On considère T l’équation différentielle du premier ordre :

1. Démontrer que la fonction + définie sur IR par + = 5 soit solution de T.

2.

a) Démontrer qu’une fonction une fois dérivable sur IR est solution de T si et seulement si la fonction & = − + est solution de l’équation différentielle ê : ’− = .

b) Réciproquement, montrer que si une fonction

& est solution de (F) alors la fonction = + + & est solution de (E).

c) Résoudre l’équation ê dans IR.

d) En déduire l’ensemble des solutions de T. e) Déterminer la solution particulière de T vérifiant = .

B. Soit & la fonction définies par :

& = F + 5 Ä

√ + Ä 0 D.

1. Etudier la continuité et la dérivabilité de & en . Interpréter graphiquement ce résultat.

2. Déterminer les limites de &sur &. 3. Etudier le sens de variations de &. 4. Dresser le tableau de variation de &. 5. Tracer ,&(étudier les branches infinies).

Correction :

A. T : ’− = 5. ê : ’− = .

1. ∀ ∈ IR, p = |^c_ E p′ = 2 +1|^c_. p ʏ E p’ − 2p = 2 +1|^c_ 2|^c_ |^c_ 0.

Donc p ʏ. 2.

a) Démontrons que 1 fois dérivable sur IR est solution de T E& = − + est solution de ê : b ʏE b’ −2b |^c_ ; p ʏE

p’ − 2p = |^c_. En soustrayant membre à membre, on a b − p’ − 2b − p = 0, or

¶ = b − p ∈ ʦE ¶’ − 2¶ = 0, alors b ∈ ʏ.

b) Réciproquement, montrer que si une fonction

& est solution de (F) alors la fonction = + + & est solution de (E). ¶ ∈ ʦE ¶′ − 2¶ = 0 et p ∈ ʏE p’ − 2p = + 6. En ajoutant membre à membre, on a p + ¶’ − 2p +

¶ = |^c_, or b = p + ¶ ∈ ʏE b’ − 2b = |^c_, alors ¶ ∈ ʦ.

c) Résoudre l’équation ê dans IR.

Les solutions de l’équation F sont donc ¶ = A|^c_, où A est constante réelle quelconque.

d) l’ensemble des solutions de T : Les solutions de l’équation E sont de la forme b = A|^c_+ |^c_, où A est constante réelle quelconque.

e) ∀ ∈ IR, b = A|^c_+ |^c_

b0 = A|^m+ 0 4 |^m =1 E A 1.

! ∈ IR, b = +1|^c_. B. & = F + 5 Ä

√ + Ä 0 D

1. la continuité et la dérivabilité de & en : lim ¶ =

0⁾ lim +1|^c_ 1 0⁾ et lim ¶ =

0^' lim¦√ +1¥ 1

0^' alors ¶ est continue en 0.

µ_)µm

_)m =^{√_'^)^}_{_} =_{√_'^'^}^{^} .

∀ 0, ¶^@ = + 2|^c_

lim^µ_)µm_{_)m} = 0^'

lim f_{√_'^'^}^{^} g =^{^}_c 0^' et lim^µ_)µm_{_)m} =

0⁾ ¶ˆ′0 = 2, comme ¶p′0 < ¶ˆ′0 alors ¶ n’est pas dérivable en 0. par conséquent h_µ admet en ce point 2 deux demi-tangentes. Ce point est anguleux.

2. limites de & sur &. lim ¶ =

−∞ lim +1|^c_ 0 ∞ et lim ¶ =

+∞ lim¦√ +1¥ ∞ ∞ 3. sens de variation de &.

∀ 0, ¶′ =_{c√_'^}^{^} ; donc ¶ est strictement croissante sur 0; +∞.

∀ 0, ¶^@ = + 2|^c_, donc ¶ est strictement décroissante sur −∞; −2 et ¶ est croissante sur

−2; 0.

Page 182 sur 215 4. tableau de variation de &.

−∞ −2 0 ∞

¶

¶ 0 ž |^)v n 1 n ∞ 5. Construire la courbe ,&.

Problème 175 :

A. On considère T l’équation différentielle du premier ordre : ’− =⁵.

1. Démontrer que la fonction + définie sur

; +∞ par + =⁵ soit solution de T. 2.

a) Démontrer qu’une fonction une fois dérivable sur ; +∞ est solution de T si et seulement si la fonction & = − + est solution de l’équation différentielle ê : ’− = .

b) Résoudre l’équation ê dans IR.

c) En déduire l’ensemble des solutions de T. B. Pour tout réel ­ négatif ou nul, on considère

­ la fonction définie sur ; +∞ par :

­ =^­) . 5.

