile d’´etablir une m´ethode g´en´erique et pr´ecise permettant le calcul formel de telles fonctions pour tout type de robot, tout type de capteur et tout type d’amer. Cependant nous pr´esentons dans ce qui suit un formalisme g´en´eral pouvant ˆetre adapt´e suivant les diff´erents cas qui peuvent se pr´esenter pour calculer ces fonctions. L’id´ee est de d´ecomposer la fonction de pond´eration en un produit de sous fonctions o`u chacune d’elle repr´esente une caract´eristique pr´ecise, essentiellement la perception de l’amer par le capteur et le risque de collision que cet amer repr´esente pour une configuration donn´ee du robot tout en respectant les propri´et´es ´etablies en IV.3.1. Ces sous fonctions de pond´eration sont d´efinies dans l’espace des configurations. Comme on le verra plus tard dans ce chapitre, pour un chemin g´eom´etrique donn´e, on calcule ces fonctions pour les diff´erents couples capteurs- amers extraient de l’environnement par les algorithmes de s´election. Le choix des amers se fera essentiellement sur les amers de plus grandes valeurs de poids calcul´ees apr`es construction de ces fonctions de pond´eration.
IV.4.2
Fonction de pond´eration associ´ee `a la perception
Definition IV.4.1 Dans un plan de r´ef´erence donn´e, soit PS,L une fonction de perception de
classe C1 d´efinie sur une partie de S × L lorsque L est visible depuis S. Pour le couple (S, L) la fonction de pond´eration associ´ee `a la perception wvisiS,L est d´efinie par :
wvisiS,L : S × L → R
+
(s, l) 7→ wvisiS,L(s, l) o`u
wvisiS,L(s, l)
> 0 si `a la configuration s, L est visible depuis S.
= 0 sinon.
En multipliant wvisiS,L avec les sous fonctions de pond´eration continues d´efinies ci-dessous, on va
permettre d’assurer la deuxi`eme propri´et´e (c.f. § IV.3), `a savoir que le poids associ´e `a un couple capteur-amer sera nul en dehors du champs de visibilit´e du capteur. wvisiS,L est une fonction
IV.4.3
Fonction de pond´eration associ´ee `a la collision
Cette sous fonction de pond´eration est inspir´ee des m´ethodes utilis´es pour l’´evitement r´eactif d’obstacle propos´ees initialement dans [38]. En effet, le long d’un chemin g´eom´etrique planifi´e, sa valeur correspond au module de la force de r´epulsion entre l’amer, vu ici comme un obstacle, et le robot. Ainsi nous adoptons la d´efinition suivante pour la fonction de pond´eration associ´ee `a la collision :
Definition IV.4.2 Dans un plan de r´ef´erence donn´e, pour chaque amer L la fonction de pond´eration
wColL associ´ee `a la collision est d´efinie par :
wColL : C × L → R
+
(q, l) 7→ wColL(q, l)
En utilisant la plus courte distance entre le robot et l’amer L, wColL peut avoir une valeur in-
versement proportionnelle `a cette distance. Dans la litt´erature traitant des ´evitements r´eactifs d’obstacle, on d´efinit une distance limite de l’influence du champs de potentiel de r´epulsion. Dans notre cas, il n’est pas n´ecessaire de d´efinir cette distance car l’influence de la fonction de pond´eration associ´ee `a la collision sera limit´ee par la fonction de pond´eration associ´ee `a la per- ception. Dans une configuration donn´ee, le robot sera sujet `a des poids (ou forces) repr´esentant le danger de collision potentiel issue de chaque amer s´electionn´e pour la localisation. Ainsi la correction de la configuration du robot sera fonction du danger de collision et de l’´ecart entre plan de r´ef´erence et plan d’ex´ecution.
