On considère T l’équation différentielle du second ordre :

3.

a) b − = − 1 +_su^{^}_)c− − 1 =_su^{^}_)c lim b − =

+∞ lim f_su^{^}_)cg = 0

+∞ donc la droite (D) d’équation = − 1 est une asymptote oblique à hY

en +∞.

b) Sur ln2 ; ∞ on a : b _su^{^}_)c 0 alors hY est au dessus de la droite (D) en ∞. 4.

a) ! <ln2b 1 1 ^ƒ_ccs^s_u^u_)c 1 f1 ^ƒ_ccs^s_u^u_)cg 1 f^{^}_c

|2|−2−1−|2|2|−2−11|−2b b) b ^ƒ_ccs^s_u^u_)c V ^ƒ_cW

s^u

cs^u)c ainsi lim b

∞ lim f_cs^s_u^u_)cg = 0

−∞ donc la droite ∆ d’équation = −^ƒ_c est une asymptote oblique à hY en −∞.

c) Sur −∞;ln2 on a : b _cs^s_u^u_)c 0 alors hY est au dessous de la droite ∆ en ∞. 5. ! <ln2b 1 _su)c^{^} _l^s_s^u)c_u)c^l)s_l^u

s^lu)vs^u'v)s^u

s^u)c^{l slu}_s^)õs_u)c^u'v_{l s}^__u)cl son signe dépend de P.

! −∞; 0 ¨ ln 4 ; +∞b 0 alors b est strictement croissante sur ∞; 0 et sur ln 4 ; ∞.

! 0;ln2 ¨ ln 2 ; ln 4b 0 alors b est strictement décroissante sur 0; ln 2 et sur ln 2 ; ln 4.

∞ 0 ln 2 ln 4 ∞

b

∞ n2 ž∞ ∞ž 0,88 n+∞

6. Tracer (D) ; (∆) et , (unité graphique 2 cm)

C. Soit ³ un nombre réel strictement négatif.

Sur −∞; ln2 on a : b _cs^su^u)c 0 1. Ž ˜ b ˆ_¼^m ˜ f_¼^m _cs^su^u)cg ˆ

U1

2 ln||^_ 2|_¼^m 1

2 ln|^¼ 2 Comme sur ∞; ln 2 on a : b _cs^s_u^u_)c 0 Alors U ^{^}_cln>2 |^¼?

»º 4Ucm^c 2 ln>2 |^¼?cm^c 2. lim »º

º ∞ lim¦2 ln>2 |^¼?cm^c¥ 2 ln 2 cm^c º −∞

Exercice 151 : BAC 2013 unité graphique 2cm.

A. On considère T l’équation différentielle du second ordre : ’’− ’+ = − + .

1. Vérifier que la fonction + définie sur IR par + = − + est une solution de T.

2.

a) Démontrer qu’une fonction & deux fois dérivable sur IR est solution de T si et seulement si la fonction & − + est solution de l’équation différentielle ê : ’’− ’+ = .

b) Résoudre l’équation ê dans IR.

c) En déduire l’ensemble des solutions de T. d) Déterminer la solution particulière de T vérifiant les conditions & = et &^@ = −. B. On considère la fonction numérique 8 définie sur IR par 8 = 5− .

1. Etudier les variations de 8 et dresser son tableau de variation.

2.

a) Montrer que l’équation 8 = admet une unique solution à.

b) Vérifier que , ð â 0,6.

c) En déduire le signe de 8 suivant les valeurs du réel .

C. Soit la fonction définie sur IR par = − 5− .

1. Montrer que ! −∞; +∞, ′ = 8. Dresser le tableau de variation de .

Page 154 sur 215 2. Montrer que la droite d’équation

= − + est asymptote à , en −∞. Préciser les positions relatives de , et .

