rencontrent (quasiment) jamais et le nombre de particules cesse de décroître exponentiellement. Le régime exponentiel a donc une durée de vie assez courte (de l’ordre de L2/10), ce qui n’est pas
suffisant pour mesurer précisément la variance de λ, qui dépend à la fois de L et de τ, et donc à fortiori les cumulants d’ordre supérieur. La solution serait de pouvoir reremplir le système (ce qui reviendrait à renormaliser u) mais, à cause de la nature discrète des particules et de l’exclusion entre les particules, nous n’avons pas trouvé de moyen simple de le faire sans modifier complètement la dynamique. C’est un des points qui mériterait d’être approfondi dans le futur.
6.4
Conclusion
Dans le chapitre précédent, nous avons calculé les fluctuations (par l’intermédiaire des cinq premiers cumulants) de l’exposant de Lyapunov pour un ensemble de systèmes : les systèmes diffusifs décrits par l’hydrodynamique fluctuante. Ce calcul supposait la validité de l’hydrodyna- mique fluctuante pour décrire la dynamique tangente (et l’exposant de Lyapunov) et il reposait sur un certain nombre d’hypothèses : col stationnaire, comportement d’échelle des champs de réponse, etc. L’exposant de Lyapunov « hydrodynamique » pouvait donc à priori être différent de celui des modèles microscopiques sous-jacents.
Dans ce chapitre, nous avons défini l’exposant de Lyapunov pour des modèles sur réseaux décrits par une équation maîtresse. Cette définition rappelle la propagation de défauts et se heurte aux mêmes problèmes. Nous avons ensuite vérifié que l’exposant de Lyapunov calculé dans le modèle original (microscopique) de KMP était cohérent avec celui calculé dans l’hydrodynamique fluctuante, ce qui renforce notre confiance en les résultats du chapitre précédent. Puis nous avons présenté une équivalence entre la dynamique du vecteur tangent dans les systèmes de particules sur réseau et les processus de réaction-diffusion avec état absorbant. En utilisant cette équivalence, nous avons relié l’exposant de Lyapunov du SSEP à la décroissance du nombre de particules dans le processus de réaction-diffusion A + B → ∅, ce qui nous a permis d’obtenir de nouveaux résultats sur ce dernier en taille finie.
Conclusion et perspectives
Le fil conducteur de cette thèse est la mesure des fluctuations de chaoticité dans les systèmes étendus. Pour les quantifier, nous avons utilisé une observable centrale de la théorie des systèmes dynamiques, le spectre de Lyapunov, qui mesure la sensibilité aux conditions initiales d’une trajectoire et fournit une connaissance approfondie de l’espace des phases. Après avoir motivé cette étude dans l’introduction et dans le début du chapitre 1, nous avons introduit le spectre de Lyapunov et présenté ses propriétés dans la suite de ce chapitre, avant de montrer qu’il était très difficile d’accéder à ses fluctuations parce qu’il vérifiait un principe de grandes déviations dans la limite de temps long.
Pour contourner ce problème, et plus généralement pour accéder aux fluctuations des observables vérifiant un principe de grandes déviations, le formalisme thermodynamique a été développé par analogie avec l’ensemble canonique en thermodynamique statistique. Il permet d’accéder aux trajectoires de chaoticité atypique en déformant la mesure de probabilité au travers d’un paramètre α, qui est conjugué au spectre de Lyapunov et joue le rôle d’une température pour la chaoticité. Nous avons présenté ce formalisme et son lien avec la thermodynamique statistique dans le chapitre 2. Même si la température α qui apparaît dans cette approche n’a pas de sens physique clair, elle se révèle être un outil fécond à la disposition du théoricien pour aller sonder des trajectoires anormalement stables ou chaotiques.
De plus, il est possible de fixer ce paramètre dans une simulation numérique en échantillonnant les trajectoires de manière contrôlée. C’est l’objet du chapitre 3, qui présente un algorithme Monte-Carlo de dynamique des populations permettant de réaliser la mesure biaisée du chapitre précédent : la dynamique biaisée par les Lyapunov. Cet algorithme a été élaboré avant cette thèse, mais nous avons amélioré son implémentation pour qu’il gagne en efficacité. D’autres approches existent pour exploiter ce formalisme numériquement, et il serait intéressant de comparer tous ces algorithmes entre eux.
