Soit & , la fonction définie par :

b) lim¶ − =

+∞ lim f ₅g = 0

+∞ , donc la droite (d) d’équation = est asymptote à hµ en +∞.

∀ ∈ 0; +∞,, ¶ − =₅ , donc hµ est au-dessus de la droite (d) sur 0; +∞.

c) ∀ ∈ −∞; +∞, ¶^@ = + − 5⁾= 8 0 alors ¶ est strictement croissante sur IR.

−∞ +∞

¶^@ +

¶ −∞ n +∞

d) F¶2 = 4¶′2 = 0 T : D = 4.

3. Tracer la droite (d), la tangente T et ,&.

4. Soit la restriction de & à IR.

a) b est continue et strictement croissante sur IR.

Elle réalise une bijection de IR sur IR.

b) ⁾ est-elle dérivable en }? b2 = 4

A) ^A}

)} =

}

)

) = _B= +∞

donc

) n’est pas dérivable en }. c) Voir graphique ,_U. 6. ³ 0.

a) »º = ˜ ¶ − ˆ_m^¼ 4 4‹±^c=

˜ ¦5_m^{¼ )}¥ˆ4 4‹±^c= ¦− − 5⁾¥_m^¼4 4‹±^c=

= 4¦5− + ³5^)³¥‹±^c.

b) ´³ =

³ +∞ f4¦5− + ³5^)³¥g

³ +∞ = }5.

Problème 186 : unité graphique 2 cm.

A. Soit &, la fonction définie par :

&, = ⁵₅^'5₎^' avec , ∈ %“^¿.

1. Quel est l’ensemble de définition de &,? 2. Trouver les nombres réels et pour que la représentation graphique de &_, passe par le point HU ; et admette en ce point, une tangente parallèle à l’axe des abscisses.

B. On considère la fonction & définie par :

& = ⁵₅⁾⁵₎^'. 1.

a) Déterminer les limites de & sur &.

b) Montrer que ∀ ∈ &, & = 5− +₅₎. c) Montrer que ∀ ∈ &, & = 5− +₅ ⁵₎ . d) Dresser le tableau de variation & sur &. 2. Donner une équation de la tangente T à ,& au point d’abscisse U }.

3. Tracer la courbe ,& et la tangente T.

4. Soit la restriction de & à IR.

a) Montrer que à U  ; U „ est une bijection de U  ; U „ sur un ensemble à préciser.

b) Soit ⁾ la bijection réciproque de . Calculer

> ⁾?′V_W. Tracer la fonction réciproque notée ,U. 5. Calculer en ¬­ l’aire ´ de l’ensemble des points O; tels que : FU U „ & D.

Correction :

A. &, = ⁵₅^'5₎^' avec , ∈ %“^¿. 1. &_, = ~/ ∈, 5− < 0 = IR − ~0. 2. ∀ < 0

¶Ý,Þ′ = ^>cslu'Ýsu?s_s^{u)^)s}_u)^l^{u>slu'Ýsu'Þ?}

¶Ý,Þ′ = ^su>slu_s^)csu)^^u)Ý)Þ?l . C¶Ý,Þln 2 = 2

¶Ý,Þ′ln 2 = 0D E Z4 + 2z + ß = 2z + ß = 0 D E Zz = −2ß = 2 D. B. & = ⁵₅⁾⁵₎^'.

1.

a) Déterminer les limites de & sur &. lim ¶ =

0⁾ lim f ^slu_s^)csu)^^u'cg =_m^cA= −∞

0⁾ lim ¶ =

0^' lim f ^slu_s^)cs_u)^^u'cg =_m^c_€= +∞

0^'

Page 197 sur 215 lim ¶

∞ lim f ^slu_s^)cs_u)^^u'cg = −2 −∞

lim ¶ =

+∞ lim f ^s_s^luu = |^_g = +∞

+∞

b) ∀ < 0 ¶ = |^_−1 _su ^{^}_)^=

s^lu)s^u)s^u'^'^

s^u)^ = ^slu_s^)cs_u)^^u'c= ¶. c) ∀ < 0 ¶ = |^_− 2 +_s ^s_u)^^u =

s^lu)cs^u)s^u'c's^u

s^u)^ = ^slu_s^)cs_u)^^u'c= ¶.

d) Dresser le tableau de variation & sur &.

