Constitution d’une référence - particularités des données

particularités des données

3. Constitution d’une référence

3.1. Objectifs et principe

3.1.1. Simulations de Monte-Carlo

Les simulations de Monte-Carlo permettent de simuler l’application d’une régression linéaire de calibration à un événement pluvieux pour lequel elle n’a pas été spécifiquement établie et de vérifier l’effet sur les incertitudes relatives au flux annuel ou événementiel. L’incertitude sera évaluée en analysant la dispersion des flux annuels et événementiels de MES ou de DCO calculés avec des affectations entre événements pluvieux et droites de calibration disponibles différentes.

En plus de la problématique de l’affectation, le modèle de régression introduit également des incertitudes. Des erreurs résiduelles dues au caractère empirique du modèle linéaire entre paramètre polluant et turbidité doivent être prises en compte. L’utilisation de simulations de Monte-Carlo permet donc également de tester l’effet de la dispersion des résidus.

Enfin, les paramètres des droites de calibration sont eux-mêmes affectés par des incertitudes qui ont été prises en compte dans le cas de l’utilisation de la méthode par calibration unique globale (CU). Des tests préliminaires ont montré que ces erreurs étaient déjà incluses dans la dispersion des paramètres des droites dans le cas de la méthode utilisant l’affectation d’une relation de calibration spécifique pour chaque événement pluvieux (CE).

Ces deux méthodes sont présentées dans le paragraphe suivant.

3.1.2. Particularités de la référence

Cette étude vise à tester l’impact du nombre de données de calibration sur la valeur et la dispersion des flux de polluants. Il est donc intéressant de disposer d’un flux de référence auquel comparer des flux calculés à l’issue des simulations. Dans la plupart des études relatives à des stratégies d’échantillonnage, des enregistrements à pas de temps d’échantillonnage rapide ou bien des séries de données synthétiques sont utilisées comme unique référence (Coats et al., 2002; Leecaster et al., 2002; Moosmann et al., 2005; Richards & Holloway, 1987; Webb et al., 1997).

Dans notre cas, le nombre d’événements échantillonnés dans les bases de données de Cordon- Bleu ou de Saint-Mihiel est significativement plus petit que le nombre d’événements pluvieux enregistrés dans l’année étudiée (84 pour le site des Quais). Il n’est donc pas possible de construire une unique référence par une méthode rationnelle d’affectation événement pluvieux/droite de calibration. Dans ce contexte, la référence n’a pas été définie comme une unique valeur mais comme une variable aléatoire avec une dispersion intrinsèque liée aux différentes affectations événement pluvieux/droite de calibration possibles et aux incertitudes sur le modèle de régression linéaire.

Les simulations de Monte-Carlo ont comme premier objectif de définir cette référence et sa dispersion selon deux méthodes distinctes.

- Une méthode d’affectation spécifique des relations de calibration à chaque événement pluvieux de l’année d’étude (CE). L’allocation de la relation de calibration à l’événement pluvieux est réalisée de façon aléatoire.

- Une méthode utilisant une relation linéaire unique globale (CU) construite à partir de tous les points PP/turbidité de tous les événements de la base de données mélangés.

La méthode CE s’appuie sur une hypothèse d’homogénéité intra-événementielle des relations de calibration. Cela signifie que les points MES/turbidité ou DCO/turbidité s’alignent sur une droite pour chaque événement pluvieux même si les caractéristiques des particules évoluent en cours d’événement. Elle suppose également une hétérogénéité inter-événementielle significative, c’est- à-dire des relations de calibration significativement différentes d’un événement pluvieux à un autre. Ces hypothèses semblent confirmées par les observations des bases de données (chapitre 9, paragraphe 1).

La méthode CU a été testée car elle ne repose pas sur des hypothèses d’homogénéité intra- événementielle et d’hétérogénéité inter-événementielle. Cette méthode considère que la variabilité des relations PP/turbidité est la manifestation d’un échantillonnage aléatoire de points dans une unique population. Elle est beaucoup référencée dans les études relatives à la turbidité (Fletcher & Deletic, 2007; Minella et al., 2008; Suk et al., 1999).