1. Déterminer les limites de _­sur ; +∞. 2. Etudier le sens de variations de _­. 3. Dresser le tableau de variation de _­. 4. Tracer , _­(étudier les branches infinies).

Correction :

C. T : ’− = 5. ê : ’− = .

3. ∀ ∈ IR, p = |^c_ E p′ = 2 +1|^c_. p Ê_E p’ − 2p = 2 +1|^c_ 2|^c_ |^c_ 0.

Donc p ʏ. 4.

a) Démontrons que 1 fois dérivable sur IR est solution de T E& = − + est solution de ê : b ʏE b’ −2b |^c_ ; p Ê_E p’ − 2p = |^c_. En soustrayant membre à membre, on a b − p’ − 2b − p = 0, or

¶ = b − p ∈ ʦE ¶’ − 2¶ = 0, alors b ∈ ʏ.

b) Réciproquement, montrer que si une fonction

& est solution de (F) alors la fonction = + + & est solution de (E). ¶ ∈ ʦE ¶′ − 2¶ = 0 et p ∈ ʏE p’ − 2p = + 6. En ajoutant membre à membre, on a p + ¶’ − 2p +

¶ = |^c_, or b = p + ¶ ∈ ʏE b’ − 2b = |^c_ alors ¶ ∈ ʦ.

c) Résoudre l’équation ê dans IR.

Les solutions de l’équation F sont donc ¶ = A|^c_, où A est constante réelle quelconque.

d) l’ensemble des solutions de T : Les solutions de l’équation E sont de la forme b = A|^c_+ |^c_, où A est constante réelle quelconque.

e) ∀ ∈ IR, b = A|^c_+ |^c_

b0 = A|^m+ 0 4 |^m =1 E A 1.

! ∈ IR, b = +1|^c_. Problème 176 :

A. On considère T l’équation différentielle du second ordre : ^′′−  ’+ = 5^.

1. Démontrer que la fonction + définie sur IR par + = 5^ soit solution de T.

2.

a) Démontrer qu’une fonction deux fois dérivable sur IR est solution de T si et seulement si la fonction & = − + est solution de l’équation différentielle ê : ^′′−  ’+ = .

b) Réciproquement, montrer que si une fonction

& est solution de (F) alors la fonction = + + & est solution de (E).

c) Résoudre l’équation ê dans IR.

d) En déduire l’ensemble des solutions de T. e) Déterminer la solution particulière de T dont , passe par le point A;  et admet une tangente en cet point de coefficient directeur 2.

B. Soit la fonction définies par : = 5^+ ð5− 5.

1. Déterminer les limites de sur . 2. Etudier le sens de variations de . 3. Dresser le tableau de variation de . 4. Tracer , (étudier les branches infinies).

Correction :

A. T : ^′′−  ’+ = 5^. ê : ^′′−  ’+ = .

Page 183 sur 215 1. ! ∈ IR, p = |^ƒ_E p′ = 3|^ƒ_ E

p′′ = 9|^ƒ_. p ∈ ʏE p^@@− 3 p’+ 2p = 9 − 3 4 3|^ƒ_+ 2|^ƒ_= 2|^ƒ_ = 0.

Donc p ∈ ʏ. 2.

a) b ∈ ʏE b^@@ − 3b’ + 2b = 2|^ƒ_ ; p ∈ ʏE p^@@ − 3 p’ + 2p = 2|^ƒ_. En soustrayant membre à membre, on a b − p^@@ − 3b − p’ + 2b − p = 0, or ¶ = b − p ∈ ʦE ¶^@@ − 3¶’ + 2¶ = 0, alors b ∈ ʏ. b) ¶ ∈ ʦE ¶′′ − 3¶′ + 2¶ = 0 et p ∈ ʏE p^′′ − 3p’ + 2p = 2|^ƒ_. En ajoutant membre à membre, on a p + ¶^@@ − 3p + ¶’ + 2p + ¶ = 2|^ƒ_, or b =

p + ¶ ∈ ʏE b^@@ − 3b’ + 2b = 2|^ƒ_, alors ¶ ∈ ʦ.

c) Résoudre l’équation ê dans IR.