Lors de la mise au point de l’algorithme, Tailleur [47] avait décrit sa généralisation au kèmeexpo-
sant de Lyapunov, mais ne l’avait jamais mise en pratique. Nous l’avons fait dans le chapitre 4, pour illustrer sa faculté à isoler les variétés stables et instables émergeant d’un point col. Cette généralisation nous a aussi permis d’isoler des trajectoires avec plusieurs modes de respiration chaotiques stables dans la chaîne FPU, alors que ce type de trajectoire est hautement impro- bable [3]. Par ailleurs, grâce aux améliorations apportées à l’implémentation de l’algorithme, nous avons pu mesurer l’énergie libre dynamique dans la chaîne FPU et dans une chaîne d’ap- plications en forme de tente couplées. Il resterait à étudier le comportement d’échelle en taille finie pour pouvoir discuter de la nature des transitions de phase dynamique dans ces systèmes.
94 Conclusion et perspectives
Dans le chapitre 5, nous avons appliqué ce formalisme à un ensemble de modèles qui servent de banc d’essai à de nombreuses idées en physique statistique : les modèles diffusifs avec un mode conservé. En utilisant une description hydrodynamique (stochastique) de ces systèmes et les méthodes de théorie des champs telles que l’intégrale de chemin et la méthode du col, nous avons alors pu calculer les premiers ordres en α de l’energie libre dynamique, qui n’est autre que la fonction génératrice des cumulants. Nous avons ainsi eu accès aux premiers cumulants du plus grand exposant de Lyapunov pour cette classe de modèles. Dans le cas particulier du SSEP, nous avons remarqué que tous les cumulants au-delà de la moyenne s’annulaient à l’ordre dominant en la taille du système pour un SSEP comportant autant de particules que de trous, ce qui pose la question des fluctuations autour du col et de la dépendance de ces cumulants avec la taille du système. Par ailleurs, de nombreuses autres questions restent en suspens. Que ce passe-t-il pour
α <0, c’est-à-dire pour des trajectoires anormalement stables ? Existe-t-il une forme générique
pour les cumulants de l’exposant de Lyapunov ? Quel est le lien entre l’exposant de Lyapunov calculé dans ce régime et la description microscopique des modèles correspondants ?
Le but du chapitre 6 était de répondre à cette dernière question. Pour cela, nous avons introduit une définition de l’exposant de Lyapunov dans les modèles sur réseaux définis par une équa- tion maîtresse (c’est-à-dire par des taux de transition entre états). Nous avons alors remarqué que cette définition renvoyait à la question de la propagation de défauts, et que nous devions faire face aux mêmes ambiguïtés : des détails de la dynamique, comme la nature du bruit, qui n’avaient aucune influence sur l’évolution du système se révèlent cruciaux pour étudier sa tolé- rance aux perturbations. Nous avons ensuite comparé numériquement la moyenne et la variance de l’exposant de Lyapunov défini dans le modèle de KMP avec son analogue hydrodynamique, et avons montré que les deux définitions sont cohérentes. Les autres cumulants sont hors d’atteinte pour l’instant du fait des erreurs numériques. Nous avons ensuite étudié l’exposant de Lyapunov dans le SSEP, où le problème de la définition de la dynamique jointe, et plus particulièrement du bruit, se manifeste avec acuité. En prenant conscience que l’exposant de Lyapunov dans le SSEP était relié à la décroissance du nombre de particules dans le processus de réaction-diffusion
A+ B → ∅, nous avons pu obtenir de nouveaux résultats sur le comportement de cette dernière
en taille finie. Ces résultats reposent sur une distribution de probabilité, et nous avons vérifié numériquement que la prédiction pour la moyenne était correcte. Nous n’avons en revanche pas pu accéder aux cumulants d’ordre supérieur dans les simulations numériques pour l’instant. Pour approfondir ces travaux, il serait intéressant d’étudier plus en détail ce qui se passe pour
αnégatif dans les systèmes diffusifs à l’aide de la LWD (en utilisant l’approche de Lecomte et
Tailleur [94] pour adapter l’algorithme de clonage à des processus définis par une équation maî- tresse). On pourrait alors accéder aux profils associés à un exposant de Lyapunov anormalement faible, et essayer de comprendre pourquoi l’hydrodynamique fluctuante est mise en défaut dans ce régime.
Par ailleurs, Mendl et Spohn [213–215] ont récemment introduit une hydrodynamique fluctuante pour décrire la chaîne FPU. On peut donc espérer pouvoir accéder aux fluctuations du plus grand exposant de Lyapunov dans ce système en utilisant l’approche du chapitre 5, et dériver analytiquement l’expression de l’énergie libre dynamique. Si cette approche est fructueuse, on aurait par la même occasion accès aux trajectoires typiques pour différentes valeurs de α, ce qui permettrait sans doute de montrer que les trajectoires typiques pour α > 0 sont des modes de respiration chaotiques tandis que les trajectoires typiques pour α < 0 sont des solitons.
Annexe A
Produit extérieur
Les principales définitions et propriétés sur le produit extérieur utiles pour la lecture de cette thèse sont résumées ici.