∀ < 0 ¶′ = |^_−_su ^s_)^^u _l= ^s_s^lu_u^s_)^^u)c_l

∀ ln 2 ¶′ 0 alors ¶ est strictement décroissante sur −∞; ln 2

∀ ln 2 ¶′ 0 alors ¶ est strictement croissante sur ln 2 ; +∞

−∞ ln 2 +∞

&^@ − − +

& −2 ž −∞ +∞ ž 2 n +∞

3. T à h_µ = ¶′ln 4 − ln 4 + ¶ln 4.

¶ln 4 =^{^m}_ƒ et &^@ln 4 =^ƒc_ T à hµ =^ƒc_ −^ƒc_ ln 4 +^{^m}_ƒ

4. Tracer la courbe ,& et la tangente T.

5. Soit la restriction de & à IR.

a) b est continue et strictement croissante sur ln 3 ; ln 6. Elle admet une bijection de ln 3 ; ln 6 sur f^õ_c; 4g.

b) Soit ⁾ la bijection réciproque de . On sait que Ïbln 4 = ¶ln 4 =^{^m}_ƒ

@ln 4 = &^@ln 4 =^ƒc_D b^{)^}′V^{^m}_ƒW _{@f AV}«

‚Wg _{B›œv ƒc}^. h_° voir graphique.

6. ! < 0 ¶ = |^_− 2 +_s ^s_u)^^u a pour primitive

∀ < 0 H = |^_− 2 + ln||^_−1|

U˜ ¶ˆ_›œ^{›œ Ð}_c H_›œ^{›œ Ð}_c = 4 − ln V^õ_W

» = 4U‹±^c 4 f4 ln V^õ_Wg ‹±^c. Problème 187 : unité graphique 2 cm.

1. Soit 8 la fonction définie par 8 _' U .

a) Calculer 8, étudier son signe et en déduire le sens de variations de la fonction 8. b) Calculer 8. En déduire le signe de 8. 2. On considère la fonction & définie par

& = 5⁾U + 5. a) Montrer que

! ∈ IR & =₅+ 5⁾U + 5⁾.

b) Calculer les limites de & aux bornes de son ensemble de définition et préciser les éventuelles asymptote à ,&.

c) Montrer que ∀ ∈ IR &′ = 85. 5⁾. En déduire le sens de variations de & et dresser son tableau de variations.

d) Tracer la courbe ,&.

Correction : unité graphique 2 cm.

1. 8 =_' − U + .

a) ∀ −18^@ _{' ' '}

! ∈ −1; 0, 8 alors ¡ est croissante sur 1; 0. Et ! ∈ 0; +∞ 8 alors ¡ est décroissante sur 0; +∞.

b) 8^@ = . ∀ ∈ −1; ∞, 8 . 2. & = 5⁾U + 5.

a) ! ∈ IR ¶ = |^)_ln1 |^)_|^_

|^)_ln|^_ |^)_ln1 |^)_

¶ _s^_u |^)_ln1 |^)_. b) lim ¶

∞ lim f ^U'5₅ g =

−∞ posons i = 5 alors Z −∞i 0 D, donc lim ¶ =

−∞ lim f ^U'6₆ g =1

i 0 d’où ,&

admet une asymptote horizontale d’équation = . lim ¶ =

+∞ lim f _s^__u+ |^)_ln1 |^)_g 0

∞ d’où ,&

admet une asymptote horizontale d’équation = . c) ∀ ∈ IR ¶^@ = −|^)_ln1 |^_

|^{)_ s}_^'s^u_u |^)_V_^'s^su_u ln1 |^_W ¡|^_. |^)_

son signe dépend de ¡|^_. Or la fonction

exponentielle est strictement positive sur IR et pour tout 0, 8 donc 8|^_ donc &

alors ¶ est strictement décroissante sur IR.

d) Tracer la courbe ,&.