3. Tracer et , (prendre à = , ðð).

4. Soit ³ un réel strictement négatif.

a) Calculer l’aire ´³ de la partie du plan comprise entrer la courbe , , la droite (D) et les droites = ³ et = .

b) Calculer la limite de ´³ en −∞. 5.

a) Montrer que la restriction de à −∞; est une bijection de −∞; sur un intervalle J que l’on précisera.

b) Tracer la courbe représentation U de la réciproque ,U de cette bijection sur le même graphique , .

Correction :

A. T : ’’− ’+ = − + .

1. ! IR, p = − + 1 E p = −1 E p = 0.

p ʏE p’’ −2p’ p 3 E 0 2 1 3 E 0 0, d’où ! IR p = − + 1 est une solution de E. 2.

a) ¶ ʏE ¶’’ −2¶’ ¶ 3 Or cette hypothèse sera vérifier à partir de :

& + ÊêE ¶ p’’ 2¶ p’

¶ p 0 ce qui donne

¶ 2¶ ¶ p 2p p Or p ʏE p’’ −2p’ p 3 donc ¶’’ 2¶’ ¶ 3 ce qui prouve que ¶ est une solution de l’équation T.

b) y^c 2y 1 y 1^c 0, a pour racine double 1. Les solutions de l’équation F sont de la forme donc A B|^_, où A et B sont des constantes réelles quelconques.

c) Les solutions de l’équation E sont de la forme

¶ A B|^_ 1, où A et B sont des constantes réelles quelconques.

d) ! IR, ¶ = A + B|^_− + 1

! IR, ¶ = A + B + B|^_− 1

la solution particulière de E vérifiant les conditions F ¶0 = 0¶^@0 = −1D E Z A + 1 = 0A + B − 1 = −1DE ZA = −1B = 1 D

! IR, ¶ = −1 + |^_− + 1

! IR, ¶ = −1 − |^_+ 1 −

! IR, ¶ = 1 − 1 − |^_

! IR, ¶ = x− 1|^_− 1 B. 8 = 5− .

1. variations de 8 : lim ¡ =

−∞ lim|^_− 1 = −1 −∞ et lim ¡ =

+∞ lim|^_− 1 = +∞

+∞ .

! IR, ¡ = + 1|^_, alors ¡ strictement décroissante sur −∞; −1 et ¡ est strictement croissante sur −1; +∞. ¡−1 = −1,367

−∞ −1 +∞

¡ − +

¡ −1 ž −1,367 n +∞

2.

a) ¡ est continue et strictement croissante sur

−1; +∞. Elle réalise une bijection de −1; +∞sur

−1,367; +∞. Or ¡−1. ¡+∞ 0 et 0

−1,367; +∞, donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires l’équation ¡ = 0 admet une unique solution â telle que ¡â = 0.

b) Vérifier que , ð â 0,6.

F ¡0,5 = −0,1756¡0,6 = 9,32. 10^)cD E F ¡0,5.¡0,6 0ˆ‰Š‹ ‰Š z , ð â 0,6D.

c) signe de 8 suivant les valeurs du réel −∞ â +∞

¡ − +

C. = − 5− .

1. ! −∞; +∞, b′ = |^_− 1 +

− 1|^_= |^_− 1 + |^_− |^_ = |^_− 1 = ¡. tableau de variation de :

! −∞; +∞, b′ = ¡ alors b strictement décroissante sur −∞; â et b est strictement croissante sur â; +∞.

lim b =

−∞ lim 4 −1 = +∞

−∞ et lim b =

+∞ lim|^_ = +∞

+∞

F¡â = â|^ï− 1 = 0 E â|^ï = 1 bâ = â − 1|^ï− 1 D E

bâ =2 |^ï â

∞ â ∞

b

b ∞ ž 5^à à n ∞ 2. limb

∞ lim−1 − |^_ = 0

−∞ , alors la droite D d’équation = − + 1 est asymptote oblique à hY en −∞.

positions relatives de , et .

! −∞; â, b − = −1 − |^_ 0 alors , est au-dessous de (D).

