Conclusion - Influence du champ aléatoire et des interactions à longue portée sur le comporteme

z* Ρ₀ 0.1 0.2 0.3 0.4 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4

Figure 2.I – Solutions de point fixe ˜u⁰_∗ et z˜∗ en fonction du champρ˜₀ pour la dimension d = 2. Nous avons utilisé le régulateur donné par l’Eq. (2.68) avec α = 2.

Α Ν-1 1 2 3 4 5 6 1.05 1.10 1.15 1.20 1.25 Α Η 1 2 3 4 5 6 0.29 0.30 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35

Figure 2.J – Illustration du principe de sensibilité minimale sur les exposants η et ν pour la dimension d = 2. Les exposants sont tracés en fonction du paramètre α du régulateur Eq. (2.68) ; nous obtenons les valeurs optimales ν⁻¹(αP M S) et η(αP M S) au minimum de chacune des courbes (voir texte).

2.4. CONCLUSION

propriété remarquable est unique et n’est partagée, à notre connaissance, par aucune autre approche. En plus de fournir cette connexion directe avec les différents résultats perturbat-ifs, le groupe de renormalisation à la Wetterich permet d’accéder aux propriétés critiques du système pour n’importe quelle dimension et n’importe quel nombre de composantes du paramètre d’ordre. De cette manière, il est possible de suivre le point fixe dans tout le plan (N, d). Plus particulièrement pour le modèle d’Ising tridimensionnel, le développe-ment en dérivées du champ de l’action effective a été poussé jusqu’à l’ordre quatre et la précision des résultats obtenus pour les exposants critiques rivalise avec les meilleures estimations (simulations Monte Carlo, séries hautes températures, développements en , etc.) [CDMV03a]. Notons que le modèle XY en dimension 2 et la transition de Kosterlitz-Thouless [KT73,Kos74] sont également bien décrits par le groupe de renormalisation non perturbatif ; la méthode tient compte d’elle même des excitations topologiques non triviales telles que les configurations de vortex [GW95,GW01]. Un autre atout de cette approche du groupe de renormalisation est la possibilité de déterminer à la fois les quantités universelles et non universelles ; par exemple, la température critique de différents modèles a été cal-culée dans l’approximation du potentiel local et les résultats sont en très bon accord avec les simulations Monte Carlo [MD10].

Le groupe de renormalisation non pertubatif a été appliqué avec succès dans un très grand nombre de domaines, allant de la gravité quantique [Gra98, Reu98] à la physique statistique hors équilibre [CDDW04, CCDW10, CCDW11], en passant par les systèmes frustrés et désordonnés [DMT04, TT04a, TT06a, TT11a], la physique des membranes

[KM09,EKM11] ou encore celle des atomes froids [DS07,Wet08]. Cette approche est

désor-mais reconnue comme un moyen efficace pour surpasser les méthodes standard perturbatives et décrire correctement la physique là où ces dernières échouent.

CHAPITRE 2. INTRODUCTION AU GROUPE DE RENORMALISATION NON PERTURBATIF

2.4. CONCLUSION

CHAPITRE 2. INTRODUCTION AU GROUPE DE RENORMALISATION NON PERTURBATIF

Annexe A

Notations et conventions

La dimension de l’espace physique sera toujours notée d et on considère un champ scalaire réel φ sur Rd. x = (xµ) désigne un vecteur dans l’espace (xµ est la µ-ième com-posante de x, avec µ = 1,· · · , d) et φ(x) est la valeur du champ au point x. On définit la transformée de Fourier du champ par :

(A.1) φ(q) =

ddx φ(x) e^−iqµxµ

où q = (qµ) dénote un vecteur dans l’espace réciproque et la somme sur l’indice répété µ est sous-entendue. On écrira d’une manière plus concise les intégrales sur l’espace direct et sur l’espace réciproque en utilisant les notations suivantes :

(A.2) Z x = Z ddx et : (A.3) Z q = Z ddq (2π)d

La transformée de Fourier inverse du champ s’exprime donc comme :

(A.4) φ(x) =

Z q

φ(q) e^iqµxµ

Plus généralement, la transformée de Fourier d’une fonction de plusieurs variables f (x1,· · · , xn) est définie par :

