Dans ce chapitre, les principales m´ethodes constituant la chaˆıne de traitement pour les
ICMs bas´ees sur l’imagerie motrice ont ´et´e pr´esent´ees. La chaˆıne typique est princi-
palement constitu´ee de 4 blocs comme l’illustre la figure 3.12.
Figure 3.12 – Chaˆıne de traitement typique pour les ICMs bas´ees sur de l’imagerie motrice. • Filtrage fr´equentiel passe-bande pour se limiter aux fr´equences d’int´erˆet im-
3.4. CONCLUSIONS 57 • Filtrage spatial par CSP pour combiner les signaux dans l’optique d’en r´ehausser
les caract´eristiques spatiales. On utilise g´en´eralement 3 paires de filtres.
• Extraction de caract´eristiques par log-variance pour repr´esenter les r´ealisations
de chaque tˆache mentale `a classer.
• Classification par FLDA pour d´eterminer le type de tˆache mentale r´ealis´ee. Cette chaˆıne de traitement se fonde majoritairement sur l’hypoth`ese que les signaux
EEG suivent des lois normales multivari´ees conditionn´ees `a la classe. Ainsi, la CSP se
calcule par diagonalisation conjointe d’un jeu de matrices de covariance, ce qui est analogue `
a un probl`eme de s´eparation de sources. De mˆeme l’utilisation de la log-variance comme caract´eristique d´ecoule de la mˆeme hypoth`ese pour obtenir des distributions normales et appliquer une classification par LDA de mani`ere efficace.
Finalement, toutes ces op´erations permettent de repr´esenter, `a un haut niveau, les dis-
tributions que suivent les signaux EEG pendant la r´ealisation d’un mouvement imagin´e. Partant de cette hypoth`ese fondamentale, le chapitre suivant d´ecrira des m´ethodes fond´ees sur la g´eom´etrie Riemannienne dans le but de manipuler directement les lois nor- males multivari´ees.
Deuxi`eme partie
Contributions Algorithmiques
Chapitre 4
G´eom´etrie Riemannienne :
Approche fond´ee sur la distance
4.1
Introduction
4.1.1
La chaˆıne de traitement CSP revisit´ee
Prise dans son ensemble, l’extraction de caract´eristiques, pr´esent´ee dans le chapitre 3,
peut ˆetre vue comme un ensemble d’op´erations visant `a repr´esenter les matrices de covari-
ance estim´ees sur des portions de signal EEG dans un espace o`u elles seront class´ees par
un algorithme de l’´etat de l’art. En effet, l’extraction de caract´eristiques prend la forme suivante (3.19) :
vi= log�diag�WTΣiW�� (4.1)
o`u W est un ensemble de filtres spatiaux calcul´e par CSP et Σiest la matrice de covariance
estim´ee sur la portion de signal EEG Xi. La projection par CSP ram`ene l’ensemble des
informations utiles `a la discrimination des classes sur la diagonale de la matrice, qui peut donc ˆetre repr´esent´ee sans trop de pertes par un vecteur. L’application du logarithme assure ensuite que les donn´ees suivent une loi proche d’une loi normale et facilite donc l’emploi d’un classifieur lin´eaire.
Le vecteur virepr´esente donc la matrice de covariance Σi. Pour que cette repr´esentation
soit sans perte d’information sur la tˆache mentale, il faut respecter deux conditions : 1. Les filtres spatiaux sont efficaces. Le rˆole des filtres spatiaux est de s´eparer
l’information pertinente (utile `a la tˆache de classification) du bruit. Si cette s´eparation n’est pas efficace, on perd une partie de l’information qui ne pourra donc pas ˆetre exploit´ee par le classifieur. En pratique, on sera confront´e au probl`eme de robustesse dans le calcul de ces filtres, qui est directement li´e `a la qualit´e des donn´ees de la base d’apprentissage. En particulier si les donn´ees sont corrompues par un artefact, les filtres calcul´es seront biais´es et les caract´eristiques pr´esent´ees au classifieur ne seront pas pertinentes pour la s´eparation des classes.
2. La diagonalisation des matrices est parfaite. ´Etant donn´e que l’on utilise unique-
ment la variance des signaux, l’information contenue dans les ´el´ements hors diagonale sera perdue. La quantit´e d’information perdue d´epend grandement de la r´epartition
des donn´ees, et elle sera d’autant plus faible que les matrices Σi sont proches des
matrices de covariance intra-classes Σ(k).