IV.4.4
Fonction de pond´eration pr´ed´efinie
En plus du calcul automatique des sous fonctions de pond´eration telles que les fonctions associ´ees `a la collision et `a la perception servant au calcul du poids d’un couple capteur-amer, on peut ajouter une fonction continue pr´ed´efinie par l’utilisateur servant `a r´ehausser ou `a ra- baisser l’importance qu’on veut attribuer `a un amer particulier par rapport `a la valeur calcul´ee automatiquement. Ceci peut ˆetre, par exemple, le cas d’un environnement ´equip´e de balises de localisation ou encore des obstacles immobiles comme par exemple les piliers d’un bˆatiment. Ces amers sont des primitives d’asservissement tr`es fiables pour un bon positionnement du robot et il est n´ecessaire qu’ils soient pris en compte en priorit´e. Ainsi ce type de fonction force la s´election d’amers sp´ecifiques dans le cas o`u ils ne constituent pas un danger de collision ou quand ils sont moins visibles que d’autres amers de l’environnement. Cette fonction sera not´ee :
wuser : C × L → R+
(q, l) 7→ wuser(q, l)
IV.4.5
Calcul g´en´erique de la fonction de pond´eration
Definition IV.4.3 Soit un robot amen´e `a suivre un chemin g´eom´etrique γ(u), u ∈ [0,U ]. Une
IV.4. Construction des fonctions de pond´eration 59
sur ce robot et d’un amer L est le produit de trois fonctions continues :
∀ u ∈ [0,U], wSL(u) = wvisiS,L(s(γ(u)), l) × wColL(γ(u), l) × wuser(γ(u), l),
Bien evidemment il est difficile d’arrˆeter la d´ecomposition d’une fonction de pond´eration au produit de ces uniques trois fonctions. D’autres crit`eres de pond´eration peuvent ´egalement ˆetre d´evelopp´es et ajout´es `a ceux ci. La fonction de pond´eration ainsi obtenu respecte les deux premi`eres propri´et´es ´etablies en IV.3.1 c’est `a dire qu’elle est continue et nulle en dehors du champs de perception du capteur. Toutefois elle ne tient pas compte des contraintes de mouve- ment du robot. Ce point est trait´e dans la section suivante.
Notons ´egalement que la fonction de pond´eration ´etant d´efinie dans l’espace de configuration
C × L, il faut construire cette fonction pour chaque chemin planifi´e γ(u), u ∈ [0, U].
IV.4.6
Contraintes cin´ematique et fonction de pond´eration
Dans notre approche on veut que la fonction de pond´eration wSLassoci´ee `a une paire capteur-
amer (S, L) tienne compte des contraintes cin´ematiques du robot sur lequel est mont´e le capteur. Pour cela la d´eriv´ee des variables de configuration du robot impose une contrainte sur la d´eriv´ee de wSL, qui s’exprime par la fonction :
∂ wSL
∂ u = f (
∂ q
∂ u) (IV.1)
La production du mouvement associ´e `a ce chemin permet de param´etrer l’abscisse curviligne u de la trajectoire en fonction du temps u = g(t). Ainsi on exprime cette contrainte sur l’espace temporel en tenant compte des contraintes des vitesses du robot.
∂ wSL
∂ t = h(
∂ q
∂ t) (IV.2)
Dans le cas d’un robot non-holonome (c.f section (IV.3)), cette contrainte permet de r´eduire les grandes variations de l’erreur de localisation durant l’ex´ecution du mouvement afin d’´eviter des corrections lat´erales trop importantes et aussi pour ´eviter de g´en´erer des erreurs de perception importantes issues de la correction (changement d’orientation du robot pour corriger des erreurs de position lat´erales).
Ne pouvant pas r´esoudre ce probl`eme de mani`ere formelle, nous avons opt´e pour une so- lution sous-optimale qui consiste `a imposer `a la fonction de pond´eration une variation lente le long du chemin planifi´e. Cette contrainte a donn´e lieu `a la troisi`eme propri´et´e pr´esent´ee au para- graphe (IV.3).
Les d´eveloppements conduits jusqu’ici traitent de la premi`ere question pos´ee dans l’intro- duction de ce chapitre. Les algorithmes propos´es ci-apr`es traitent des deux derni`eres questions `a savoir la s´election et l’enchaˆınement des paires capteurs-amers.