L'objet de ce chapitre était d'introduire les principes de l'analyse de sensibilité des modèles entrée-sortie. Une attention toute particulière a été portée à la présentation des méthodes d'analyse de sensibilité globales quantitatives. L'une des méthodes les plus utilisées par les praticiens est celle reposant sur l'estimation des indices de Sobol. Cette approche présente cependant l'inconvénient de concentrer l'étude sur la variance de la sortie. En outre, diverses alternatives ont été proposées pour gérer le cas où la variance n'est plus susamment représentative de la distribution de sortie. Celles-ci peuvent être regroupées dans la famille des indices de sensibilité construits à partir d'une mesure de dissimilarité. La n du chapitre s'est focalisé sur la classe des mesures de dépendance de Csiszár, et plus particulièrement sur les indices de Borgonovo δi. De par leurs propriétés, ces indices ont suscité ces derniers temps une attention croissante dans la communauté de l'analyse de sensibilité. En particulier, le problème de leur estimation à été abordé dans de nombreux travaux de recherche. Un état de l'art des diérentes méthodologies d'estimation à été présenté et a permis de souligner les avantages et les inconvénients de chacune. Initialement, les indices de Borgonovo étaient très peu utilisés puisque les premières méthodes introduites, qualiées de double-boucle, exigeaient un nombre d'appel à la boîte noire non raisonnable en pratique. La méthode GSA de Borgonovo a commencé à être appliquée à des cas d'application concrets avec l'arrivée des nouvelles approches d'estimation basées sur la réinterprétation de δi en terme de mesure de dépendance.
Celles-ci ont permis de réduire le budget de simulation des méthodes double-boucle mais sourent cependant de problèmes théoriques qui peuvent aecter leur champ d'application
3.5. Conclusion 70
ou la précision de leur estimations. L'objectif de cette thèse est de proposer de nouvelles manières d'estimer les mesures d'importance de Borgonovo, avec comme contraintes de surmonter les inconvénients précités et de respecter un compromis entre l'optimisation du nombre d'appel au modèle et l'obtention d'estimations susamment précises pour obtenir le bon ranking. Ainsi, dans le prochain chapitre, deux nouvelles méthodes d'estimations des indices de Borgonovo du premier ordre sont présentées.
Contribution à l'estimation des indices de Borgonovo d'ordre 1
Contents
4.1 Introduction . . . 71 4.1.1 Motivations . . . 71 4.1.2 Présentation des cas tests analytiques . . . 72 4.2 Estimateur δISi ,g combinant échantillonnage préférentiel et
approximation par noyau gaussien . . . 74 4.2.1 Retour sur la méthode simple-boucle . . . 74 4.2.2 Dénition de l'estimateurδiIS,g . . . 76 4.2.3 Étude des performances de δISi ,g . . . 77 4.2.4 Application à des cas test analytiques . . . 86 4.3 Estimateur δiME basé sur la représentation de δi en terme de
densité de copule et le principe du maximum d'entropie . . 88 4.3.1 Choix des contraintes . . . 88 4.3.2 Dénition deδMEi . . . 90 4.3.3 Application à des cas test analytiques . . . 92 4.4 Conclusion : application à un modèle d'estimation de la zone
de retombée d'un étage de lanceur . . . 95 4.4.1 Description du cas test . . . 95 4.4.2 Résultats numériques . . . 96 4.4.3 Synthèse . . . 98
4.1 Introduction
4.1.1 Motivations
Ce chapitre se focalise sur la question de l'estimation des indices de Borgonovo du premier ordre (dont l'état de l'art a été eectué en section 3.4) et s'organise comme suit.