Page 198 sur 215 Problème 188 : On considère la fonction ₉ définie

par : ₉ | 9|5^€A9 avec 9 %á.

1. Quel est l’ensemble de définition de ₉ ? en déduire les écritures de ₉ sans le symbole de la valeur absolue.

2. Montrer que ₉ admet un prolongement par continuité à gauche de 9. Déterminer les autres limites de ₉ sur ₉.

3. sens de variation de ₉:

a) Montrer que ! Š, ₉ ^)'9'₎₉ 5^€A9. En déduire son sens de variation.

b) Montrer que ! Š, ₉ = ⁾⁹⁾₎₉ 5^€A9. En déduire son sens de variation.

c) Dresser le tableau de variation de ₉. d) Tracer la courbe , .

Correction : ₉ = | − 9|5^A9€ avec 9 %á. 1. Dµ = ~/ %:, − Š< 0  = −∞; Š¨

Š; ∞.

écritures de ₉ sans le symbole sans valeur absolue

! ∞; Š, ₉ 95^€A9

! Š; ∞, ₉ 95^A9€ 2. limites de ₉ sur ₉:

lim 9

Š⁾ lim ¯5^9€A° = Š⁾

lim5⁾³ =0

Š⁾ donc bŸ

admet un prolongement par continuité à gauche de Š. lim 9

∞ lim¦5¥ ∞ ∞ ; lim 9

∞ lim¦5¥ ∞ ∞ ; et lim 9

Š^' lim ¯5^9€€° = Š^'

lim5^'3 = ê%

Š^' ; Posons i ^'₎₉E ^96'₆₎ E Z / Š6 / ∞^'D

! Š; ∞, ₉V^96'₆₎W ^9'₆₎₉5⁶ lim 9

Š^' lim f^9'₆₎₉5⁶g

i ∞ lim f⁵₆⁶g ∞ i ∞ . 3. Etudier le sens de variation de ₉. a) ! Š, ₉^@ 5^A9€_{_)Ÿ}^{)Ÿ)^}_l4 Š5^€A9 5^€A9V ^{)Ÿ)^}_{_)Ÿ}W ^)'9'₎₉ 5^€A9, Ô779 9 E 9 ∞ 9 9 ∞

9

9

9@

! Š, ₉^@ , alors ₉ est strictement décroissante sur ∞; 9.

b) ! Š, ₉^@ = 5^€A9+_{_)Ÿ}^{)Ÿ)^}_l× − Š5^€A9= 5^€A9V +^{)Ÿ)^}_{_)Ÿ}W =⁾⁹⁾₎₉ 5^€A9, Ô779 − 9 − = E = 9 + −∞ 9 9 + +∞

− 9 − + + − 9 − − − +

9@ + − +

! 9; 9 + , ₉^@ , alors ₉ est strictement décroissante sur 9; 9 + .

! 9 + ; +∞, ₉^@ , alors ₉ est strictement croissante sur 9 + ; +∞

c) tableau de variation de ₉:

99 + = 9 + 5= Ô −∞ 9 9 + +∞

9@ − − +

9 +∞ ž 0 +∞ ž © n +∞

d) Tracer la courbe , .

Problème 189 : Pour tout réel 9 strictement positif.

On considère ₉ la fonction définie sur l’intervalle

; +∞par ₉ = U5+ 9 − . y=1

C_h

2 3 4

-1

-2 0 1

1

x y

Cf1

20 30

-10 -20

20 30 40

-10

0 10

10

x y

Page 199 sur 215 D’unités graphiques : 5 cm sur l’axe des abscisses et

10 cm sur l’axe des ordonnées.