L’équation caractéristique est y^c− 3y + 2 = y − 2y − 1 0, les solutions de l’équation homogène sont ¶ A|^_ B|^c_.

d) l’ensemble des solutions de T : Les solutions de l’équation E sont de la forme b p ¶ |^ƒ_ A|^_ B|^c_, où A est constante réelle quelconque.

e) ! ∈ IR, b = |^ƒ_+ A|^_+ B|^c_, Au point A0; 3 on a : b0 = |^m+ A|^m+ B|^m= 3 E A + B = 2.

∀ ∈ IR, b′ = 3|^ƒ_+ A|^_+ 2B|^c_.

Tangente au point A : b′0 = 3|^m+ A|^m+ 2B|^m= 2 E A + 2B = −1 ; enfin on aura : Z A + B = 2A + 2B = −1D E Z A 5B 3D

! ∈ IR, b = |^ƒ_+ 5|^_− 3|^c_. B. = 5^+ ð5− 5. 1. limites de sur : lim b =

−∞ lim|^ƒ_+ 5|^_− 3|^c_ = 0 −∞ et lim b =

+∞ lim|^ƒ_+ 5|^_− 3|^c_ = +∞

+∞

2. sens de variations de : ∀ ∈ IR, b^@ =

|^_3|^c_− 6|^_+ 5 ; alors b est strictement croissante sur IR.

3. tableau de variation de . −∞ +∞

b′ +

b 0 n +∞

4. lim^Y__{_} =

+∞ lim f^s‚u'õs_{_}^u)ƒslug = +∞

+∞ , hY admet une branche parabolique de direction (Oy) en +∞.

Problème 177 :

A. On considère T l’équation différentielle du second ordre : ^′′+ ’+ = + − . 1. Déterminer les réels , et ¬ pour que la fonction + définie sur IR par + = + + ¬ soit solution de T.

2.

a) Démontrer qu’une fonction deux fois dérivable sur IR est solution de T si et seulement si la fonction & = − + est solution de l’équation différentielle ê : ^′′+ ’+ = .

b) Résoudre l’équation ê dans IR.

c) En déduire l’ensemble des solutions de T. d) Déterminer la solution particulière de T dont , passe par le point O et admet comme tangente en O la droite (Ox).

C. Soit et u les fonctions définies par : = 5+ − et

8 = + 5+ − .

1. Etudier les variations de 8 sur IR.

2. Calculer 8. En déduire le signe de 8 sur IR.

3. Déterminer les limites de sur . 4. Etudier le sens de variations de . 5. Dresser le tableau de variation de . 6. Construire la courbe , .

Correction :

A. T : ^′′+ ’+ = + − . ê : ^′′+ ’+ = .

1. ∀ ∈ IR, p = z^c+ ß + ‹ E p′ = 2z + ß E p′′ = 2z.

p ∈ ʏE p^@@ + 2p’ + p = 2z + 4z + 2ß + z^c+ ß + ‹ = ^c+ 2 − 2 E z =1, ß 2 et ‹ 0 d’où ! ∈ IR, p = ^c− 2.

2.

Page 184 sur 215 a) ¶ ʏE ¶^@@ 2¶’ ¶ ^c

2 2 ; p Ê_E p^′′ + 2p’ + p = ^c+ 2 − 2. En soustrayant membre à membre, on a

¶ − p^@@ + 2¶ − p’ + ¶ − p = 0, or

¶ − p ∈ ʦE ¶ − p^@@ + 2¶ − p’ +

¶ − p = 0, alors ¶ ∈ ʏ.

b) Résoudre l’équation ê dans IR.

Les solutions de l’équation F sont donc = A + B|^_.

c) l’ensemble des solutions de T : Les solutions de l’équation E sont de la forme

¶ = A + B|^_+ ^c− 2.

d) ∀ ∈ IR, ¶ = A + B|^_+ ^c− 2

¶0 = A 4 0 + B|^m+ 0^c− 2 4 0 = 0 E B = 0.

∀ ∈ IR, ¶′ = A + B + A|^_+ 2 − 2.

¶′0 = A 4 0 + B + A|^m+ 2 4 0 − 2 = 0 E B + A = 2 ; donc A = 2

B. = 5+ − et 8 = + 5+ − .

1. les variations de 8 sur IR :

∀ ∈ IR, ¡^@ = + 2|^_+1 E ¡^@@

3|^_; alors ¡ est strictement décroissante sur

∞; 3 et ¡ est strictement croissante sur 3; ∞ ; or ¡^@−3 = 0,95 0 ; donc ∀ ∈ IR,

¡^@ 0 alors ¡ est strictement croissante sur IR.

lim ¡ =

−∞ lim +1|^_ 1 ∞ ∞ et lim ¡ =

+∞ lim +1|^_ 1 ∞ ∞ . −∞ +∞

¡′ +

¡ −∞ n +∞

2. ¡0 = 0 +1|^m 0 1 0. le signe de 8 sur IR.