71
4.1. Introduction 72
La section 4.2 présente un schéma d'estimation général combinant des procédures d'échantillonnage préférentiel et d'estimation par noyau gaussien et est basée sur la pu-blication suivante :
Derennes, P., Morio, J., and Simatos, F. (2018) A nonparametric importance sampling estimator for moment independent importance measures. Accepted in Reliability Engi-neering and System Safety, https://doi.org/10.1016/j.ress.2018.02.009
La section4.3 présente une méthode d'estimation basée sur la représentation de δi en terme de densité de copule (3.51) et sur l'estimation de cette copule par le principe du maximum d'entropie (voir section2.2.2.2). Cette partie est basée sur l'article de conférence suivant :
Derennes, P., Morio, J., and Simatos, F. (9-12 December 2018) Estimation of the mo-ment independent importance sampling measures using copula and maximum entropy framework, Winter Simulation Conference, Gothenburg, Sweden, 1623-1634.
Dans le but d'étudier la performance de ces deux nouvelles méthodes, celles-ci seront appliquées aux diérents cas test analytiques décrits dans la section4.1.2. Enn, la section 4.4 fournit une conclusion résumant les avantages et les inconvénients des deux méthodes, ainsi qu'un cas d'application concret portant sur l'estimation de la zone de retombée d'un étage de lanceur et provenant du chapitre de livre suivant :
P. Derennes, V. Chabridon, J. Morio, M. Balesdent, F. Simatos, J-M. Bourinet and M.
Gayton (2019) Nonparametric importance sampling techniques for sensitivity analysis and reliability assessment of a launcher stage fallout, Optimization in Space Engineering, G. Fasano and J. Pinter, Springer.
4.1.2 Présentation des cas tests analytiques
Tout au long de ce chapitre, les méthodes introduites seront appliquées à divers cas test analytiques, dénis par les modèles boîte noire entrée-sortie suivants :
Modèle jouet.
M1 :
R2 −→ R
(x1, x2) 7−→ x1+x2 (4.1)
Y =X1+X2 avec X= (X1, X2)∼N 0
0
, 1 0
0 5
. Ainsi,
Y ∼N(0,6), (Y |X1 =x1)∼N(x1,5) et (Y |X2 =x2)∼N(x2,1) . Modèle linéaire gaussien.
M2 :
R4 −→ R
x 7−→ hA,xiR4 (4.2) Y =hA,XiR4 ,
où A = [1,7 1,8 1,9 2] et où l'entrée X suit la distribution gaussienne centrée et de matrice de covariance
Σ =
1 1/2 1/3 1/4 1/2 1 1/2 1/3 1/3 1/2 1 1/2 1/4 1/3 1/2 1
.
Les résultats classiques de la théorie des vecteurs gaussiens (voir par exemple [Ouvrard, 2000]) permettent de déterminer les distributions de sortie inconditionnelle et condition-nelles :
Y ∼N(0,AΣAT) et Y|Xi =xi ∼N mi, σ2i , où la moyenne mi et la variance σ2i sont dénies par
mi =Aixi+A−iCiΣ−1ii xi , σ2i =A−i(Σ−i−CiCTi Σ−1ii )AT−i ,
où A−i désigne le vecteur A privé de la i-ème composante,Σ−i la matriceΣprivée de ses i-ème ligne et colonne et Ci le vecteur colonne[Σij]j6=i.
Modèle multiplicatif.
Md3 :
Rd −→ R x 7−→ Qd
i=1xi (4.3)
Y =
d
Y
i=1
Xi, avec Xi i.i.d∼ L(0,1) . Ainsi,
Y ∼L(0, d) et (Y|Xi =xi)∼L(ln(xi), d−1) .
Ces trois modèles entrée-sortie sont dénis par des fonctions analytiques et des distri-butions d'entrée pour lesquelles il est possible de déterminer les distridistri-butions de sortie. A fortiori, les valeurs théoriques des indices de Borgonovoδi sont accessibles par intégration numérique. Dès lors, un indicateur de précision supplémentaire pour un estimateur ˆδi est l'écart relatif (Relative Dierence (RD) en anglais)
RD(ˆδi) =
ˆδi−δi
δi , (4.4)
en plus de la moyenne et de l'écart-type traditionnellement utilisés. En outre, chacune des futures applications numériques se déroulera selon la procédure suivante :
1. Calcul deM estimations (ˆδi1, ...,ˆδiM) indépendantes.