La méthode Time Domain Random Walk est une approche Lagrangienne développée dans le domaine des temps afin d’établir les temps de transfert de chaque particule injectée dans un lien monodimensionnel. Elle est de fait particulièrement adaptée aux approches de type Discrete Fracture Network qui simplifient au moyen de réseaux de liens la géométrie et les éventuelles connexions des chenaux d’écoulement d’un réseau de fractures. Des mécanismes de rétention de particules, diffusion matricielle et cinétique de sorption ont été greffés sur le transport advectif-dispersif afin de mimer (en partie) les courbes de restitution de différentes formes observées lors de traçages in situ. Le sens physique donné à ces processus additionnels est du registre de la dichotomie distinguant transport par drainage rapide versus mécanismes longs termes. La relative simplicité de paramétrisation induite par cette dichotomie présente l’avantage, dans l’état actuel des connaissances, d’être une des rares formes transposables à de nombreux contextes. L’inversion de la méthode TDRW avec ses deux mécanismes de rétention s’appuie sur le calcul de sensibilités analytiques en dépit du contexte Lagrangien jusqu’alors réputé réfractaire au problème inverse en général, et aux calculs robustes de sensibilités en particulier. Bien évidemment, malgré l’inversion, les caractéristiques et avantages calculatoires des approches Lagrangiennes ont été préservés. Dans le cas présent, le surcoût calcul n’est pour l’essentiel que le fait des itérations de convergence, la greffe d’un calcul de sensibilités analytiques étant sans incidence significative sur le coût intrinsèque du problème direct.
Des travaux de transposition de l’échelle du lien à l’échelle du réseau ont été menés par [Ubertosi, 2008] qui a proposé un modèle discret d’écoulement sur un réseau de liens tridimensionnel. Après validation de ce modèle en régime permanent et transitoire, le problème de transport est résolu sur la base de ce réseau. Il est donc contraint par les conductivités hydrauliques macroscopiques des liens qui peuvent être corrélées pour créer des effets de chenalisation [Ubertosi et al., 2007]. Le transport est calculé par une méthode Lagrangienne dans le domaine des temps (TDRW) et intègre la majorité des mécanismes associés au transport de soluté et rencontrés in situ. Le modèle est opérationnel pour du calcul direct mais la résolution du problème inverse, avec a priori un jeu de paramètres par lien, est quasi impossible. L’exposé développé plus haut a montré qu’à l’échelle du lien, l’inversion n’était pas nécessairement immédiate en raison de concurrence d’effets entre mécanismes et/ou de sensibilités aux paramètres peu différenciées. A l’échelle du réseau, en supposant que chaque lien puisse avoir son propre jeu de paramètres, il faudrait idéalement avoir des mesures de concentrations sur chaque lien, indépendantes de surcroît. La chose est bien évidemment impossible dans un réseau de liens car les concentrations d’un lien "aval" dépendent pour partie des concentrations des liens "amont" drainés. En d’autres termes, inverser un réseau de liens hétérogènes de manière classique est vraisemblablement
impossible même au prix d’un conditionnement (inaccessible sur le terrain) exhaustif sur les concentrations. Le problème s’accentue d’autant que la chenalisation et les forts contrastes de vitesses, fréquents dans les milieux fracturés, ne sont guère propices à une inversion "propre" de l’écoulement lui-même. En pratique, il est probable que l’inversion d’un scénario de transport ne puisse se faire sans homogénéisation, qu’il s’agisse du problème direct ou de la fonction objectif. Pour cette dernière on pourra par exemple s’intéresser à des valeurs de moments temporels et/ou spatiaux (dont on sait par ailleurs que l’acquisition sur des problèmes autres que synthétiques n’est pas forcément triviale). Cela étant, la diminution du nombre de contraintes suppose également une diminution du nombre de degrés de liberté, donc une paramétrisation du problème direct revue à la baisse.
