3.7 Approche par le groupe de renormalisation non perturbatif
3.7.6 Brisure de réduction dimensionnelle pour d < d DR
On présente dans cette partie un résultat essentiel de l’étude des équations de flot, Eqs. (3.120), (3.121) et (3.122), dans le cas d < dDR ' 5.1 : le point fixe δ∗ présente alors une singularité linéaire en |δ ˜ϕ| et la réduction dimensionnelle est brisée [TT11b, TT12b]. En particulier, les dimensions anormales η et ¯η ne sont plus égales et diffèrent de la valeur de réduction dimensionnelle ηDR.
Il n’existe pas de point fixe analytique en dimension inférieure àdDR (au sens de l’Eq. (3.123)) ; d’après la discussion précédente, δ∗ est alors de la forme δ∗( ˜ϕ, δ ˜ϕ) = δ∗,0( ˜ϕ) + |δ ˜ϕ|αδ∗,α( ˜ϕ) + o(δ ˜ϕα) avec 0 < α < 2. On ne peut développer δk en puissances deδ ˜ϕ et ré-soudre les équations de flot nécessite de garder l’entière dépendance de la fonctionδk( ˜ϕ, δ ˜ϕ) dans ses deux variables. Bien que l’intégration numérique des flots soit plus difficile, celle-ci a été réalisée par Tarjus et Tissier [TT11b,TT12b]. Ils montrent que la fonction δk génère un comportement non analytique en |δ ˜ϕ| précisément au temps de Larkin tL déterminé dans l’approximation Eq. (3.123) (i.e. en intégrant l’Eq. (3.131)). Cela est illustré sur la Fig.3.E; on y présente l’apparition de la singularité linéaire au cours du flot dans la fonc-tion δk(0, δ ˜ϕ) en dimension 4. Pour d < dDR, on peut vérifier numériquement que le point fixe est de la forme suivante :
(3.132) δ∗( ˜ϕ, δ ˜ϕ) = δ∗,0( ˜ϕ) +|δ ˜ϕ|δ∗,1( ˜ϕ) + o(δ ˜ϕ)
avec δ∗,1 < 0. La présence de la singularité au cours du flot implique ∂tz˜k 6= ∂tδk,0 et les deux fonctions se mettent alors à différer. En conséquence, la solution est caractérisée par ˜
z∗6= δ∗,0 et les dimensions anormalesη et ¯η ne sont pas égales (θ est strictement inférieur à 2 et dépend de d). De plus, les fonctions beta pour ˜u0ketz˜k ne sont plus identiques à celles
CHAPITRE 3. LE MODÈLE D’ISING EN CHAMP ALÉATOIRE
du modèle pur en dimension d− 2 ; la réduction dimensionnelle est ainsi brisée.
On montre en Fig. 3.F les valeurs des dimensions anormales obtenues pour d entre 3 et 6. Alors que l’exposant η = ¯η = ηDR peut être déterminé en développant δk dans la direction deδ ˜ϕ en dimension supérieure à dDR (voir l’approximation Eq. (3.123)), l’entière dépendance de δk dans ses deux variables doit être considérée dans la région d < dDR. Le point fixe est très difficile à déterminer lorsqued→ d−DR;xvcela explique l’absence de valeur pourη et ¯η dans cette région. Notons que la différence entre les deux dimensions anormales n’est clairement pas négligeable à basse dimension ; on obtient η = 0.24(1), ¯η = 0.40(2) en dimension 4 et η = 0.57(2), ¯η = 1.08(2) pour la dimension d = 3. Ces résultats sont en accord avec les autres estimations des exposants obtenues par simulation numérique
[MF02,Har02]. ˜ ϕ 0 0. 4 0. 8 1. 2 1. 6 −0.08 0 0. 04 0. 08 0. 75 0. 8 0. 85 0. 9 0. 95 1 −0.04 ˜ ϕ 0
3.8. CONCLUSION 0 0. 2 0. 4 0. 6 0. 8 1 1. 2 3 3. 5 4 4. 5 5 5. 5 6
Figure 3.F – Dimensions anormales η et ¯η en fonction de la dimension, tiré de [TT11b]. La réduction dimensionnelle est prédite en dimension supérieure à dDR ' 5.13. Les croix correspondent aux résultats des simulations [MF02,Har02] et les lignes rouges en pointillés représentent les bornes inférieures surη et ¯η (voir [TT12b]). Il est numériquement difficile d’accéder à la région juste en dessousdDR.
3.8 Conclusion
Nous avons donné une introduction au modèle d’Ising en champ aléatoire. La physique critique du modèle est contrôlée par un point fixe à température nulle et cela confère un comportement d’échelle inhabituel aux différentes grandeurs physiques. La propriété re-marquable de réduction dimensionnelle est notamment prédite exactement par la théorie de perturbation, ainsi que par la supersymétrie. Ces dernières approches sont néanmoins insuffisantes puisqu’elles ne permettent pas de comprendre sa brisure à basse dimension, pourtant prouvée rigoureusement. Nous avons ensuite présenté un formalisme qui fournit une description complète et cohérente de la propriété de réduction dimensionnelle et de sa brisure. En particulier, Il a été montré que cette dernière est due à l’apparition d’une non analyticité dans le potentiel à deux répliques associé au second cumulant du désordre. La méthode permet de calculer la dimension dDR en dessous de laquelle la réduction dimen-sionnelle est brisée, ainsi que les exposants critiques du modèle ; notons que ces derniers sont en très bon accord avec les estimations des simulations numériques [MF02, Har02]. Sur un aspect plus théorique, il a été possible de prendre en compte toutes les symétries du système et, par conséquent, de ne pas briser explicitement la réduction dimensionnelle en introduisant une extension du formalisme de Parisi-Sourlas. Cette nouvelle approche tient compte de deux ingrédients fondamentaux : la présence de nombreux états métastables et les avalanches.
Chapitre 4
Brisure de réduction dimensionnelle
et avalanches
4.1 Introduction
En utilisant une approche non perturbative et fonctionnelle du groupe de renormalisa-tion, Tarjus et Tissier ont récemment proposé une résolution du problème de la réduction dimensionnelle dans le modèle d’Ising en champ aléatoire [TT04b,TT06b,TT08a,TT08b,
TT11b,TT12a, TT12b]. Nous avons travaillé tous les trois à l’étude du point fixe associé
à la propriété de réduction dimensionnelle, ainsi qu’à établir le lien entre sa brisure et la présence d’avalanches dans le système à température nulle [TBT13]. Le but de ce chapitre est de présenter les principaux résultats issus de cette collaboration.
On caractérise tout d’abord, dans la section 4.2, le point fixe analytique prédisant la réduction dimensionnelle ; nous étudions sa stabilité ainsi que le mécanisme entraînant sa disparition en dimension d = dDR. La section suivante est consacrée à l’étude du mod-èle d’Ising en champ aléatoire en dimension 0. Sur cet exemple simple, nous soulignons l’importance des états métastables et des avalanches concernant les propriétés critiques du système. On discute plus généralement le phénomène d’avalanche et son lien avec la brisure de réduction dimensionnelle dans la partie 4.4.