FIGURE3.12 – Diagramme de stabilité kco = f (ψ), pour ǫ = 0.4, Le = 5, d = 5, δ = 1
3.4 Conclusion
Par une analyse de la stabilité linéaire dans le cas d’une cellule horizontale infinie, nous avons déterminé le nombre de Rayleigh critique associé au déclenchement de la convection thermo-solutale avec effet Soret en tenant compte de l’effet des parois. L’influence d’un facteur de sé-paration, ψ, négatif ou positif et l’importance du rôle de la porosité normalisée ont été étudiées théoriquement et numériquement dans ce chapitre.
Pour les bifurcations stationnaires, une relation de dispersion analytique donnant le nombre de Rayleigh critique et le nombre d’onde critique a été obtenu. Un très bon accord a été trouvé entre les valeurs critiques obtenues analytiquement et celles obtenues numériquement par la méthode spectrale Tau.
Pour les bifurcations de Hopf, les paramètres critiques dépendent fortement de la porosité nor-malisée. Le rôle que joue la porosité est très important. Lorsqu’elle diminue, la stabilité de la solution d’équilibre se trouve renforcée.
68 Prise en compte des caractéristiques thermiques et géométriques des parois
stationnaire pour ψ ∈ [ψH, +∞] et pour ψ ≤ ψH = −1
1 + (1 + 2dδ)Le via une bifurcation de Hopf pour toute la gamme de valeur de la porosité considérée.
Pour ψ ∈ [ψmono, +∞], les paramètres critiques associés à la transition primaire sont Racs = 12(1 + 2dδ)
1 + ψ(2Le dδ + Le + 1) et kcs = 0.
Pour une cellule chauffée par le haut, la solution d’équilibre est linéairement stable si ψ > 0, tandis que la première bifurcation est stationnaire si ψ < 0.
Chapitre 4
Prise en compte des caractéristiques
thermophysiques des parois sur la
séparation des constituants d’un mélange
binaire en milieu poreux
RÉSUMÉ
Cette partie du manuscrit fait état d’une étude analytique et numérique de l’effet des pa-rois, délimitant la couche poreuse sur la séparation des constituants d’un mélange binaire. Nous considérons une cavité horizontale poreuse chauffée par le bas et saturée par un mélange binaire. Cette cavité est délimitée par des plaques minces d’épaisseur uniforme, les surfaces extérieures sont soumises à un flux de chaleur constant. Nous montrons que la séparation des espèces dépend fortement du rapport de l’épaisseur des plaques et de l’épaisseur de la couche poreuse, et du rapport de leur conductivité thermique.
4.1 Introduction
Dans un mélange de fluides binaires soumis à un gradient thermique, la prise en compte de l’effet Soret induit un gradient de fraction massique. La diffusion thermogravitationnelle est la combinaison de la convection et de la thermodiffusion. Ce phénomène est utilisé pour la sé-paration des espèces dans les mélanges. L’intérêt considérable qui a été porté, ces dernières années, à la séparation thermogravitationnelle est dû principalement à sa présence dans plu-sieurs applications industrielles tels que : les procédés de séparation dans l’industrie chimique et pétrolière, le stockage des déchets nucléaires, la dispersion des contaminants chimiques dans les couches d’eau souterraine, la migration de l’humidité à travers les isolants fibreux, les
pro-70
Prise en compte des caractéristiques thermophysiques des parois sur la séparation des constituants d’un mélange binaire en milieu poreux
cessus de séchage, les opérations de dessalement de l’eau de mer, la formation des régions dendritiques durant la solidification des alliages et l’exploration pétrolière afin de mieux renta-biliser les investissements par une meilleure connaissance de la structure des gisements (Montel [91], Costesèque et al. [43,42]). La séparation thermogravitationnelle dans les milieux poreux a été également largement étudiée pour ses nombreuses applications fondamentales et indus-trielles.
Schöpf [117], en utilisant des conditions aux limites réalistes pour la première fois a comparé le déclenchement de la convection dans un fluide binaire saturant un milieu poreux au déclen-chement de la convection dans un fluide au sein d’une cavité très confinée. Il a montré que l’écoulement du fluide dans une cellule étroite et ou dans un milieu poreux deviennent iden-tiques lorsque le rapport hauteur sur épaisseur est très grand ( cellule Hele-Shaw). Il a utilisé la même formulation mathématique utilisée par Brand et Steinberg [24,25] (avec des conditions aux limites réalistes contrairement à ces derniers). Schöpf a montré que les critères de stabilité linéaire de la solution d’équilibre, en présence de l’effet Soret dans la couche poreuse et dans la couche Hele-Shaw sont les mêmes. ce resultat ne prend pas en compte le rôle de la porosité dans cette instabilité comme l’ont montré Charrier-Mojtabi et al. [29].
Mamou et Vasseur [78] ont analysé l’instabilité diffusive dans une couche poreuse rectangu-laire horizontale dont les parois horizontales sont soumises à des flux de chaleur et de masse. Les résultats indiquent que selon les paramètres de contrôle, quatre régimes différents peuvent exister (diffusive stable, convectif surstable, oscillant et direct). Marcoux et al. [81], ont proposé une étude de stabilité linéaire, pour une cavité différentiellement chauffée, avec un facteur de séparation ψ = −1. Dans une configuration analogue mais avec des flux de matière imposés au niveau des parois verticales, Joly et al. [66] ont fait une étude analytique sur la base d’un modèle de type "écoulement parallèle" suivie d’une étude numérique plus complète lorsque le facteur de séparation est égal à −1.