A titre illustratif, l’inversion d’un scénario de transport de particules sur un petit réseau DFN est discutée par [Delay et al., 2008]. Cela dit, la résolution du problème de transport par TDRW sur un réseau de liens quelconque n’a pas été approfondie, essentiellement en raison d’une complexification hors du commun de la paramétrisation. En effet, pour un réseau, la multiplication des paramètres (un jeu par lien ou par groupe de liens) n’est pas au mieux avec la philosophie développée dans ce travail, à savoir : 1- l’idée d’homogénéiser un problème complexe, 2- l’envie d’explorer de nouvelles pistes pour l’inversion de problèmes réputés peu convergents ou robustes aux paramètres. Dans le cas du transport de soluté, le caractère "agrégatif" (ou "intégrateur") du test de traçage, fait qu’une courbe de restitution en un point ne voit vraisemblablement qu’une partie des phénomènes de transport. En pratique, il est difficile d’avoir plusieurs points de mesure de la concentration en soluté au cours du temps pour obtenir l’état du nuage de soluté. Et rien ne dit que cet état du nuage en "tout point en tout temps" soit un conditionnement suffisant. Hormis quelques cas particuliers, il semble difficile de chercher des réseaux hétérogènes pour caler un problème de transport sans procéder par conjectures. Cet aveu d’échec ne dispense pas d’œuvrer et il y aurait vraisemblablement à creuser dans l’utilisation d’approches Lagrangiennes, le calcul de leurs sensibilités pour cerner par le biais de ces sensibilités (par exemple, leur cartographie rapportée à la géométrie du réseau) les effets d’hétérogénéité et la capacité d’inverser sur la base de concentrations et autres mesures des conséquences du transport. Le problème peut être vu autrement, supposant alors qu’on puisse définir une paramétrisation "sub- homogène" du réseau c’est à dire une paramétrisation uniforme ou faite de fonctions paramétriques (par exemple : définir la vitesse dans les liens en fonction de leur longueur). On peut se questionner sur l’influence de la paramétrisation et de la géométrie du réseau de liens sur l’identification des mécanismes de transport. Autrement dit, quel est le rôle joué par la géométrie du réseau sur la dispersion, la diffusion matricielle et les phénomènes réactifs ou de piégeage du soluté ? Peut-on définir une typologie de réseau exacerbant un de ces mécanismes, auquel cas l’inversion doit en avoir connaissance, même de manière labile pour éviter de simuler inutilement un mécanisme filtré par la typologie. Finalement, il semble que l’inversion du transport dans les milieux géologiques contrastés demande un niveau de réflexion non encore atteint aujourd’hui par la communauté. Les exercices menés dans les années 1985-2000 pour des problèmes d’écoulement robustes aux paramètres ont montré qu’on ne pouvait correctement inverser sans dédier le problème à une question particulière. Quand le milieu se complique, il est quasi impossible de simuler correctement toute l’évolution temporelle de tout un champ de charges hydrauliques. Le problème est nécessairement exacerbé en transport, ne serait-ce que par la présence d’un terme hyperbolique. Se pose alors la question de savoir ce que l’on veut retenir du transport (court ou long terme, effet local ou global,…) et les moyens métrologiques à mettre en œuvre pour documenter. Les travaux présentés ici ne répondent pas à ce genre de questions mais fournissent des outils algébriques permettant de prospecter à moindre coût.
CHAPITRE III : ETUDE PROSPECTIVE DE L’UTILISATION DES EQUATIONS
DE LANGEVIN POUR L’HOMOGENEISATION DU TRANSPORT EN MILIEU
FRACTURE
Section d'équation (suivante)
Conformément aux travaux évoqués précédemment à propos d’approches Lagrangiennes dans le domaine des temps, l’inversion d’un scénario de transport a été testée sur un petit réseau DFN de type arbre binaire symétrique constitué d’une entrée et d’une sortie (Figure 20). La géométrie du réseau et la distribution des flux sont connues. Chaque lien de taille constante L est défini par une vitesse uj et un coefficient de dispersion Dj. A chaque nœud de distribution des flux, la vitesse u du lien d’entrée se divise en u 2 dans les liens de sortie. De même, à chaque nœud de concentration des flux, les deux liens d’entrée à vitesse u 2 alimentent un lien de sortie à vitesse u. Finalement, le modèle est paramétré de N+1 valeurs de dispersion et d’une valeur de vitesse u que l’on doit identifier par inversion.