3. Tracer et , (prendre à = , ðð)

Page 155 sur 215 4. Soit ³ un réel strictement négatif.

b − = −1 − |^_0 E 1 |^_ 0. a) ´³ } ˜ 1 |_³ ^_ˆ ‹±^c= V1 −

|³³³³++++³³³³|ˆ}}}}‹±2====}}}}2−|³³³³‹±2====

´³ = ¦² − }2 − º|^¼¥‹±^c b) lim ´³ =

º −∞ lim¦² − }2 − º|^¼¥ = 8 ‹±^c º −∞ . 5.

a) b est continue et strictement décroissante sur I = −∞; 0. Elle réalise une bijection de I vers J = 0; +∞.

b) Voir le graphique de ,U en trait discontinue.

Problème 152 : BAC 2012 unité graphique 2cm.

A. On considère T l’équation différentielle du second ordre : ’’+ ’− = −5.

1. Déterminer le réel pour que la fonction + définie sur IR par + = 5 soit solution de T, l’équation différentielle.

2.

a) Démontrer qu’une fonction & deux fois dérivable sur IR est solution de T si et seulement si la fonction & − + est solution de l’équation différentielle ê : ’’+ ’− = .

b) Résoudre l’équation ê dans IR.

c) En déduire l’ensemble des solutions de T. d) Déterminer la solution particulière de T vérifiant les conditions & = et & = . B. Soit la fonction définie par : = − 5.

1.

a) Déterminer les limites de sur . b) Etudier le sens de variations de .

c) Dresser le tableau de variation de . 2. Déterminer l’équation de la tangente T à , au point d’abscisse = −.

3. Tracer , et T.

4. Soit à est un nombre supérieur à . a) Calculer l’aire ´à de la région du plan limitée par la courbe , , l’axe des abscisses et les droites = et = à.

b) Calculer la limite de ´à en +∞.

5. Soit la restriction de sur % = −∞; . a) Montrer que est une bijection de I vers J que l’on précisera.

b) Tracer , .

6. Déterminer graphiquement, suivant les valeurs de réel ­, le nombre de points

d’intersections de , avec la droite ­ d’équation = ­.

Correction :

A. T : ’’+ ’− = −5. ê : ’’+ ’− = .

1. ! IR, p = z|^_ E p = z + 1|^_ E p = z + 2|^_.

p ʏE p’’ + p’ − 2p = z +

1|+z+2|⁻2z|=⁻3|Ez2+3−2=−3Ez

= −1,

d’où ! IR p = −|^_. 2.

a) ¶ ʏ E ¶’’ + ¶’ − 2¶ = −3|^_ Or cette hypothèse sera vérifier à partir de :

& − + ÊêE ¶ − p’’ + ¶ − p’ − 2¶ − p =0 ce qui donne

¶’’ ¶’ 2¶ = p’’ + p’ − 2p Or p ʏE p’’ + p’ − 2p = −3|^_ donc ¶’’ + ¶’ −2¶ = −3|^_ ce qui prouve que ¶ est une solution de l’équation T.

b) Résoudre l’équation ê dans IR.

L’équation caractéristique y^c y 2 =0, ∆ 9, a pour racines 2 et 1. Les solutions de l’équation F sont donc =A|^_ B|^)c_, où A et B sont des constantes réelles quelconques.

c) l’ensemble des solutions de T : Les solutions de l’équation E sont de la forme

¶ A |^_ B|^)c_, où A et B sont des constantes réelles quelconques.

d) ! IR, ¶ = A − |^_+ B|^)c_

! IR, ¶ = A − − 1|^_− 2B|^)c_

Page 156 sur 215 la solution particulière de E vérifiant les conditions

F¶0 1

¶0 0D E Z A B 1A 2B 1D E ZA 1B 0D est : ! IR, ¶ = 1 − |^_.

