Calcul du r´esidu de la perception en configuration corrig´ee

Dans un cadre g´en´eral, il est impossible que le robot se localise dans son plan de r´ef´erence de mani`ere `a parfaitement respecter la perception de son environnement. De fac¸on analogue une fois dans la configuration corrig´ee il est impossible que le robot ait satisfait compl`etement la perception pr´evue par le plan dans la configuration de r´ef´erence.

Nous rappelons ici l’expression du r´esidu de localisation (c.f. § (III.4)) qui repr´esente la norme carr´ee de l’´ecart entre la perception des amers dans la configuration de localisation et la perception mesur´ee.

J = kIM(qloc(q, l), l0) − IM(q, l)k2 (III.27)

Le r´esidu de correction est formul´e par la norme carr´ee de l’´ecart entre la perception des amers dans la configuration corrig´ee et la perception de r´ef´erence.

J0= kIM(qc, l) − IM(q0, l0)k2 (III.28)

D´eveloppons au premier ordre la perception au point (qc, l) autour du point de r´ef´erence (q0, l0)

et en n´egligeant le r´esidu de lin´earisation nous trouvons :

Remplac¸ons ce r´esultat et le r´esultat de l’´equation (III.22) dans l’expression (III.28) du r´esidu J0 nous obtenons apr`es calcul :

J0= kW (qc − q)k2 (III.30)

En utilisant le r´esultat de la propri´et´e (III.6.2) nous exprimons le r´esidu de perception en qc en

fonction de la configuration de localisation :

J0 = k − W ( q_loc(q, l) − q0)k2

= kW ( qloc(q, l) − q0)k2 (III.31)

Par ailleurs si nous d´eveloppons la perception au point (qloc(q, l), l0) autour de la r´ef´erence

(q0, l0) en n´egligeant le r´esidu d’ordre 1 de la lin´earisation,

IM(qloc(q, l), l0) = IM0+ W (qloc(q, l) − q0) (III.32)

En remplac¸ant cette ´equation dans l’expression (III.27) du r´esidu de localisation J0, on obtient apr`es simplification des termes oppos´es :

J = kW ( q_loc(q, l) − q0)k2 (III.33)

Finalement, en comparant (III.31) et (III.33) nous trouvons que :

J0 = J (III.34)

D’o`u la propri´et´e suivante :

Propri´et´e III.6.3 Le r´esidu de la perception dans la configuration corrig´ee qcexprim´e en (III.28)

est ´egal au r´esidu de perception dans la configuration de localisation qloc(q, l) exprim´e en (III.27).

Revenons `a l’exemple III.3.2 pour lequel la configuration corrig´ee est unique. Celle-ci est d´ecal´ee en translation par rapport `a la configuration ex´ecut´ee q0d’une distance D vers le haut et

d’une mˆeme distance vers la gauche. En rotation, le robot subit une transformation d’un angle α dans le sens des aiguilles d’une montre (voir figure (III.5)). Pour cette configuration, le robot a une perception dans son environnement d’ex´ecution des murs L1et L2identique `a la perception

des mˆemes murs dans le plan de r´ef´erence. De ce fait, la localisation retourne la configuration planifi´ee q0.

III.7

Conclusion

La d´efinition III.5.1 constitue l’´el´ement le plus important de notre approche de mouvement asservi sur amers. Elle pr´esente ce mouvement comme un chemin g´eom´etrique auquel est attribu´e un ensemble de primitives pond´er´ees issues de l’association des amers de l’environnement et des capteurs du robot. La pond´eration de chaque primitive est une sp´ecification intrins`eque du mouvement asservi sur amers. La construction de ces fonctions est l’objet du chapitre suivant.

III.7. Conclusion 51 q₀ D₁ q_c D₂ x y exécution x y D D x y α α

FIG. III.5 – Robot se trouvant `a la configuration corrig´ee. Cette configuration est d´ecal´ee vers la gauche d’une distance D et vers le haut d’une mˆeme distance par rapport `a la configuration ac- tuelle du robot dans l’environnement d’ex´ecution. En rotation, le robot subit une transformation d’un angle α dans le sens des aiguilles d’une montre. Dans ce cas, la configuration corrig´ee est unique.

Chapitre IV

Principes et calculs des fonctions de

pond´eration

IV.1

Introduction

A la fin du chapitre pr´ec´edent nous avons introduit la d´efinition du mouvement asservi sur amers o`u l’on propose `a partir d’un chemin g´eom´etrique planifi´e de fournir une liste de fonctions de pond´eration associ´ees aux amers de l’environnement, afin de les utiliser pour as- servir l’ex´ecution de la trajectoire dans l’environnement r´eel. L’introduction des fonctions de pond´eration comme caract´eristique intrins`eque du mouvement asservi sur amers soul`eve essen- tiellement trois grandes questions :

– Comment construire ces fonctions ?

– Comment s´electionner les amers les plus pertinents pour l’ex´ecution du mouvement ? – Comment enchaˆıner la succession des amers choisis au cours du mouvement ?

Dans un premier temps, ce chapitre tente de r´epondre `a chacune de ces questions en proposant des m´ethodes de calcul g´en´eriques des fonctions de pond´eration, tout en ´etablissant certaines pro- pri´et´es. Dans un deuxi`eme temps, on propose des algorithmes permettant de d´efinir des crit`eres de s´election par rapport `a la trajectoire planifi´ee et nous montrons comment construire la struc- ture algorithmique d’un mouvement asservi sur amers afin de pouvoir prendre en compte `a la fois l’aspect s´election des amers et l’aspect enchaˆınement des s´equences d’amers choisis. Nous verrons dans le chapitre d´edi´e aux exp´erimentations que cette approche peut grandement ˆetre am´elior´ee en prenant en compte des crit`eres li´es `a l’ex´ecution du mouvement tels que le condi- tionnement de la matrice de localisation pond´er´ee et l’appariement des primitives planifi´ees en environnement r´eel. A la fin de ce chapitre, on fournit des r´esultats de simulations effectu´ees sur

le robot Hilare2 avec sa remorque.

Avant d’aborder cette partie du chapitre nous allons d’abord voir sur un exemple le probl`eme de la variation de la pond´eration des amers.