Pour les deux méthodes, les erreurs affectant les différents pas de temps d’un événement donné ne sont pas indépendantes. Pour la méthode CU, les erreurs affectant différents événements sont liées car la même droite de calibration est appliquée à tous les événements. Pour la méthode CE, ces erreurs sont indépendantes, ce qui permet leur compensation à l’échelle annuelle. En revanche, à l’échelle annuelle, la méthode CE tient plus compte de la variabilité inter- événementielle des relations de calibration que la méthode CU qui réalise une moyenne entre plusieurs événements. Il est donc difficile de prévoir quelle méthode va donner la plus grande dispersion.

3.2. Implémentation des deux méthodes de calcul

3.2.1. Nomenclature

Cette étude fait l’objet d’une publication (cf. annexe G). Pour faciliter la compréhension, les notations utilisées dans la suite ont été listées ci-dessous. Cette liste s’appuie sur les notations de l’article avec quelques modifications et adaptations dues à la traduction (Lacour et al., 2009b).

- a : ordonnée au centre de gravité d’une régression linéaire écrite sous la forme PP=a +

b(T-TG) (mg.l-1) (PP=Paramètre Polluant)

- b : pente de la régression linéaire écrite sous la forme PP=a + b(T-TG) (mg.l-1) ; - Ci : concentration instantanée en MES ou DCO (mg.l-1)

- F : flux polluant de temps de pluie (kg) - i : indice de pas de temps

- Ik : durée, en minutes, d’un événement pluvieux indexé k

- k : index d’un événement pluvieux (au cours d’une année) - m : index d’un tour de simulation de Monte Carlo

- mtot : nombre total de tours de simulation de Monte Carlo

Chapitre 8 : méthodologie de calcul - nmax : nombre total d’événements échantillonnés dans la base de données pour un site

donné

- U : index relatif aux paramètres relatifs à l’utilisation de la méthode par relation linéaire unique globale

- Qi : débit instantané (m3.s-1)

- s : écart-type - T : turbidité (FAU)

- Ti : turbidité instantanée (FAU)

- TG : centre de gravité des données de turbidité dans la base des données de calibration (FAU)

- VR : rapport entre le 9ème (d90) et le 1er (d10) décile des distributions relatives aux paramètres de calibration a ou b

- α : pourcentage d’incertitude dans le cas d’erreurs aléatoires - Δt : pas de temps des enregistrements de turbidité.

Par ailleurs, les abréviations suivantes vont être beaucoup utilisées dans la suite : - CE : Calibration par Evénement

- CU : Calibration globale Unique - PP : paramètre Polluant

- QCB : site synthétique alliant mesure en continu des Quais et donnée de calibration de Cordon-Bleu

- QSM : site synthétique alliant mesure en continu des Quais et donnée de calibration de Saint-Mihiel.

Les simulations décrites dans ce chapitre ont été programmées à l’aide du logiciel Scilab.

3.2.2. Exploitation des bases de données

Chaque simulation consiste en mtot tours de calcul à l’issue desquels sont évaluées des valeurs

moyennes de flux FCE et FCU ainsi que leurs dispersions s(FCE) et s(FCU) pour les deux méthodes.

Les simulations sont effectuées :

- pour les deux sites synthétiques : données en continu des Quais + données de calibration de Cordon Bleu et données en continu des Quais + données de calibration de Saint- Mihiel,

- pour les deux paramètres polluants (MES et DCO), - pour les deux méthodes (CE et CU)

Les résultats sont donc classés en 4 paires site/paramètre polluant (MES/QCB ; MES/QSM ; DCO/QCB ; DCO/QSM) pour chacune des deux méthodes.