B. = − 5= 5− 5. 1.

a) lim b =

−∞ lim|^_− |^_ = 0 −∞ et lim b =

+∞ lim1 − |^_ = −∞

+∞ .

b) ! IR, b = −|^_ alors b strictement croissante sur −∞; 0 et b est strictement décroissante sur 0; +∞.

c) Dressons le tableau de variation de . −∞ 0 +∞

b + −

b 0 n 1 ž −∞

2. équation de la tangente au point − : T : = b−1 + 1 + b−1 = |^{)^} + 3|^{)^}. 3. , en trait plein et T

4. â 1.

a) »â = − ˜ bˆ 4 }‹±_^^{ï c}=

}‹±^c˜ |_^^{ï _}− |^_ˆ= −2|^__^^ï}‹±^c â 2|^ï |}‹±^c.

b) lim ȉ

â ∞ limâ −2|^ï | ∞ ∞ . 5. b^ de b sur I = −∞; 0.

a) b^ est continue et strictement croissante sur I = −∞; 0. Elle réalise une bijection de I vers J = 0; 1.

b) , ^A en trait pointé, voir graphique.

6. FD;‘‘P D; ‘ hY D.

• ± −∞; 0, il y a un seul point d’intersection ;

• ± 0; 1, il y a deux points d’intersection ;

• ± = 1, il y a un seul point d’intersection ;

• ± 1; +∞, il y a aucun point d’intersection ;

Problème 153 : unité graphique 3 cm.

A.

1. Résoudre T l’équation différentielle du second ordre : ’’− „ ’+ ð = .

2. On lance trois (3) fois un dé dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On appelle , et ¬ les résultats des premier, deuxième et troisième jets du dé. Quelle est la probabilité pour que les solutions de l’équation différentielle:ê ’’+ ’+ ¬ = soient les fonctions de la forme :

a) H + I5^[. b) H5^[+ I5^[

c) Hq’“” + I“U”5^à. B. Soit la fonction définie par : = | + |5^).

1.

a) Etudier la continuité et la dérivabilité de en

−. Interpréter graphiquement ce résultat.

b) Déterminer les limites de sur . c) Etudier le sens de variations de . d) Dresser le tableau de variation de . 2.

a) Montrer que la restriction de à g−_; +∞f admet une bijection réciproque .

b) Tracer , et , .

3. Soit ³ est réel positif tel que ³ −1.

a) Calculer en ¬­ l’aire ´³ délimitée par la courbe , et les droites d’équations = − et = ³.

b) Calculer ´³

³ +∞ .

C. On suppose que = + 5^).

1. Soit 899S la suite arithmétique de raison [ telle que pour tout 9, 8₉< − et ý_99S la suite numérique définie par : ! 9 Sý9= ⁸₈ ⁹

9'. a) Démontrer que ý_99S est une suite géométrique de raison /, qu’on exprimera en fonction de [.

b) Discuter suivant les valeurs de [ la limite de la suite ý_99S.

c) Calculer en fonction de 8 et de 9 la somme

™,9= ⁸₈

'+ ⁸₈

'+ š + ⁸₈ ⁹

9' et discuter suivant les valeurs de [ la limite de la suite >™,9?_9S. 2. On donne 8=_ et [=_.

a) Exprimer ý9 puis ™,9 en fonction de 9. b) Calculer ý9

9 +∞ et ™,9

9 +∞ .

Page 157 sur 215 Correction : unité graphique 3 cm.

A.

1. E’’− 6’+ 5 =0 E•: y^c 6y 5 0

∆ 36 20 16 E √∆ 4 ; Fy^{^} 1

yc 5D les solutions de généraleE sont de la forme : y A|^_ B|^õ_. 2. la probabilité pour que les solutions

de:ê ’’ ’ ¬ soient les fonctions de la forme : triplet , , ¬

T_q: zy^c ßy ‹ 0, ∆ ß^c 4z‹, ‹zyˆΩ 6^ƒ Les différentes valeurs de }¬ :

} ¬ 1 2 3 4 5 6

4 4 8 12 16 20 24

8 8 16 24 32 40 48

12 12 24 36 48 60 72

16 16 32 48 64 80 96

20 20 40 60 80 100 120

24 24 48 72 96 120 144

Les différentes valeurs de :

1 4 9 16 25 36

Dans le document Volume II (Page 153-157)