Agir sur la goutte

Une autre manière dŠinĆuer sur le marcheur est dŠappliquer une force sur la goutte. Cependant, appliquer une force sur une goutte millimétrique nŠest pas chose aisée. La stratégie mise en œuvre par Antonin Eddi durant sa thèse (62; 15) a consisté à mettre le bain en rotation (Fig. 2.5-a). Dan Harriset al. ont conĄrmé ses résultats et exploré les régimes de très haute mémoire (82). La première étude théorique et numérique est due à Emmanuel Fort (62). LŠétude théorique a été poursuivie et achevée durant la thèse dŠAnand Oza (83). Le but de cette partie résume les principaux résultats obtenus lors de la mise en rotation du bain et souligne lŠimportance de la mémoire.

Résultats expérimentaux et théoriques

La position du centre de masse de la goutte est repérée dans le référentiel en rotation, par rapport à lŠaxe de rotation du bain, par le vecteur position r_N (N désignant le N-ième rebond) et son vecteur vitesse dans le référentiel tournant par V(tN) = (rN −r_N−1)/TF. La vitesse angulaire de rotation du bain est notée Ω. La goutte subit en principe deux forces, la force centrifuge et la force de Coriolis. Le bain ressent principalement les efets de la force centrifuge. Son interface adopte un proĄl parabolique, ce qui compense la force centrifuge que subit la goutte. La goutte ne ressent donc en pratique que lŠefet de la force de Coriolis en −2mwΩ∧V. On suppose que le processus de création dŠondes stationnaires à chaque rebond reste inchangé.

Figure 2.5Ű a) Schéma de la mise en rotation du bain. b) Évolution du rayon de lŠorbite à basse mémoire. c) QuantiĄcation des rayons à haute mémoire. b)-c)·, points expérimentaux. Ligne noire, courbe théoriqueR=V /2Ω. Ligne ajustement de la loiR=aV /2Ωaveca= 1.45 DŠaprès (62).

À basse mémoire et dans le référentiel tournant, le marcheur suit une trajectoire circulaire de rayon R avec une vitesse constante V. Son rayon varie continument en fonction de la vitesse de rotation du bain Ω. La loi dŠévolution peut être prédite en égalant la force de Coriolis (transverse à la trajectoire)

−2mwΩV et lŠaccélération centripète−mwV²/R ce qui donne R =a V

2Ω (2.2)

Cette loi dŠéchelle rend compte des efets principaux à basse mémoire : elle est en bon accord avec les résultats expérimentaux (Fig. 2.5-b).a≃1,2−1,5 le calcul du préfacteur correctif a été obtenu de façon

2.1. État de l’art expérimental 27 théorique par A. Oza et al. (83) et provient nécessairement des ondes. Même à basse mémoire, on ne peut jamais tout à fait négliger la force normale due au champ dŠondes, ce qui rajoute une composante centrifuge additionnelle dans le bilan de force normale.

Figure 2.6Ű a) Prédiction théoriques et comparaison avec les points expérimentaux. À haute mémoire, les rayons se quantiĄent. b) Diagramme théorique de stabilité orbitale : états stables (bleu), instabilité de fréquence nulle (rouge), instabilité oscillante (vert). DŠaprès (62; 83).

Lorsque la mémoire du système augmente (Fig. 2.5-c), lŠévolution du rayon de lŠorbite nŠest plus continue avec la vitesse de rotation du bain et seul un ensemble discret de rayons devient accessible au système.

Une analogie avec les niveaux de Landau a été proposée (62) et ce en raison de lŠanalogie formelle quŠil y a entre la force de Coriolis −2mwΩ∧V et la force de Lorentz −eV∧B que subit un électron de charge −e dans un champ magnétique uniforme B. Le traitement semi-classique du problème (84) prévoit que les orbites de lŠélectron sont quantiĄées. Les deux quantiĄcations sont alors analogues pourvu que lŠon assimile la longueur de Faradayλ_F à la longueur dŠonde de de Broglieλ_dB. On peut prédire la quantiĄcation des rayons en considérant la force normale induite par les ondes. LesM sources secondaires actives sont alors distribuées sur un cercle de rayon R. Chacune dŠentre elles induit une force propre via le champ dŠonde de surface. Par symétrie, à lŠordre dominant (O(M)), la composante tangentielle de cette force propre est compensée par la force tangentielle due à la source secondaire symétriquement opposée, si bien que la résultante des forces est principalement perpendiculaire à la goutte et sŠécrit donc à lŠordre dominant

F_w.e_θ ≃CMcos(2kFR) +O

 1 M

 (2.3)

Nous notons ˜C =C/mw. Le bilan mécanique normal devient

−V²

R = 2ΩV −MC˜cos(2kFR) (2.4)

ce qui rend compte des résultats expérimentaux (Fig 2.6-a). Lorsque M devient grand, les solutions se concentrent autour de cos(2kFR)≃0, i.e. Rp/λF = 1/8 + (p−1)/4. Pour des raisons de stabilité (voir ci-dessous), seules les solutions paires Rn/λF = 1/8 + (2n−1)/4 sont observées. Ce résultat peut être retrouvé en considérant le champ de surface créé par les sources distribuées sur une orbite de rayon R.

