δ i vue comme une espérance

Dans cette section, le point de vue adopté est celui de l'article original [Borgonovo, 2007], i.e, l'indice de Borgonovo de l'entrée X_i est déni par l'espérance renormalisée du shift (3.18) :

δ_i = 1

2E[s(X_i)]. (3.21)

Les premières méthodologies qui ont été proposées pour estimer l'indice δi reposent sur une idée commune, à savoir l'approximation Monte-Carlo de l'espérance (3.21) :

δ_i ≈ 1 2N

N

X

n=1

s(X_iⁿ), {X_iⁿ}^Nn=1 i.i.d

∼ f_Xi . (3.22)

La principale diculté réside alors dans l'évaluation des diérentes intégrales (aléa-toires) s(X_iⁿ) provenant de la dénition (3.18) du shift. Pour cela, plusieurs approches existent et sont listées dans les sous-sections suivantes.

3.4.1.1 La méthode PDF

Formulation. Dans l'article pionnier [Borgonovo, 2007], il est proposé d'estimer les PDFs qui interviennent dans la somme (3.22) en utilisant la méthode du maximum de vraisemblance couplée à un test de Kolmogorov-Smirnov. [Borgonovo et al., 2011] adopte par la suite une approche non-paramétrique, basée sur la procédure d'estimation par

noyau détaillée en section 2.2.2.1. Cette approche (que l'on désignera par méthode PDF dans la suite de ce manuscrit) peut alors être résumée comme suit :

(i) Générer {Xⁿ = (X₁ⁿ, . . . , X_dⁿ)}^Nn=1

(ii) Considérer les estimateurs à noyau de la densitéf_Y et desN densités conditionnelles f_Y|X_i=X_iⁿ : où K est un noyau unidimensionnel et h, {h^(i),n}^Nn=1 les fenêtres respectives.

(iii) Estimer δ_i par

où les intégrales sont évaluées par intégration numérique.

Remarques. La méthode PDF nécessiteN(1 +dN) appels au modèle de sortie pour obtenir une estimation des indices de Borgonovo d'ordre 1. Elle n'est donc pas adaptée aux systèmes complexes réalistes pour lesquels l'évaluation du code de calcul Mest coûteuse.

D'autre part, lorsque les entrées sont corrélées, l'étape (i) peut être dicile en pratique puisqu'elle requiert d'être capable d'échantillonner selon X|X_i =X_iⁿ ce qui peut s'avérer délicat lorsque l'entrée X n'est pas gaussienne. Une variante de la méthode PDF, reposant sur le partitionnement de l'ensemble Ei des valeurs prises par l'entrée Xi, est développée par [Plischke et al., 2013]. Étant donnée une partition FM

m=1E^(i),m de E_i, l'idée est de remplacer les densités de Y sachant que X_i prenne une valeur ponctuelle, par les densités f_Y|E^(i),m deY sachant que Xi appartienne à une des classesE^(i),m, i.e, [Plischke et al., 2013] obtient alors l'estimateur suivant :

δˆ_i^Pseudo:= 1

2Dans le cas où les entrées sont indépendantes, il sut pour cela de xer la i-ème composante de Xⁿ à X_iⁿ.

3.4. Les mesures d'importance δ_i de Borgonovo : un état de l'art 60

où Nm désigne le nombre de réalisations X_iⁿ appartenant à la classe E^(i),m et où fˆ_Y|E^(i),m est l'estimateur à noyau de la densité dénie par Eq.(3.26) :

fˆ_Y|E(i),m(y) := 1

N_mh_m · X

X_iⁿ∈E^(i),m

K

y−Yⁿ h_m

, y ∈R , (3.28)

Cette approche nécessite seulementN évaluations de modèle et des résultats de conver-gence sont discutés dans [Plischke et al., 2013]. En particulier, les auteurs démontrent que l'estimateurδˆ_i^Pseudo converge presque sûrement versδ_i lorsque le nombre d'échantillonsN et la taille de la partition M tendent vers+∞. En revanche, cette convergence peut s'avé-rer très lente. De plus l'application de cette méthode repose sur le choix d'une partition (plusieurs stratégies de partitionnement sont présentées dans [Plischke, 2012]) de E_i ce qui peut être fastidieux.

3.4.1.2 La méthode CDF

Dans [Liu and Homma, 2009], Liu and Homma propose une nouvelle méthode (intitulée méthode CDF dans la suite de cette section) pour estimer la mesure δ_i dénie par Eq.(3.21). Le principe de la méthode CDF est de réécrire le shift de densité s(X_i) en fonction des CDFs F_Y et F_Y|X_i. Pour toute réalisation x_i de X_i, le shift s(x_i) peut se réécrire comme suit :

s(x_i) = Z

Ω(xi)

|f_Y −f_Y|Xi=xi|+ Z

Ω(xi)^c

|f_Y −f_Y|Xi=xi| ,

= Z

Ω(xi)

(f_Y −f_Y|X_i=xi)− Z

Ω(xi)^c

(f_Y −f_Y|X_i=xi) , (3.29) où Ω(x_i) désigne l'ensemble

y∈R|f_Y(y)≥f_Y|X_i=xi(y) . Pour xer les idées, supposons que Ω(x_i) =]− ∞, a], i.e, que f_Y et f_Y|Xi=xi s'intersectent en un unique point y = a et que f_Y −f_Y|X_i=xi soit positive sur ]− ∞, a]. On obtient alors

s(x_i) = Z a

−∞

(f_Y −f_Y|X_i=xi)− Z +∞

a

(f_Y −f_Y|X_i=xi),

= (F_Y(a)−F_Y|X_i=xi(a))−((1−F_Y(a))−(1−F_Y|X_i=xi(a))) ,

= 2(F_Y(a)−F_Y|X_i=xi(a)) .