(A.5) _{f (q}˜ ₁_,· · · , qn) = Z

x1,··· ,xn

ANNEXE A. NOTATIONS ET CONVENTIONS

Lorsque f (x₁,· · · , xn) est invariant par translation dans l’espace, on extrait le facteur de conservation de l’impulsion totale dans ˜f en considérant la quantité f (q₁,· · · , qn) telle que : (A.6) _{f (q}˜ ₁_,· · · , qn) = (2π)^dδ(q1+· · · + qn) f (q1,· · · , qn)

On utilisera également les notations matricielles suivantes :

(A.7) φ.χ = Z x φ(x)χ(x) = Z q φ(q)χ(−q) et : (A.8) φ.A.χ = Z x,x⁰ φ(x)A(x, x⁰)χ(x⁰) = Z q,q⁰ φ(q) ˜A(−q, −q⁰)χ(q⁰)

φ et χ sont des champs scalaires réels alors que A désigne un opérateur d’éléments de matrice A(x, y). Lorsque A(x, y) est invariant par translation dans l’espace (i.e. il ne dépend que de x− y), l’intégrale de l’Eq. (A.8) se ré-écrit donc :

(A.9) φ.A.χ =

Z q

φ(q)A(q,−q)χ(−q)

Finalement, les arguments des fonctionnelles seront écrits entre crochets ; par exemple, F [φ] est une fonctionnelle du champ φ. On notera alors les dérivées fonctionnelles de la manière suivante :

(A.10) F⁽ⁿ⁾[φ](x₁,· · · , xn) = ^δ nF [φ] δφ(x1)· · · δφ(xn)

Annexe B

Fonctions seuil

On introduit une impulsion et un régulateur sans dimension tels que :

(B.1) y = q²/k²

et :

(B.2) s(y) = Z_0k⁻¹k⁻²Rk(q)

Pourn et d entiers strictement positifs, les fonctions seuil ld

n(w, η, z) et md n(w, η, z) sont définies par : (B.3) l_n^d(w, η, z) =−¹₂∂^˜_t Z ∞ 0 dy y^d/2−1 ¹ (yz + s(y) + w)n et : (B.4) m^d_n(w, η, z) =−¹₂∂^˜_t Z ∞ 0 dy y^d/2 ^{(z + s} 0(y))² (yz + s(y) + w)n

Chapitre 3

Le modèle d’Ising en champ aléatoire

3.1 Introduction

Le modèle d’Ising est apparu dans les années 1920 sous l’impulsion des travaux de Lenz et de son doctorant Ising. C’est certainement le plus simple et le plus vieux modèle permettant de décrire un comportement collectif non trivial avec une brisure spontanée de symétrie. Celui-ci a énormément contribué au succès de la physique statistique dans la compréhension des transitions de phase et des phénomènes critiques.

Tel qu’il est initialement introduit, le modèle d’Ising est un modèle pur ; cela signifie qu’il ne présente ni impureté, ni lacune, etc. qui induiraient des inhomogénéités dans le système. En réalité, ces dernières sont malgré tout présentes et les échantillons physiques ne sont jamais parfaitement homogènes. Il est alors naturel de se poser la question de l’in-fluence de ces impuretés sur les propriétés critiques du système.

En 1975, la version en champ aléatoire du modèle d’Ising est introduite par Imry et Ma [IM75]. Par rapport au modèle pur, le champ magnétique couplé aux spins n’est plus un paramètre extérieur fixé ; celui-ci est désormais une variable aléatoire représentant le désordre dans le système. Le modèle d’Ising en champ aléatoire est un archétype de sys-tème désordonné ; il est intensément étudié, aussi bien au niveau théorique qu’expérimental, depuis près de 40 ans. En particulier, la compréhension des propriétés critiques de grande distance du modèle représente un enjeu majeur pour la théorie des systèmes désordonnés.

Nous exposons dans ce chapitre une introduction au modèle d’Ising en champ aléatoire, principalement basée sur les méthodes de la théorie des champs. Plusieurs sujets tels que la dynamique du modèle, ou encore les propriétés d’interface, ne sont pas abordés ici ; nous renvoyons le lecteur intéressé à [Nat97] (pour des aspects expérimentaux, on pourra aussi consulter [Bel97]).

CHAPITRE 3. LE MODÈLE D’ISING EN CHAMP ALÉATOIRE

Dans le document Influence du champ aléatoire et des interactions à longue portée sur le comportement critique du modèle d'Ising : une approche par le groupe de renormalisation non perturbatif (Page 49-59)