1. Montrer que, pour tout réel , ′9 =⁹⁾₅'9.

2. Étudier le sens de variation de la fonction sur l’intervalle ; +∞.

3. Montrer que = UV ₅W.

4. Déterminer les limites de la fonction , puis dresser le tableau de variations de la fonction sur l’intervalle ; ∞.

5. Montrer que pour tout réel sur l’intervalle

; ∞, on a ₉ ⁹₅.

6. Déterminer une équation de la tangente 9 à , ₉ au point O. Etudier la position relative de , ₉ par rapport à 9.

7. Soit ­ un nombre réel. Discuter suivant les valeurs de ­, le nombre de solutions de l'équation

9 ­.

8. Tracer les courbes , et , ainsi que leurs tangentes respectives et .

Correction : 90, ₉ U5 9 . 1. ! ∈ IR, b′Ÿ =_s^su^u'Ÿ_^'Ÿ −1 ^{Ÿ^)_}_{su'Ÿ_}. 2. ! 0, b^ ^)_

s^u'_, alors b^ est croissante sur 0; 1 et décroissante sur 0; ∞.

3. b^ ln f|^_V1 _s^__uWg ln V1 _s^__uW. 4. lim b^ = 0

+∞ et lim b^ = 0 0 . 0 1 +∞

b′^ + −

b_^ 0 n ln1 |^{)^} ž 0 5. bŸ ln f|^_V1 Š_s^__uWg ln V1 Š_s^__uW.

lim b_Ÿ = 0

+∞ et lim bŸ = 0 0 .

0 1 +∞

b′Ÿ + −

bŸ 0 n ln1 Š|^{)^} ž 0 6. Montrer que pour tout réel sur l’intervalle

; ∞, on a ₉ ⁹₅.

Sur 1; ∞, bŸ 0, donc bŸ est décroissante sur

1; ∞donc bŸ admet un maximum en 1 et pour tout x de [0 ; +∞[, bŸ bŸ1 . Soit bŸ lnV1 Š^{^}_sW. Pour tout réel a positif ou nul, ln(1 + a) z donc en particulier pour a = Š^{^}_s on a : ln V1 ^Ÿ_sW ^Ÿ_s, donc pour tout x de [0 ; +∞[, bŸ Ÿ

s .

7. TŸ : Š au point O. bŸ yŸ ln|^_ Š Š ln|^_ Š 1 Š donc hY_ø est au-dessous de TŸ.

8. Nombre de solution pour ₉ ­.

• Si ± 0, l’équation bŸ ± a une unique solution.

• Si 0 ± ln V1 ^Ÿ_sW, l’équation b_Ÿ ± a deux solutions, l'une dans [0; 1] et l'autre dans

1; ∞.

• Si ± ln V1 ^Ÿ_sW, l’équation bŸ ± a une unique solution qui est 1.

• Si ± ln V1 +^Ÿ_sW, l’équation bŸ = ± n'a pas de solutions.

9. , en trait continue et , en trait discontinue ; et .

Problème 190 : Soit _­ la fonction définie par : ­ =₅'­ avec le réel ­ non nul.

1. Soit 8_­ la fonction définie par 8­ = 5 − + ­.

2. Calculer 8­@ , étudier son signe et en déduire le sens de variations de la fonction 8_­. 3. Calculer 8­. En déduire le signe de 8­ pour ­ −1.

2.

1. Déterminer le domaine de définition de _­. 2. Etudier les limites de _­ sur _­.

3. Montrer que la droite ­ d’équation _­ est une asymptote oblique à , _­ en ∞. Etudier leur position relative.

4. On suppose que ­ 1.

a. Montrer que ! ∈ _­ ′_­ =₅^8­'­. En déduire le sens de variations de _­.

b. Tableau de variations de _­ sur _­. c. Tracer les courbes , _A et , _A et les droites ) et ).

Correction : _­ =₅'­ le réel ­ −1. A. Soit 8_­ la fonction définie par

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