Les relations linéaires sont exprimées au centre de gravité pour chaque événement pluvieux k échantillonné par PP = ak+bk.(T-TGk) avec ak et bk calculés par des méthodes classiques de

régression et TGk le centre de gravité des données de turbidité relatives à l’événement k. Avec

ces notations, les écarts-types sur les paramètres s(ak) et s(bk) sont indépendants.

Lorsque toutes les données sont considérées comme un seul ensemble (méthode CU), la relation de calibration est PP = aU+bU.(T-TGU).

3.2.3. Calcul sans prise en compte des erreurs aléatoires

Le calcul de la référence est effectué selon le diagramme de la Figure 84 en utilisant toutes les données disponibles. Pour la méthode CE, la dispersion de la référence est due aux différentes

combinaisons possibles d’affectations événement pluvieux/droite de calibration. Pour chaque tour de simulation de Monte-Carlo indexé m, les nmax triplets disponibles {(ak,m ; bk,m ;

TGk,m)}(1≤k≤nmax) sont affectés de façon aléatoires aux N événements pluvieux de l’année étudiée.

La boucle de la partie gauche de la Figure 84 génère à chaque tour des combinaisons

différentes des triplets affectés aux événements pluvieux. Le calcul du flux annuel de polluants à

chaque tour de simulation m est donné par :

(

)

[a

b

T

TG

]

Q

t

F

N _i k Ik i m k i m k m k N k m k m CE

=

∑

=

∑∑

+

⋅

−

⋅

⋅Δ

= = = 1 1 , , , 1 , , (21)

Affectation aléatoire d’un triplet de l’événement échantillonné j à chaque

événement non échantillonné k :

kЄ [1:84] et j Є [1:nmax]

=>ensemble de triplets {(a_k,m; b_k,m ; TG_k,m)}

Calibration par événement (CE) Calibration unique globale (CU)

Etablissement de n_maxrelations linéaires {(a_j; b_j; TG_j)} _{(1≤j≤nmax)}

Tirage aléatoire de paramètres (a_U,m; b_{U, m}) dans des distributions normales :

•a_U,m~N(a_U; s(a_U))

•b_U,m~N(b_U; s(b_U))

• Etablissement d’une unique relation linéaire (a_U; b_U; TG_U)

• Calcul des incertitudes sur les paramètres s(a_U)and s(bU)

Analyse de la distribution de F_CE,met F_CU,m: • Valeur moyenne • Dispersion m=m+1 m=mtot oui non non oui m=m+1 m=mtot

Echantillonnage de n_maxévénements = l_maxpoints {(Turbidité/PP)}

Calcul du flux de polluant F_m,krelatif à l’événement k avec le triplet

(a _k,m; b _k,m ; TG _k,m) Flux annuel de temps de pluie =

somme des flux de chaque événement individuel

Calcul du flux de polluant F_m,krelatif à l’événement k avec le triplet

(a_U,m; b_U,m; TG_U)

Flux annuel de temps de pluie = somme des flux de chaque événement

individuel

∑

= = 84 1 , , k m k m CE F F

∑

= = 84 1 , , k m k m CU F F

Affectation aléatoire d’un triplet de l’événement échantillonné j à chaque

événement non échantillonné k :

kЄ [1:84] et j Є [1:nmax]

=>ensemble de triplets {(a_k,m; b_k,m ; TG_k,m)}

Calibration par événement (CE) Calibration unique globale (CU)

Etablissement de n_maxrelations linéaires {(a_j; b_j; TG_j)} _{(1≤j≤nmax)}

Tirage aléatoire de paramètres (a_U,m; b_{U, m}) dans des distributions normales :

•a_U,m~N(a_U; s(a_U))

•b_U,m~N(b_U; s(b_U))

• Etablissement d’une unique relation linéaire (a_U; b_U; TG_U)

• Calcul des incertitudes sur les paramètres s(a_U)and s(bU)

Analyse de la distribution de F_CE,met F_CU,m: • Valeur moyenne • Dispersion m=m+1 m=mtot m=mtot oui non non oui m=m+1 mm=m=mtottot