Plus généralement, supposons que les densités f_Y et f_Y|Xi=xi vérient les hypothèses suivantes :

(A.1) f_Y etf_Y|X_i=xi admettent un nombre ni m(x_i) de points d'intersection y₁⁽ⁱ⁾ <· · ·< y⁽ⁱ⁾_m(x

i) .

(A.2) f_Y −f_Y|X_i=xi change de signe en chacun des pointsy_k⁽ⁱ⁾ et est positive sur]−∞, y₁⁽ⁱ⁾].

En réinjectant ces hypothèses dans Eq.(3.29) et en procédant comme dans le cas d'un unique point d'intersection, on obtient³

s(x_i) = 2

Un point d'intersection entref_Y etf_Y|X_i est une solution de l'équation suivante f_Y(y)−f_Y|Xi(y) = 0 ,

qui peut se réécrire comme suit

d(F_Y −F_Y|X_i)

dy (y) = 0 .

Ainsi, les points d'intersection de f_Y et f_Y|X_i=xi correspondent aux points extrémaux de la fonctionFY −F_Y|Xi=xi et peuvent donc être déterminés en utilisant les méthodes de dérivation numérique classiques (schéma aux diérences nies etc.). Dans le cas du modèle jouet (3.17), on peut observer sur la gure [3.2] que les PDFsf_Y etf_Y|X₂=2 présentent deux points d'intersection y⁽²⁾₁ = 0.63645et y₂⁽²⁾ = 4.1636 tels que f_Y(y⁽²⁾₁ )−f_Y|X2=2(y₁⁽²⁾)≥0. Le shift associé s(2) est donc égal à

s(2) = 2×(0.51615−(−0.029338)) = 1.091 .

(a) Représentation la densité f_Y (courbe rouge) de la sortie du modèle déni par Eq.(3.17)et la densité conditionnéef_Y^X2=2 (courbe noire).

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

(b) Représentation de la diérence entre la CDF F_Y et la CDF conditionnéeF_Y^X2=2.

Figure 3.2. Représentations géométriques du shifts(2) du modèle défini par Eq.(3.17).

Pour résumer, les diérentes étapes de la méthode CDF sont (i) Générer {Xⁿ = (X₁^,. . . , X_dⁿ)}^Nn=1

i.i.d

∼ f_X puis évaluer Yⁿ = M(Xⁿ) pour n = 1, . . . , N.

3Si f_Y −f_Y|Xi=xi est négative sur]− ∞, y⁽ⁱ⁾₁ ], l'égalité (3.30) dière d'un facteur -1.

3.4. Les mesures d'importance δ_i de Borgonovo : un état de l'art 62

(ii) Considérer les estimateurs à noyau respectifsFˆY etFˆY|Xi=X_iⁿ de la CDF FY et des N CDFs conditionnelles F_Y|X_i=Xⁿ_i.

(iii) Pourn = 1, . . . , N, déterminer les points extrémaux{y⁽ⁱ⁾_k }^m(Xk=1ⁱⁿ⁾ de la fonction Fˆ_Y − Fˆ_Y^Xi=Xni.

(iv) Considérer l'estimateur suivant : δˆ_i^CDF := 1

N

N

X

n=1

_n×

m(X_iⁿ)

X

k=1

(−1)^k−1×

Fˆ_Y(y_k⁽ⁱ⁾)−Fˆ_Y|X_i=X_iⁿ(y⁽ⁱ⁾_k )

, (3.31) où _n est le signe de Fˆ_Y(y₁⁽ⁱ⁾)−Fˆ_Y|Xi=Xⁿ

i(y⁽ⁱ⁾₁ ).

Remarques. La méthode CDF à pour avantage de s'épargner l'estimation des densités fY et f_Y|Xi=X_iⁿ. Néanmoins, elle reste équivalente à la méthode PDF en terme de coût de simulation puisque N(1 +dN) appels au code de calcul M sont requis pour obtenir une estimation des indices δ_i. De plus, la charge de calcul inhérente à l'estimation des densités est remplacée par la recherche des points extrémaux des fonctions FY −F_Y|Xi=X_iⁿ

qui n'est pas exempt d'erreurs d'approximation. En eet, les applications numériques eectuées dans [Liu and Homma, 2009] illustrent que l'estimateur δ^CDF_i peut présenter une variance plus grande que celle de δ^PDF_i .

Par la suite, le problème d'estimation des mesures d'importanceδ_i a été abordé dans de nombreux travaux de recherche. En outre, l'objectif est de diminuer le budget de simulation exigé par les méthodes PDF et CDF tout en conservant une estimation su-samment précise des indices pour obtenir le ranking correct, i.e, le classement des entrées en fonction de leur inuence sur la sortieY. La section suivante présente les méthodologies d'estimation basées sur la dénition de δi en terme de mesure de dépendance de Csiszár.