Figure 20 : Arbre binaire pour le test des capacités d’inversion du transport sur réseau de liens du modèle TDRW. Tous développements faits, le transport advectif-dispersif dans ce réseau peut être assimilé à un problème homogène semi-infini 1D (dont la solution analytique est connue) sur une longueur
(
)
2L N 1+ et dont vitesse et dispersion équivalentes sont établies selon :
(
)
N j j j 0 N N DFN DFN j j j 0 j 0 2 D N 1 u u ; D 2 2 = = = + = =∑
∑
∑
(III.1)La fonction objectif est construite à partir de la courbe de restitution en sortie du réseau, rendant ainsi le problème inverse mal posé car défini par N+2 paramètres alors que seuls les deux paramètres
DFN
u et D DFN de l’équation (III.1) suffisent à simuler la réponse du réseau. Pour aider l’optimiseur dans sa recherche des paramètres, une contrainte sur les valeurs de dispersion a été ajoutée, à savoir
u u 0 0 Niveau 0 (u = u , D=D ) ← 1 1 Niveau 1 (u = u 2 , D=D ) ← N N N Niveau N (u = u 2 , D=D ) ← Niveau N ← Niveau 0 ← 2 2 Niveau 2 (u = u 4 , D=D ) ←
imposer que le DFN soit plus diffusif en son centre qu’à ses extrémités avec la condition Dj>Dj 1− . Les résultats de l’inversion du transport advectif-dispersif sur ce petit DFN sont présentés par [Delay
et al., 2008] et montrent l’efficacité "honorable" de la méthode TDRW inverse + sensibilités
analytiques à identifier les paramètres de transport. Si dans ce réseau simple l’efficacité est juste "honorable", on ne reviendra pas sur la discussion du chapitre précédant de l’efficacité "misérable" que pourrait avoir l’inversion d’un réseau quelconque, en proie à des problèmes de géométrie et de multiplicité des paramètres locaux. Dès lors, l’idée motivant les travaux de ce chapitre est d’essayer de s’affranchir de ces questions de géométrie de réseau (mal connue, mais sans pour autant préjuger de son incidence) en l’éliminant.
Dans l’hypothèse où le réseau est la représentation géométrique des "chemins" à vitesses élevées empruntés par les particules, une approche continue classique pourrait être utilisée. Avec une approche continue hétérogène (simple ou double milieu), les contrastes de vitesses entre zones lentes (peu fracturées et/ou mal connectées) et zones rapides (grandes fractures et forte connexion) sont représentés par le même champ discret. Résolu en contexte Eulérien (discrétisation de l’espace et du temps) ce champ discret est fréquemment sujet à diffusion numérique. Pour simplifier, les vitesses élevées peuvent "baver" sur les zones lentes sauf à utiliser des procédures numériques assez lourdes de séparation d’opérateurs ou de séparation de domaines. Ces approches continues Eulériennes nécessitent une discrétisation contrastée du milieu assemblant des mailles de petites et de grandes tailles sous le même domaine et ces contrastes de taille sont connus pour engendrer des difficultés de résolution numérique [Chen et al., 2008]. Tout ceci conduit à des outils très intéressants sur le plan cognitif ou pour l’élaboration de calculs de référence. Mais ils resteront difficilement inversibles tant que l’on ne saura pas inverser directement la géostatistique des champs de paramètres utilisés (modifier les paramètres de la covariance multi-échelle si tant est, bien évidemment, qu’un champ géostatistique soit une bonne représentation de l’hétérogénéité du milieu).
Une autre possibilité pour s’affranchir de la géométrie du réseau est de remplacer les équations classiques du transport et d’assigner une partie de la physique de ces équations de substitution à celle non résolue (ou mal résolue) par les équations classiques. Les équations d’advection-dispersion, dont les paramètres sont la vitesse u et la dispersion D, génèrent des déplacements de particules qui suivent une loi normale. Pour un temps t fixé, on interprèterait ceci comme la conséquence d’une distribution gaussienne des vitesses locales. La fonction de densité de probabilité des vitesses est définie par sa moyenne u et sa variance 2
u
σ . Nous avons vu, quand bien même l’équation d’advection-dispersion puisse être pertinente à l’échelle locale et parfaitement adaptée au contexte DFN, qu’elle ne constituait pas une bonne équation d’homogénéisation macroscopique. Rappelons par exemple qu’elle ne peut représenter ni les multimodalités ni une dispersion mécanique grande échelle autre que gaussienne (en raison par exemple de la non-homogénéité statistique des vitesses sur l’ensemble du champ modélisé). En fait, si cette équation est insuffisante, c’est qu’elle amalgame l’essentiel de l’hétérogénéité des vitesses locales sur un seul paramètre : le tenseur de dispersion gaussienne. Ce paramètre D ne peut à lui seul porter la représentation de l’hétérogénéité des vitesses locales dont une manifestation bien connue en régime transitoire est l’évolution des positions relatives des particules entre t et t (rappelons pour mémoire que la dispersion gaussienne engendre des évolutions relatives en t ). Cette inadéquation est bien évidemment amplifiée si le champ de vitesses est lui-même non homogène statistiquement ou non stationnaire spatialement, présentant des valeurs globalement élevées par endroits et faibles ailleurs (chenalisation). L’idée est donc de trouver un degré de liberté supplémentaire dans l’équation matérialisant le transport pour reporter une partie de l’hétérogénéité
sur ce degré de liberté. Ce principe admis, le pas est rapidement franchi d’associer le degré de liberté supplémentaire à un champ stochastique continu qui matérialiserait la trace du réseau de liens disparu. Qui dit réseau de liens pense comportement majoritairement hyperbolique (évolution en t), le degré de liberté supplémentaire devrait fondamentalement être hyperbolique. Cependant, il ne doit pas faire l’impasse du conditionnement acquis sur les calculs d’écoulement dont le comportement macroscopique est à peu près résolu (Chapitre I). Dit autrement, ce terme supplémentaire ne devrait pas modifier fondamentalement le principe du divergent nul de la vitesse macroscopique des écoulements dans le milieu. De fait, il faut ajouter un terme dont le concept est similaire à un coefficient de dispersion, à savoir un "artifice" qui porte l’hétérogénéité des vitesses locales. Finalement, dans ces nouvelles équations, on aurait un terme classique de dispersion des vitesses (évolution en t ), un terme additionnel hyperbolique (évolution en t) et enfin le terme hyperbolique classique advectif, témoin que l’écoulement macroscopique est préservé et affecte bien évidemment le transport de soluté.
