Conclusion et interprétations

Pour toutes les approches étudiées (l’approche de Maa, le modèle de Stinson adapté et l’approche LVA), une correction empirique est indispensable pour modéliser l’acoustique de MPP minces. Chaque modèle ayant sa propre correction adaptée.

Lorsque l’épaisseur de la structure augmente la correction n’est plus correcte et doit être réajustée. Elle est alors diminuée. Cette correction n’est plus nécessaire lorsque la structure est suffisamment épaisse.

Nous proposons plusieurs interprétations possibles mais nous restons dans le domaine des hypothèses.

1. Nous avons appliqué le facteur correctif ε sur le terme le plus sensible de notre modèle. Ce terme est un élément de la partie imaginaire de ρequ. Remontons aux équations de base (IV-10 et IV-11) et identifions la partie

sensible. Le terme dominant est en ² r u ² ∂ ∂

. Cela correspond à la dérivée

seconde de la vitesse axiale par rapport à la coordonnée radiale.

Physiquement la dérivée première de u représente « les pentes » du profil de u suivant r. La dérivée seconde correspond à la fluctuation des pentes du profil.

Appliquer un facteur correctif constant ε > 1 à ² r u ² ∂ ∂

revient à accentuer les

fluctuations de pente ou à augmenter les pentes du profil de u. Cela correspond à modifier le profil initial de la vitesse axiale en intégrant soit de plus importantes fluctuations de pente soit des pentes plus importantes. Or ici le profil que nous avons imposé à u est une Bessel. Cette fonction correspond à un profil très lisse ayant peu de fluctuations. Dans notre cas,

appliquer un facteur correctif constant ε > 1 à ² r u ² ∂ ∂

revient à accentuer les

pentes de notre profil, c’est à dire accentuer le terme en r u

∂ ∂

. u corrigée est

alors plus allongée que u d’origine.

Nous avons vu que les forces de friction sont rattachées aux dérivées première et seconde de u par rapport à la composante radiale. Corriger le profil de u revient alors à augmenter la friction.

Chapitre IV. Propagation acoustique dans les tubes fins : applications aux structures microperforées

Thomas Dupont / Thèse en acoustique / 2002 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 160

Cette interprétation rejoint alors la correction du coefficient de viscosité proposée par Crandall qui augmente les forces, non pas en modifiant le profil de u, mais en augmentant la viscosité.

2. Le facteur correctif ε est rattaché au terme α1²= (x0 / R)² où x0 correspond au premier zéro de la Bessel J0. Imposer α1 à J0(α1r) revient à l’annuler en r = R.

Appliquer ε > 1 à α1² correspond à décaler le premier zéro de u pour r < R. Sur les embouchures il peut y avoir des phénomènes complexes entraînant la modification du profil de u en particulier pour r = R.

Cela revient à identifier nos perforations à des perforations de diamètre inférieure.

3. Ingard en 1970 [ING70] a étudié les effets non linéaires de transmission sonore à travers un orifice. Ces travaux ont été repris et complétés en 1982 et 1989, pour la partie théorique par Cumming [CUM82] et pour la partie expérimentale par Salikuddin [SAL82-SAL89]. Ce dernier par un dispositif photographique, a présenté les vortex qu’on pouvait observer à la sortie de perforation quand l’excitation était très importante. Nous pouvons alors imaginer que pour des microperforations, même pour des excitations peu fortes, des petits effets non linéaires apparaissent au niveau des embouchures. Ces effets provoquent alors une déformation du champ de vitesse, engendrant de petits vortex qui peuvent au contact des couches limites du baffle provoquer une absorption visqueuse supplémentaire non négligeable.

En définitive : Le profil de vitesse lorsque le tube est mince ne semble pas avoir le temps de s’établir, car l’interaction des deux embouchures est trop importante. Ainsi le profil prédictif imposé et correspondant au profil trouvé pour des tubes infinis, ne décrit plus vraiment l’acoustique de la perforation. Il est alors nécessaire de corriger ce profil.

Si la perforation est profonde, le profil de vitesse peut alors s’établir, et le phénomène de propagation dans les tubes infinis prédomine sur l’effet des embouchures (dans ce cas éloignés). La correction n’est alors plus nécessaire.

Chapitre IV. Propagation acoustique dans les tubes fins : applications aux structures microperforées

4. Conclusion

A partir de la résolution des équations de Kirchhoff et de nos approximations, nous avons pu proposer un modèle de propagation dans les tubes fins. Ce modèle est limité en fréquence et en diamètre.

Nous l’avons appliqué en identifiant les structures microperforées (MP) d’épaisseur quelconque à une région propagative. Des corrections sur l’épaisseur peuvent être ajoutées pour représenter l’acoustique des embouchures de ces structures et l’interaction entre les perforations. Mais ces corrections n’entraînent pas de grands changements dans l’absorption du système.

Pour les structures MP fines nous devons en plus, pour représenter les phénomènes physiques complexes (peu connus précisément), corriger la partie imaginaire de ρequ. Cette correction est trouvée empiriquement. Elle est inutile pour les plaques épaisses. Pour toutes les approches une correction (propre pour chaque modèle) est nécessaire.

La comparaison de nos modèles avec ceux basés sur la théorie de Maa, avec ceux basés sur les solutions de Stinson et enfin avec des mesures au tube de Kundt, a montré la pertinence de notre approche. Notre modèle est le plus prédictif des trois approches pour l’ensemble des MPP fines et épaisses. Pour les structures fines, le domaine de validité du modèle proposé est plus important que pour les MPP épaisses.

Il est vrai que notre modèle est limité en diamètre de perforation, et que la correction LVA (tout comme les corrections des autres modèles) est délicate à estimer quand la plaque a son épaisseur située entre fine et épaisse. Pour des diamètres de perforation sup millimétrique, ou pour une étude sur les très hautes fréquences, il est préférable d’utiliser l’approche que nous proposons avec les résultats de Stinson [STI93] (ou ceux de Bruneau [BRU98]) sur la propagation acoustique dans les tubes fins.

Ce chapitre a montré la difficulté d’avoir un modèle prédictif correct pour toutes les épaisseurs sans avoir à trouver et à appliquer un facteur correctif. Les modèles présentés restent cependant prédictifs mais il faut définir pour chaque approche une correction nécessaire pour les structures MP minces.

Cependant, notre approche peut être facilement intégrée aux modèles de transparence et d’absorption. Le modèle LVA est assez fiable, général et permet d’améliorer la prédiction par rapport au modèle de Maa (dans les domaines de fréquence qui nous intéressent et sur l’absorption).

Remarques et perspectives : Il serait intéressant pour modéliser l’acoustique d’une perforation d’une parois épaisse, d’utiliser l’approche proposée par Mechel

Chapitre IV. Propagation acoustique dans les tubes fins : applications aux structures microperforées

Thomas Dupont / Thèse en acoustique / 2002 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 162

en 1986 [MEC86] et basée sur les travaux de Wilson et Sorka [WIL65] et Gompert et Kihlman [GOM67]. La propagation dans des perforations de petit diamètre peut être modélisée comme la propagation dans une perforation classique rempli d’un matériau poreux (représentant la dissipation dans le fluide) et délimitée aux embouchures par une fine couche de plastique.