Le marcheur est un système physique modèle intéressant en grande partie pour ses propriétés statistiques, ses observables moyennes par exemple. Nous avons essayé dans cette partie de construire un modèle statistique simpliĄé qui prend en compte les ingrédients essentiels de la complexité spatiotemporelle des marcheurs. Ce modèle repose sur une chaîne de sources orientées. Nous avons joué avec cet objet dans deux cas : en potentiel harmonique dans des conĄgurations circulaires et en le piégeant dans une fente.
Nous avons mis en évidence des comportements singuliers. Ce modèle statistique nŠa pas pour but de décrire la dynamique dŠun marcheur. Les marcheurs nŠont été Ąnalement quŠun moyen pour aller jouer avec des concepts et des classes de systèmes jusquŠalors inconnus. La chaîne ondulatoire est un exemple de système modèle possible et prometteur. Comme le marcheur, ce nouvel objet est capable de stocker et de relire de lŠinformation sous forme interférentielle ce qui lŠamène à sonder son environnement de manière singulière.
Annexes
Annexe A
Comment trouver un nombre inconnu de zéros dans le plan complexe ?
Trouver les zéros de F au chapitre 8 nŠest pas chose aisée, car on ne sait même pas combien de zéros il y a à chercher. Une méthode évaluant les zéros de manière asymptotique à faible rayon puis les traçant pas à pas lorsque les paramètres du système changent, avait été mise en place par Ozaet al. (83). Cela leur a permis dŠutiliser des méthodes itératives de Newton. Nous verrons que les pôles peuvent se croiser (du moins se tangenter) et quŠil nŠy a aucune assurance que tous les pôles soient des pôles simples. La méthode employée pour trouver les zéros de F fait lŠobjet de cette annexe A.
A.1 Principe de la méthode
Supposons une variable complexes dans un domaine S du plan complexe et F une fonction analytique surS. On appelle ∂S la frontière deS. On recherche s∗ ∈S tel que F(s∗) = 0. En principe un tel zéro peut être recherché comme une limite de lŠitération de Newton
si+1 =si− F(si)
F′(si) (A.1)
Cette méthode suppose dŠinitier la récurrence avec une valeur "pas trop éloignée" de la valeur attendue.
Dans le cas où le nombre de zéros à rechercher est inconnu, cette méthode est inadaptée. Or cŠest une méthode de la même nature qui est implémentée dans la plupart des logiciels de calculs numériques comme Matlab. Il faut donc ruser un peu et adopter un stratagème plus artisanal mis au point par Delveset Lyness (149) et perfectionné par la suite (150; 151). La méthode se décline comme suit.
On se donne un ensemble de zéros¶sk♦k=1...N dans S (i.e.F(sk) = 0). Leur nombre N est une inconnue du problème. Supposons un instant que lŠon soit en mesure de construire le polynôme de degréN
P(s) = N
k=1
(s−sk). (A.2)
Le problème de recherche des zéros deF serait alors ramené à la recherche des racines de P, moyennant la connaissance de N. Il existe dŠautres méthodes numériques Ąables, sans présupposition de valeurs initiales pour rechercher les racines dŠun polynôme de degré N; le problème numérique serait alors résolu. Il reste donc à savoir construire le polynômeP et à déterminerN. La méthode parait étrange au premier abord et on peut se demander comment construire un tel polynômeP. Pour cela on commence
158 Annexe A. Trouver des zéros complexes
Chacun des coeicients Aj est lié aux polynômes symétriques de Newton Sj =Nk=1sjk par les identités de Girard-Newton (152)
Il suit donc de trouver une méthode numérique pour déterminer chacun des (Sj)j=1...N. Pour cela il suit de remarquer que
Ce résultat découle directement du théorème des résidus. Il assez facile de se convaincre que le degré du polynôme vaut
N =S0. (A.6)
En pratique, il sŠagit donc de faire le chemin inverse. On déĄnit un contour pertinent sur lequel on évalue numériquement les intégrales Sj à partir de lŠéquation A.5. LŠordre du polynôme N =S0 nous donne le nombre deSj à calculer. On calcule ensuite lesAj de manière récursive à lŠaide des relations A.4. Cela nous permet de construire le polynôme P(s) (Eq. A.3) et de trouver ses racines¶sk♦k=1...N.
On se propose dŠévaluer la précision cette méthode avec des fonctions dont les zéros sont connus. Nu-mériquement, on sent bien que la précision va dépendre du maillage du contour ∂S. On se donne une fonction f test ayant trois zéros s1 = 1/4(1 +i), s2 = 1/2(1 + i) et s3 = 3/4(1 + i), par exemple f(s) = (s−s1)(s−s2)(s−s3) et lŠon va tester la prédiction de la méthode. Dans la pratique,f peut être une fonction compliquée et on veut juste estimer avec cet exemple simple la précision de la méthode.
On déĄnit le contour comme un carré englobant les trois zéros (Fig. A.1-a).
La Ągure A.1-b calcule la précision de S0 trouvée numériquement en fonction du nombre de points maillant le contour. Dans cet exemple, il y a 3 racines, donc on cherche à évaluer♣S0−3♣ . Ce nombre trouvé doit être un entier. Un écart signiĄcatif entre la valeur trouvée et sa partie entière est le signe quŠun problème numérique serait apparu. En pratique, il peut y avoir deux sources dŠerreurs :
• le maillage utilisé nŠest pas assez Ąn.
• un des zéros est trop proche du contour.
La Ągure A.1-c calcule lŠerreur commise lors de la recherche numérique des zéros. Dans la suite, nous maillerons les contours avec au moins 2000 points, ce qui garantit une erreur relative de lŠordre de 10−4.
Annexe A. Trouver des zéros complexes 159
Figure A.1Ű Test de la précision de méthode de Delveset Lyness sur une fonction testf. (a) Nous déĄnissons le contour qui englobe les 3 zéros recherchés. (b) Précision de la méthode pour trouver le nombre de zéro : le calcul de lŠintégrale de countourS0 fournit le nombre de zéros avec une précision dépendant du nombre de points utilisés pour mailler le contour. (c) Précision de la méthode pour trouver la position de chaque zéro en fonction du nombre de points utilisés pour mailler le contour.2000points pour mailler le contour sŠavère amplement suisament pour la suite. Cela fournit une idée de la précision et donc de la limite de la méthode.