Bifurcation de Hopf

Pour l’analyse de bifurcation de Hopf, susceptible de se produire dans le cas d’une couche infinie, on développe les perturbations en modes normaux sous la forme :

(ϕ, θ1, θ2, θ3, η) = ^hϕ(y), ˜˜ θ1(y), ˜θ2(y), ˜θ3(y), ˜η(y)ⁱe(Ikx+ωt). Lorsqu’on remplace dans les équations du système (3.9) les perturbations par leur forme développée ci dessus et en prenant σ = Iω (bifurcation oscillatoire), on trouve le formalisme différentiel du second ordre suivant :

                                 (D2− k2) ˜ϕ + I k Ra^h(1 + ψ)˜θ2+ ψ ˜ηⁱ= 0 (D2− k2− Iω)˜θ2− I k ˜ϕ = 0 (D2− k2− IǫωLe)˜η − IǫωLe˜θ2− Ik ˜ϕ = 0 α(D2− k2)˜θ1 − Iω˜θ1 = 0 α(D2− k2)˜θ3 − Iω˜θ3 = 0 (3.41)

où D = ∂/∂y, k est le nombre d’onde horizontal, et I2 = −1. Les conditions aux limites associées sont données par (3.20). Pour résoudre ce système différentiel linéaire, on utilise la méthode Tau. Pour cela, on développe les perturbations sous la forme donnée par les équations (3.40) :

62 Prise en compte des caractéristiques thermiques et géométriques des parois

On remplace les perturbations par leurs développements dans le formalisme (3.41) ; ce qui conduit à un système algébrique linéaire homogène. Pour que ce système admette une solution non nulle, il faut que le déterminant associé soit nul. Dans cette étude, le déterminant est un com-plexe qui s’écrit : det(A) = R(Ra, k, ω, ǫ, Le, ψ, d, δ) + I Q(Ra, k, ω, ǫ, Le, ψ, d, δ) = 0 où R et Q sont des fonctions réelles des variables Ra, k, ω, ǫ, Le, ψ, d et δ. Il s’agit de fonc-tions polynomiales des variables (Ra, k, ω, ǫ, Le, ψ, d, δ) dont le degré par rapport aux va-riables Ra et k dépend de l’ordre de troncature utilisé. En général, le polynôme est de degré N par rapport à Ra pour une troncature d’ordre N ; ce qui signifie que plus l’ordre de tronca-ture augmente, plus on aura de solutions différentes de Ra en fonction des autres paramètres. Ces différentes valeurs du nombre de Rayleigh critique correspondent à des bifurcations insta-tionnaires secondaires (à l’exception de la plus petite valeur de Ra). Pour calculer la valeur du nombre de Rayleigh critique associé à la bifurcation de Hopf, on procède de la façon suivante, en utilisant le logiciel de calcul Maple :

- On fixe d’abord des valeurs particulières de ψ, ǫ, d, δ et Le. On est alors conduit à résoudre le système algébrique suivant, à deux équations et à deux inconnues (Ra, ω) et un paramètre k :

   Ra(Ra, k, ω) = 0 Q(Ra, k, ω) = 0 (3.42) Lorsqu’il est possible de résoudre ce système (aux faibles ordres de troncature), on obtient les racines réelles d’indices j : Raj = fj(k) et ωj = gj(k). On peut alors chercher les minimums arithmétiques de Ra en fonction de k et obtenir les paramètres critiques Rajc = f_j(k_c) et ωjc = gj(kc). Cette procédure n’est pas toujours applicable, en particulier dans les cas d’ordres élevés de troncature.