Ces deux conditions n’´etant jamais v´erifi´ees dans la pratique, on s’attend donc `a une sous-exploitation de l’information contenue dans les matrices de covariance. Partant de ces constatations, ce document pr´esentera donc un ensemble de m´ethodes permettant d’ex- ploiter au mieux les informations contenues dans les matrices de covariance. Le gain attendu
est directement li´e `a la validit´e des deux conditions pr´esent´ees dans cette section. On s’at-
tend donc `a un gain important dans le cas multi-classe (o`u la diagonalisation des matrices
est moins efficace) et pour des donn´ees fortement bruit´ees (o`u les filtres ont tendance `a ˆetre
mal estim´es).
4.1.2
Formulation du probl`eme et approche suivie
On peut consid´erer les signaux EEG x(t) mesur´es `a chaque instant t comme ´etant la
r´ealisation d’un processus al´eatoire suivant une loi normale centr´ee1
N (0, Σ) de matrice de covariance spatiale Σ. En particulier, on peut consid´erer que le signal est stationnaire par
morceaux et que la r´ealisation d’une tˆache mentale induira une modification des param`etres
de cette loi. En d’autres termes, quand l’utilisateur effectue une tˆache mentale A, les signaux
EEG suivent pendant tout le temps de la r´ealisation de la tˆache mentale une loi NA =
N (0, ΣA) et quand il effectue une tˆache mentale B, les signaux EEG suivent une autre loi
NB = N (0, ΣB). C’est cette approche qui est `a la base de l’extension multiclasse de la
CSP [47, 48] pr´esent´ee section 3.2.4.
Suivant ce principe, la r´ealisation d’une tˆache mentale est enti`erement caract´eris´ee par la matrice de covariance estim´ee sur la portion temporelle de signal EEG correspondante.
La matrice de covariance peut donc ˆetre utilis´ee comme descripteur du signal EEG.
De plus on pourra noter que dans le cadre de l’imagerie motrice, outre le fait que le signal EEG est bruit´e et que ce bruit peut varier temporellement, l’utilisateur n’effectue pas
de mani`ere uniforme une mˆeme tˆache mentale `a travers ses diverses r´ealisations. Ainsi, dans
notre cas, pour deux r´ealisations de la mˆeme tˆache mentale A, les matrices de covariance
estim´ees ne seront pas identiques et ´egales `a ΣA et sont donc la r´ealisation d’un processus
al´eatoire, en toute vraisemblance, suivant une distribution de Wishart param´etr´ee par ΣA.
On pourra alors r´esumer notre probl´ematique ainsi :
Hypoth`ese. Lors de la r´ealisation d’une tˆache mentale de classe yid´emarrant au temps ti
et durant Nt´echantillons temporels, les signaux EEG suivent alors une loi normale centr´ee
Ni =N (0, Σi), la matrice de covariance Σi ´etant la r´ealisation d’un processus al´eatoire
conditionn´e par la classe yi.
Probl´ematique. Pour d´ecouvrir le type de tˆache mentale r´ealis´ee pendant une portion
de signal EEG, notre approche consiste `a estimer et classer la distribution Ni estim´ee sur
cette portion de signal. La distribution ´etant centr´ee, elle est uniquement param´etr´ee par la matrice de covariance. De mani`ere ´equivalente, on cherche donc `a estimer une fonction
de classification h qui relie la matrice de covariance d’une r´ealisation `a sa classe yi i.e. au
type de tˆache mentale r´ealis´ee :
yi= h(Σi) (4.2)
Afin de r´ealiser cette classification, il est donc n´ecessaire de d´efinir des outils permet- tant de comparer ces matrices de covariance. D’une mani`ere g´en´erale, classifier des donn´ees revient `a les comparer entre elles au sens d’une certaine m´etrique, `a rechercher leurs simi- larit´es ou divergences. Il convient donc d’utiliser la bonne m´etrique en lien avec la nature des donn´ees. La section suivante introduira les concepts de la g´eom´etrie de l’information, domaine en pleine expansion, qui s’attache `a appliquer une approche g´eom´etrique dans le cadre de la th´eorie de l’information.
4.1.3
Etat de l’art des approches similaires
Dans de nombreux domaines, les matrices de covariance sont utilis´ees dans des algo- rithmes tr`es divers. Ces matrices de covariance sont sym´etriques et, sauf cas particuliers, d´efinies positives (SPD). Elles appartiennent ainsi `a une vari´et´e Riemannienne particuli`ere. Toutefois, dans la plupart des cas, elles sont trait´ees avec des outils de la g´eom´etrie Euclidi- enne. La prise en compte de la topologie particuli`ere de l’espace des matrices SPD permet de manipuler ces matrices de mani`ere plus rigoureuse et apporte souvent une am´elioration significative des performances. Les concepts de g´eom´etrie Riemannienne pour l’espace des