Echantillonnage de n_maxévénements = l_maxpoints {(Turbidité/PP)}

Calcul du flux de polluant F_m,krelatif à l’événement k avec le triplet

(a _k,m; b _k,m ; TG _k,m) Flux annuel de temps de pluie =

somme des flux de chaque événement individuel

Calcul du flux de polluant F_m,krelatif à l’événement k avec le triplet

(a_U,m; b_U,m; TG_U)

Flux annuel de temps de pluie = somme des flux de chaque événement

individuel

∑

= = 84 1 , , k m k m CE F F

∑

= = 84 1 , , k m k m CU F F

Figure 84 : Diagramme du principe des simulations de calcul des flux annuels de temps de pluie de référence avec les méthodes CE et CU (Lacour et al., 2009b)

Pour la méthode CU, la dispersion de la référence est due aux incertitudes s(aU) et s(bU) sur les

paramètres aU et bU de la droite unique globale de calibration. Un unique triplet (aU ; bU ; TGU)

est donc utilisé pour les N événements pluvieux de l’année étudiée. Les simulations portent sur le tirage aléatoire de paramètres modifiés aU,m et bU,m dans des distributions normales utilisant

Chapitre 8 : méthodologie de calcul de paramètres modifiés (aU,m ; bU,m) pour chaque tour de simulation. Le calcul du flux de

polluants annuel à chaque tour de simulation m est donné par :

(

)

[

a b T TG

]

Q t F F N _i k Ik i U i m U m U N k m k m CU =

∑

∑∑

+ ⋅ − ⋅ ⋅Δ = = = 1 1 , , 1 , , (22)

où les couples (aU,m ; bU,m) sont issus de distributions normales N(moyenne ; écart-type) telles

que aU,m ~ N(aU ; s(aU)) et bU,m ~ N(bU ; s(bU)).

Chaque simulation est constituée de 2000 tours ce qui permet une convergence de la variance avec une variation inférieure à 1 %.

3.2.4. Calcul avec prise en compte des erreurs aléatoires

Dans un second temps, des erreurs aléatoires ont été ajoutées dans les simulations de calcul de la référence avec pour objectifs de :

- simuler des erreurs aléatoires expérimentales sur les données instantanées de débit Qi et

de turbidité Ti,

- simuler l’impact des erreurs résiduelles des relations de calibration afin de vérifier si ces erreurs sont ou non significatives par rapport à la dispersion due aux données de calibration.

Ces simulations n’ont été effectuées que sur certains jeux de paramètres (paire QCB/MES essentiellement) et de façon séparée par rapport aux autres simulations. Le principe de simulation est le même pour la prise en compte des erreurs aléatoires expérimentales et des erreurs résiduelles. Les valeurs instantanées de débit Qi ou de turbidité Ti sont modifiées à

chaque tour de simulation par des tirages aléatoires dans des lois normales (Qi,m et Ti,m) centrées

sur la valeur mesurée et d’écart-type fixé.

- L’erreur sur le débit a été fixée comme un pourcentage fixe de la valeur mesurée. Plusieurs valeurs ont été testées (7,5 %, 15 %, 30 % et 50 %).

- L’erreur sur la turbidité a été fixée à 7 FAU d’après les résultats du chapitre 1. - L’impact des résidus a été évalué à partir des valeurs de variances liées des

régressions linéaires (Valeurs médianes et maximales du Tableau 29 dans le chapitre 9, paragraphe 1.1.1).

Les différentes simulations portent donc sur des tirages dans les lois normales suivantes.

- Erreur aléatoire expérimentale sur le débit : Qi,m~N(Qi; α.Qi) avec α=0,075 ; α=0,15 ;

α=0,3 et α=0,5

- Erreur aléatoire expérimentale sur la turbidité : Ti,m~N(Ti; 7)

Dans le document Apport de la mesure en continu pour la gestion de la qualité des effluents de temps de pluie en réseau d'assainissement (Page 174-179)