La piste proposée dans la suite du manuscrit est de recourir aux équations de Langevin. Ces équations s’établissent sur la base d’une conservation locale de la quantité de mouvement des particules et non pas la conservation macroscopique (dans un volume de référence) de la masse comme l’équation d’advection-dispersion. En plus d’une partie advective, les équations de Langevin font intervenir une accélération brownienne qui correspond à un terme dispersif et un paramètre supplémentaire, à savoir le champ de forces externes agissant sur les particules. Ce degré de liberté typiquement hyperbolique pourrait porter une partie de l’hétérogénéité du transport non vue par l’équation d’advection- dispersion. C’est dans ce cadre qu’il a été choisi de tester les capacités des équations de Langevin à mimer le transport dans des milieux aux propriétés fortement contrastées. Ces équations sont connues et largement utilisées dans d’autres domaines tels que la modélisation des écoulements turbulents pour l’aéronomie, la météorologie, la dynamique atmosphérique, la dynamique stellaire [Chandrasekhar, 1943], le transport et la rétention de particules colloïdales [Compère, 1999], les interactions solides- liquides, les aérosols,…
Si les idées développées plus haut sont entendues, une façon de concevoir l’homogénéisation partielle du transport de soluté dans les milieux fracturés est alors de résoudre en contexte Lagrangien les équations de Langevin. Notons que des résolutions Eulériennes sont envisageables. Sauf à utiliser un arsenal numérique compliqué, elles castrent en partie le caractère intuitif et précis de la résolution des composantes hyperboliques des équations. Les approches Eulériennes ne seront pas abordées dans ce travail. Ce chapitre s’intéresse à la faisabilité d’une homogénéisation du transport en discutant a priori des conditions d’application des équations de Langevin. Ce travail est une prospection dans le but d’ouvrir des pistes et/ou de promouvoir une nouvelle approche d’homogénéisation du transport de soluté en milieu poreux fracturé. L’objectif est de "débroussailler" la physique des équations de Langevin (en particulier les effets d’hétérogénéité) afin de cerner leurs possibilités d’adaptation à la simulation du transport de particules dans un milieu contrasté. Une des clefs de l’utilisation des équations de Langevin pour le transport de soluté est de dévier le champ de forces de son sens premier pour lui donner le rôle de modulateur (déviateur hyperbolique) des vitesses échantillonnées. Un des objectifs sera de déterminer l’influence de ce champ de forces sur la forme et les valeurs de dispersion des particules, et de voir s’il peut générer des "anomalies" de la pdf des temps de séjour. Dans un premier temps, la résolution des équations de Langevin sera décortiquée afin de bien comprendre le sens de chacun des termes. Des résolutions dites complètes et simplifiées seront ensuite comparées afin d’évaluer les conditions d’application des deux formes. Le calcul analytique de la dispersion des
particules liée aux différents termes des équations sera explicité dans une deuxième partie. Des tests de résolution numérique des équations en 1D ont été entrepris sous le logiciel de calcul Matlab et les résultats de dispersion sur les pdf de temps de séjour des particules seront comparés aux solutions analytiques. Ce travail a demandé bon nombre de développements algébriques non détaillés dans la littérature ou inédits et qui sont joints en annexe.