A. Oza et al. (83) ont montré que les forces de surface peuvent être exprimées en intégrant les ondes laissées dans le passé

où ω = V /R dénote la vitesse angulaire. La force normale due aux ondes F_w.e_θ, peut sŠexprimer de manière asymptotique

F_w.e_θ ≃ −CM π

cos 2kFR

2kFR , M ≫1 (2.6)

28 Chapitre 2. Dualité onde-corpuscule LŠoriginalité du travail efectué par A. Oza tient surtout en lŠétude de la stabilité du système (83). Une

Figure 2.7Ű Efet de quantiĄcation statistique à haute mémoire dŠun système chaotique. a) b) et c) statistique de rayon de courbure correspondant aux coupes sur la Ągure d). d) Distribution des rayons de courbureR/λFen fonction la vitesse angulaire du bainΩ. Les couleurs indiquent lŠintensité de la distribution (en intensité croissante du plus sombre au plus clair)DŠaprès (82).

étude de stabilité linéaire a permis de délimiter les plages de stabilité des orbites circulaires et ce en bonne cohérence avec les données expérimentales. La démarche est la suivante : i) linéarisation autour dŠun cercle de rayonR et de vitesse angulaireω; ii) transformation de Laplace du système dŠéquations linéarisées ; iii) étude des pôles s du système. On peut alors classiĄer les instabilités selon les valeurs de la partie réelle des :

• Re(s)<0 le système est linéairement stable.

• Re(s) = 0 et Im(s) = 0, le rayon diverge sans oscillation. Le système est linéairement instable.

• Re(s) = 0 et Im(s)̸= 0, le rayon diverge en oscillant. Le système est linéairement instable.

Le diagramme de stabilité ainsi obtenu semble montrer que les orbites circulaires sont instables à haute mémoire. Dan Harris sŠest intéressé au comportement du marcheur dans ce régime. Son montage expé-rimental permet de découpler le bain du pot vibrant (85; 86) et ainsi dŠatteindre des régimes de haute mémoire avec une précision accrue. À partir dŠune orbite stable à mémoire intermédiaire, la mémoire est montée progressivement : le système devient peu à peu chaotique et la trajectoire complexe. Cependant les histogrammes des rayons de courbures tracés sur les Ągures 2.7-a à 2.7-c, présentent des maxima bien localisés autours de Rn/λF. Cela a été interprété comme lŠefet de lŠempreinte des attracteurs sur la dynamique et suggère que ces attracteurs sont des propriétés intrinsèques du champ dŠonde. Comme montré par la Ągure 2.7-d, les attracteurs déĄnis dans les cas stables sont les seuls à être visités lorsque le système devient chaotique. Dans le langage des théories sur la géométrie du chaos, développées par de M. Guztwiller et P. Cvitanović, on peut dire que lŠon observe le "squelette rigide" de la dynamique (87).

Remarques

Au-delà de la valeur exacte du pré-facteur a, il est intéressant de noter que a dépend de la masse Mg. Il est a priori surprenant quŠune dépendance à la masse de la goutte intervienne alors que la mise en rotation du bain nŠopère quŠun simple changement de référentiel. Ceci vient du fait que le référentiel

2.2. Quelques propriétés notables des solutions de l’équation de Helmholtz 29 privilégié des ondes reste statique par rapport au bain. Cet efet est dŠautant plus marqué que la mémoire est élevée.

Il est intéressant de discuter le passage entre lŠapproche discrète (E. Fort et al. (62)) et sa traduction continue (Oza et al. (59)). La théorie continue semble être proche de lŠapproche discrète et des expériences numériques de mémoire de chemin développées par E. Fort et décrites en détails dans le chap. 3. Les travaux de J. Moláček et dŠA. Oza ont permis de calculer les préfacteurs de couplage et de dissipation. Néanmoins il faut garder à lŠesprit que les systèmes dynamiques discrets peuvent présenter des comportements radicalement difé-rents de leur transposition continue. On pourra par exemple citer la suite logistiquexn+1 =axn(1−xn) dont le comportement peut être chaotique, tandis que sa version continue ˙x = (a −1)x−ax² étant unidimensionnelle, ne peut être chaotique. Tant que les trajectoires expérimentales étudiées restent ré-gulières, ce débat nŠa pas forcément lieu dŠêtre. Il faut néanmoins rester prudent lorsque lŠon atteint des régimes chaotiques.