Bennacer et al. [13] ont étudié la prise en compte de l’effet Soret sur la convection dans une couche poreuse horizontale sous des gradients de température et de concentration. Ils ont mon-tré que le gradient de concentration vertical a un effet stabilisant. Mojtabi et al. [88] ont étudié la stabilité linéaire des écoulements dans un mélange binaire avec un coefficient Soret variable. Bourich et al. [21] ont analysé numériquement les écoulements double diffusif dans une ca-vité poreuse carrée dont les parois horizontales sont chauffées à des températures constantes et pour des concentrations imposées sur les parois verticales. Ces auteurs ont montré que pour ψ supérieur à un ψ critique, les solutions multiples disparaissent. Par contre une solution mono-cellulaire se maintient quand la convection est coopérante (ψ > 0) ou opposée (ψ < 0).
Charrier-Mojtabi et al. [29] ont étudié la stabilité linéaire et non linéaire de la solution d’équi-libre et de l’écoulement monocellulaire dans une couche poreuse horizontale remplie par un fluide binaire chauffé par le bas ou par le haut. L’effet Soret est pris en compte et l’influence à la fois du facteur de séparation et de la porosité normalisée est étudiée. L’analyse de stabilité linéaire menée, a montré que la solution d’équilibre perd sa stabilité via une bifurcation
sta-4.1 Introduction 71
tionnaire ou une bifurcation de Hopf en fonction du facteur de séparation et de la porosité du milieu. La porosité joue un rôle important ; la stabilité de la solution d’équilibre est renforcée quand la porosité normalisée diminue. Dans le cas des perturbations de très grandes longueurs d’onde, pour le facteur de séparation, ψ < 0 et pour ψ supérieure à une valeur particulière ap-pelée ψmono, les auteurs ont observé que l’écoulement monocellulaire conduit à une séparation des constituants de mélange entre les deux extrémités de la cellule. À partir de l’étude de la stabilité de l’écoulement monocellulaire, ils ont montré que pour une cellule chauffée par le bas et pour ψ > ψmono, l’écoulement monocellulaire perd sa stabilité via une bifurcation de Hopf. Elhajjar et al. [55] ont étudié l’écoulement monocellulaire prenant naissance au déclenchement de la convection dans un fluide binaire saturant une cavité horizontale poreuse chauffée par le bas. Lorsque le coefficient de séparation ψ est positif et supérieur à une certaine valeur ψmono, ces auteurs ont montré qu’il est possible de séparer les espèces de la solution binaire entre les deux extrémités de la cellule. Par ailleurs, le nombre de Rayleigh conduisant au maximum de séparation dans le cas d’une cellule horizontale est supérieur à celui de la cellule verticale (co-lonne de thermogravitation). Il s’en suit qu’il est possible d’obtenir une plus grande quantité de produit séparé. L’épaisseur de la cellule en configuration horizontale est plus grande que celle de la colonne verticale.
Bahloul et al. [7] ont examiné les écoulements dans une cavité horizontale soumise à des flux verticaux de chaleur et de masse avec prise en compte de l’effet Soret. Ils ont démontré que la transition prend la forme d’une bifurcation qui peut être sous critique ou fourche, suivant les valeurs du facteur de séparation et du nombre de Lewis, Le. Pour leurs études, les auteurs ont utilisé une solution analytique utilisant l’approximation de l’écoulement parallèle. Leurs travaux n’ont pas été étendus à la séparation des constituants du mélange binaire.
On se propose dans ce chapitre d’étudier la stabilité linéaire et non linéaire de la solution d’équi-libre et celle de l’écoulement monocellulaire qui apparaît, sous certaines conditions, dans une couche poreuse horizontale, saturée par un fluide binaire, chauffée par le bas tout en tenant compte de l’influence des parois délimitant la cellule. L’effet Soret est pris en compte, l’in-fluence du facteur de séparation ψ et de la porosité normalisée ǫ est étudiée. Une attention par-ticulière est portée à l’influence des rapports de conductivité et à celle d’épaisseur des plaques délimitant la couche poreuse horizontale.
Nous avons étudié la séparation des espèces entre les deux extrémités d’une cellule horizontale, lors de l’écoulement monocellulaire pour de faibles valeurs du nombre de Rayleigh et pour des facteurs de séparation positives.
Dans la première partie, une solution analytique a été obtenue dans le cas d’une cavité à grand rapport d’aspect (A >> 1). La séparation a été exprimée en fonction du nombre de Rayleigh thermique, du nombre de Lewis, du rapport de la séparation, du rapport d’aspect de la cavité poreuse, des rapports de conductivité thermique. La valeur du nombre de Rayleigh conduisant à la séparation maximale a été obtenue analytiquement.
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Prise en compte des caractéristiques thermophysiques des parois sur la séparation des constituants d’un mélange binaire en milieu poreux
est utilisé pour décrire l’écoulement monocellulaire obtenu au déclenchement de la convec-tion. Ainsi, le nombre de Rayleigh critique correspondant à la perte de stabilité de l’écoulement monocellulaire est calculé. Les résultats analytiques ont été corroborés par des simulations nu-mériques en utilisant un code de calcul par éléments finis.
Nous reprenons les équations (3.5) et les conditions aux limites (3.6) du chapitre précédent pour étudier la solution analytique de l’écoulement monocellulaire.