! ∈ −∞; 0, ¡ 0.

∀ ∈ 0; +∞, ¡ 0. 3. limites de sur : lim b =

−∞ lim2|^_+ ^c− 2 = +∞

−∞

lim b =

+∞ lim2|^_+ ^c− 2 = +∞

+∞

4. sens de variations de :

∀ ∈ IR, b^@ = 2¡ ; alors b est décroissante sur

−∞; 0 et b est strictement croissante sur 0; +∞. 5. tableau de variation de :

−∞ 0 +∞

b′ − +

b +∞ ž 0 n +∞

6. , en trait plein lim^Y__{_} =

”∞

lim2|^_+ − 2 = î∞

”∞ , hY admet une branche parabolique de direction (Oy) en ”∞.

Problème 178 : Soit un nombre réel. On considère la fonction définie sur IR par

= ¦− +  + + ¥5. A. (d’unité graphique 2 cm) 1. Soit le polynôme Ô défini par Ô = − + + .

Résoudre dans IR Ô = .

2. Etudier les limites de en −∞ et en +∞. 3. Montrer pour tout réel qu’il existe un point A commun à toutes les courbes , dont on

déterminera son coordonnée.

4. Montrer que ∀ ∈ IR ′ = Ô. 5. En déduire suivant les valeurs de , on prendra ; = 78 0, le sens de variation de sur IR. Pour chaque valeur de , dresser le tableau de variations de sur IR.

5. Construire les courbes , _A/; , et , _/. B. Soit ³ un réel tel que ³ 0.

a) Calculer en ¬­ l’aire ´³ de la région du plan délimitée par la courbe , , l’axe des abscisses et les droites d’équations = et = ³.

b) Calculer ´³

³ +∞ . Correction : un nombre réel

= ¦− +  + + ¥5. A.

1. Ô = − + + . Résoudre dans IR Ô = .

∆= z +1^c 4z z 1^{c @ Ý'^)Ý'^}_c 1 et ^{@@Ý'^'Ý)^}_c z

™_J‡ ~; 

Page 185 sur 215 2. limites de en ∞ et en ∞

lim b_Ý

∞ lim^c|^_ = 0 −∞ et lim bÝ =

+∞ lim^c|^_ = +∞

+∞

3. bÝ = bÝ'^ E − 2 = 0 E = 2 alors il existe un point A commun à toutes les courbes hY_f

dont de coordonnée 2; |^c. 4. ∀ ∈ IR bÝ′

= 2 − z − 3|^_+

^c− z + 3 + 2z + 3|^_ = ^c− z + 3 − 2 + 2z−z−3+3|=2−z+1+z|=©.|. Son signe dépend de ©.

• Pour

bÝ′ ©. |^_= −1 − z|^_ −∞ z 1 +∞

′ + − +

∀ ∈ −∞; z ¨ 1; +∞ bÝ′ 0 alors est strictement croissante sur −∞; z et sur 1; +∞.

∀ ∈ z; 1 bÝ′

0 alors est strictement décroissante sur z; 1.

bÝ1 = 1 + z| bÝz = 3 − z|^Ý −∞ z 1 +∞

′ + − +

0 n 3 − z|^Ý ž 1 + z| n +∞

• Pour = et = >−  + ?5 bm′

= − 1|^_

∀ ∈ −∞; 0 ¨ 1; +∞ bm′ 0 alors est strictement croissante sur −∞; 0 et sur 1; +∞.

∀ ∈ 0; 1 bm′ 0 alors est strictement décroissante sur 0; 1

−∞ 0 1 +∞

′ + − +

0 n 3 ž | n +∞

• Pour

bÝ′ = ©. |^_= −1 − z|^_ −∞ 1 z +∞

′ + − +

∀ ∈ −∞; 1 ¨ z; +∞ bÝ′ 0 alors est strictement croissante sur −∞; 1 et sur z; +∞.

∀ ∈ 1; z bÝ′

0 alors est strictement décroissante sur 1; z.

bÝz = 3 − z|^Ý bÝ1 = 1 + z|

−∞ 1 z +∞

′ + − +

0 n 1 + z| ž 3 − z|^Ý n +∞

5. Construire les courbes , _A/; , et , _/

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