Nous avons relevé que pour des développements d’ordres 4 et 5 des perturbations, la pulsa-tion ω se met en facteur dans l’expression de Q. Ce résultat exprime que la transipulsa-tion vers un état stationnaire reste une solution possible pour le système concerné, quelle que soit la valeur donnée aux paramètres adimensionnels (Ra, k, ǫ, ψ, Le). Lorsque, l’on pose ω = 0 dans l’ex-pression du déterminant det(A), on obtient l’exl’ex-pression des nombre de Rayleigh critiques de la transition stationnaire. Si l’on écarte le cas ω = 0, on est conduit à la recherche des nombres de Rayleigh critiques de la bifurcation de Hopf. Malgré les simplifications, il n’a pas été possible d’obtenir de relation analytique donnant les expressions des paramètres critiques (Rac, kc, ωc) en fonction de (ǫ, d, δ, Le, ψ) et ceci même aux faibles ordres de troncature. Nous avons pu déterminer ces paramètres critiques en utilisant des procédures du logiciel Maple, permettant la représentation des fonctions implicites ou des graphes 3D.

Pour une cellule chauffée par le bas et pour ψ < 0, le constituant le plus lourd migre vers la paroi chaude du bas si Ra > 0, ce qui donne un effet stabilisant. Dans ce cas, la première bifur-cation est une bifurbifur-cation de Hopf.

3.3 Stabilité linéaire de la solution d’équilibre 63

de Hopf par la méthode spectrale Tau à l’ordre 5 pour différentes valeurs de ǫ, d, δ, Le et ψ (Annexe A). Les figures 3.9 et 3.10 montrent (lignes pointillées) les résultats pour Le = 5 et Le = 232 pour différentes valeurs de la porosité normalisée ǫ = 0.3, 0.4, 0.5, 0.7. L’influence de la porosité normalisée est précisée sur ces figures. En effet, une diminution de ǫ à d, δ, Le et ψ fixés entraîne une augmentation du nombre de Rayleigh critique, faisant également va-rier le point de rencontre du diagramme de stabilité associée à la bifurcation de Hopf avec le diagramme de stabilité associée à la bifurcation stationnaire.

Les figures 3.11a et 3.11b présentent les diagrammes de stabilité ωco = f (ψ), pour d = 5, Le = 5, δ = 1 et ǫ = 0.4 et d = 28.4, Le = 232, δ = 3, ǫ = 0.4 respectivement. On remarque que la pulsation ωco décroît lorsque le facteur de séparation ψ croît. La figure 3.12 montre la variation du nombre d’onde critique en fonction du facteur de séparation pour la bifurcation de Hopf pour d = 5, Le = 5, δ = 1, ǫ = 0.4. On remarque que le nombre d’onde critique˛co décroît lorsque le facteur de séparation ψ croît.

64 Prise en compte des caractéristiques thermiques et géométriques des parois

ǫ = 0.3 ǫ = 0.4 ǫ = 0.5 ǫ = 0.7

FIGURE 3.9 – Diagramme de stabilité Rac = f (ψ) pour Le = 5, d = 5, δ = 1, et pour différentes valeurs de la porosité normalisée (ǫ = 0.3, 0.4, 0.5, 0.7) (méthode spectrale Tau, ordre 5). En trait plein : bifurcation stationnaire. En cercles pleins : bifurcation de Hopf. En trait discontinu : ψH = −1

1 + (1 + 2dδ)Le. L’influence de la porosité normalisée est précisée dans la figure en médaillon.

3.3 Stabilité linéaire de la solution d’équilibre 65

ǫ = 0.3 ǫ = 0.4 ǫ = 0.5 ǫ = 0.7

FIGURE 3.10 – Diagramme de stabilité Rac = f (ψ) pour Le = 232, d = 28.4, δ = 3, et pour différentes valeurs de la porosité normalisée (ǫ = 0.3, 0.4, 0.5, 0.7) (méthode spectrale Tau, ordre 5). En trait plein : bifurcation stationnaire. En cercles pleins : bifurcation de Hopf. L’influence de la porosité normalisée est précisée dans la figure en médaillon.

66 Prise en compte des caractéristiques thermiques et géométriques des parois

(a)

(b)

FIGURE3.11 – Diagramme de stabilité ωco= f (ψ) pour (a) ǫ = 0.4, Le = 5, d = 5, δ = 1, (b) ǫ = 0.4, Le = 232, d = 28.4, δ = 3 dans le cas de bifurcation de Hopf.